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1、概率统计概率统计下页结束返回第五章第五章 极限定理极限定理 一、大数定律一、大数定律 二、中心极限定理二、中心极限定理下页概率统计概率统计下页结束返回 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的究大量随机现象统计规律性的.阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一 系列定律都称为大数定律系列定律都称为大数定律论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一 分布的定理称为中心极限定理分布的定理称为中心极限定理 本章概述本章概述下页概率统计概率统计下页结束返回5.
2、1 5.1 大数定律大数定律一一、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式(是任一正数是任一正数)1.对于任何具有有限方差的随机变量对于任何具有有限方差的随机变量 X，都有都有则则证明：证明：(以连续型随机变量为例以连续型随机变量为例)设设X的概率密度为的概率密度为f(x)，下页概率统计概率统计下页结束返回2.不等式的等价形式不等式的等价形式例例1 估计估计的概率的概率解解:作用：作用：（1）证明大数定律；（）证明大数定律；（2）估计事件的概率）估计事件的概率下页概率统计概率统计下页结束返回例例2若在每次试验中，若在每次试验中，A发生的概率为发生的概率为0.5，进行，进行1000次独立试验，次独立试验，
3、估计估计 A 发生发生 400600 次之间的概率次之间的概率解：解：因因 X B（1000，0.5），），E（X）=500，D（X）=250所以所以 P 400 X 600 =P|X-500|100 2)(1|)(|eXDXEXP-由由得，得，P|X-500|100 下页概率统计概率统计下页结束返回二二 、大数定律、大数定律即，对于任意即，对于任意0，当，当n充分大时，不等式充分大时，不等式定理定理1(切贝雪夫大数定律切贝雪夫大数定律)如果如果X1，X2，Xn，是相互独立的是相互独立的随机变量序列，每一个随机变量序列，每一个Xi都有数学期望都有数学期望E(Xi）和有限的方差和有限的方差D(X
4、i),且方差有公共的上界，即且方差有公共的上界，即则对于任意则对于任意0，有，有依概率依概率1成立成立下页概率统计概率统计下页结束返回 证证:因因相互独立，所以相互独立，所以又因又因，由切贝雪夫不等式可得，由切贝雪夫不等式可得 所以所以 切贝雪夫大数定律表明切贝雪夫大数定律表明,相互独立的随机变量的算术平均值相互独立的随机变量的算术平均值与其数学期望的差与其数学期望的差,在在n 充分大时以概率充分大时以概率1是一个无穷小量是一个无穷小量.这意味着在这意味着在n充分大时，充分大时，的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的值将比较紧密地聚集在它的数学期望附近附近下页概率统计概率统计下页结束返回推论：推
5、论：设随机变量设随机变量X X1 1,X,X2 2,X,X3 3,X Xn n ,独立同分布，且有独立同分布，且有E(Xk)=，D(Xk)=2，k=1，2，说明：说明：（1）在不变的条件下，重复测量）在不变的条件下，重复测量n次得到次得到n个观察值，个观察值，x1,x2,，xn,可看作服从同一分布的可看作服从同一分布的n个相互独立的个相互独立的随机变量随机变量X1，X2，Xn的试验值的试验值 （2）n充分大时，充分大时，x1,x2,，xn的的算术