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1、多元函数微分学基础-多元函数积分学基础第六章 多元函数微分学基础 在第二篇中讨论了一元函数的微积分.但在自然科学和工程技术中，很多问题都与多种因素有关，反映到数学上就是多元函数的问题.本篇将在一元函数的基础上讨论多元函数的微积及其应用，而本章主要介绍空间解析几何的基本知识和多元函数的微分及一些简单的应用.第一节第一节 空间解析几何空间解析几何图图6-1 6-1 右手系示意右手系示意一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 建立了空间直角坐标系后，就可以讨论间的与三个有序数之间的对应关系.6-2解1.曲面方程的概念6-4二、曲面及其方程二、曲面及其方程 一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面
2、，也和为平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面简单介绍平面和一些常见的二次曲面方程.图6-4 曲面示意2.平面方程由两点距离公式知图6-5 例2示意图解解解3.球面方程图6-7 球面示意图图6-6 例4示意图解4.柱面方程图6-8 柱面示意图解称这样的柱面为圆柱面（见图6-9）图6-9 例5示意图1.空间曲线及其方程三、空间曲线及方程三、空间曲线及方程解2.空间曲线在坐标面上的投影解思考题答案答案答案答案答案答案课堂练习题答案答案答案答案*第二节第二节 向量的概念及向量的运算向量的概念及向量的运算 向量研究数学、物理、力学及工程技术问题的一个重要工具.本节主要介绍向量的概念和向量的基
3、本运算.一、向量的概念 通常遇到的量可以分为两类：一类是只有大小的量，如长度、面积、温度、时间及质量等，它们叫作数量或标量.另一类量，不仅有大小，而且有方向，如力、位移、速度、加速度及电场强度等，它叫作向量或矢量.二、向量的加法与减法1.向量的加法 由物理实验可知，作用于一点的两个不平行力的合力可由可由平行四边形法则来确定.完全类似，可定义向量的加法.容易证明，向量的加法满足以下运算规律.2.向量的减法向量的减法是加法的逆运算.三、数与向量的乘法 在实际应用中，常遇到像速度加快了几倍，力增大了几倍等问题.速度加快了几倍，实际上是指速度的大小增大了几倍，而速度的方向并没有改变.在数学上，这就是数
4、与向量相乘的问题.四、向量的坐标表示法1.向量的坐标解解 如图6-15所示2.向量的模和方向余弦解五、向量的数量积1.向量的夹解与投影解2.数量积的概念不难验证，数量积满足以下运算规律：由数量积的定义还可得出解3.数量积的坐标表示式解证六、向量的向量积1.向量积的概念2.向量积的坐标表示式解思考题答案答案答案答案答案答案课堂练习题答案答案答案答案第三节第三节 空间的平面上、直线及常见二次曲面空间的平面上、直线及常见二次曲面 在第一节中简单介绍了曲面和空间曲线方程的概念.本节将以向量为工具较系统地介绍平面和空间直线的知识，并对常见二次曲面加以介绍.1.平面的点法式方程 通过第一节的学习知道平面是
5、曲面的一种特殊情形，并得到了平面的一般方程和截距式方程.下面讨论平面的点法式方程.6-236-23一、平面方程及两平面间的夹角一、平面方程及两平面间的夹角称上式为平面的点法式方程.6-24解6-24解这就是平面的一般方程.2.两平面的夹角两平面的法向量的夹角叫作这两个平面的夹角.解1.空间直线的一般式方程 由第一节可知空间曲线可以看成是两个曲面的交线，因此，空间直线可看成是两个平面的交线.二、空间直线的方程及其夹角二、空间直线的方程及其夹角2.空间直线的标准方程解图6-26 例4示意图解3.空间直线方程一般式与标准式的互换解4.空间两条直线的夹角两直线的方向向量之间的夹角叫作两直线的夹角.在第
6、一节中介绍了球面和柱面，下面再介绍几种二次曲面.1.旋转曲面 一条两面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所形成的曲面叫作旋转曲面.其中定直线叫旋转转轴.在这里，只讨论旋转轴为坐标轴的旋转曲面.三、常用二次曲线及方程三、常用二次曲线及方程下面，建立该曲面方程.解图6-28 圆锥面2.椭球面椭球面的图形是什么形状呢？下面用截痕法讨论椭球面的具体形状 因此，球面、旋转椭球是椭球面的特例.3.双曲面图6-30 单叶双曲面4.抛物面图6-32 椭圆抛物面图6-33 双曲抛物面思考题答案答案答案答案答案答案课堂练习题答案答案答案答案第四节第四节 多元函数的概念多元函数的概念 在第十四章中，讨论了含有一个自
7、变时的函数，即一元函数，但在实际问题中，还会遇到含有两个或两个以上自变量的函数，这就是本节所要讨论的多元函数.在这里重点介绍二元函数.一、二元函数的定义先看下面的例子.图6-34 例2示意图一般地，二元函数的定义如下.解 对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论.所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分（见图6-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.图6-35 区域示意 若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图6-35(c)所示，否则，它总可以被包含在
8、一个以原点O为中心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图6-30(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点.解二、二元函数的几何意义图6-38 例6示意图三、二元函数的极限和连续性1.二元函数的极限 函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋势，但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多.二元函数的极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以推广二元函数的极限，下面举例说明.解 方法一
9、方法二 这说明，二元函数的极限问题有时可以先转化为一元函数的极限问题，再求解.解2.二元函数的连续性函数的不连续点称为函数的间断点.思考题答案答案答案答案答案答案课堂练习题答案答案答案答案答案答案第五节第五节 偏导数与全微分偏导数与全微分一、偏导数的定义及求法解解证解二、高阶偏导数解三、全微分1.全微分的定义解解解2.全微分在近似计算中的应用解思考题答案答案答案答案答案答案课堂练习题答案答案答案答案第六节第六节 复合函数与隐函数微分法复合函数与隐函数微分法一、复合函数的求导法则1.复合函数的中间变量均是二元函数的情形解2.复合函数的中间变量均为一元函数的情形解解3.3.复合函数的中间变量既有一
10、元函数又有多元函数的情形复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形解4.复合函数是抽象函数的情形解解二、全微分形式不变性解三、隐函数的求导法解思考题答案答案答案答案答案答案课堂练习题答案答案答案答案第七节第七节 多元函数的极值和条件极值多元函数的极值和条件极值一、多元函数极值1.极值的定义及求法解2.最大值和最小值解图6-39 例4示意图二、条件极值解思考题答案答案答案答案答案答案课堂练习题答案答案答案答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回
11、返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回第七章第七章 多元函数积分学基础多元函数积分学基础l第一节 二重积分的概念与性质l第二节 二重积分的计算l第三节 二重积分的应用l第四节 三重积分l第五节 曲线积分l第六节 数学实验五 用Mathematica求偏导和计算二重积分第七章 多元函数积分学基础 在本章中，将把一元函数定积分的概念及其性质推广到多元函数的情形，这就是二重积分、三重积分和曲线积分，积分的范围不再是定积分中x轴上的一个区间，而分别是一个平面区域、一个空间区域与一条曲线.下面首先学习有关二重积分知识.二重积分是本章基础部
12、分，同是也是本章的重点内容.第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、实例1.曲顶柱体的体积图7-1 曲顶柱体图7-2 曲顶柱体划分2.非均匀薄片的质量二、二重积分的定义三、二重积分的性质解图7-3 例1示意图解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算 在实际应用时,用二重积分的定义和性质去计算二重积分是十分复杂和困难的.本节将介绍一种实用的计算方法,此种方法主要是把二重积分的计算化成连续计算的两次定积分,即二次积分.一、在直角坐标系下计算二重积分图7-4 积分区域图7-6 积分区域图7-7 积分区域分割解图7-8 例1示意图解图7-9 例
13、2示意解方法一解图7-11 例4示意图a方法二图7-2 例4示意图b 二、在极坐标系下计算二重积分图7-14 极点在D之外图7-15 极点在边界上图7-16 极点在D内解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用一、体积解图7-27 例1示意图解图7-18 例2示意图解图7-19 例3示意图二、平面薄片的质量解三、平面薄片的重心解图7-20 例5示意图解图7-21 例6示意图思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第四节第四节 三重积分三重积分*第五节第五节 曲线积分曲线积分一、对弧长的曲线积分1.对弧长的曲线积分的概念和性质图7-30 例1示意图2.对弧长
14、的曲线积分的计算方法解解图7-31 例3示意图解二、对坐标的曲线积分的概念和性质1.对坐标的曲线积分的概念和性质例5 变力沿曲线所做的功图7-32 例5示意图2.对坐标的曲线积分的计算方法(7-25)解图7-33 例6示意图解图7-34 例7示意图解图7-35 例8示意图解解三、格林公式图7-36 复连通区域图7-37 格林公式示决图合并以上两式即得式（7-21）解解图7-38 例12示意图四、平面上的曲线积分与路径无关的条件证证解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节第六节 数学实验五数学实验五 用用MathemticaMathemtica求偏导和计算二重积分求偏导和计算二重积分一、学习Mathematica命令 Mathematica的求多元函数的偏导数命令与前面学习的求一元函数的导数命令一样，调用格式为二、偏导数计算解解三、计算二重积分解解返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回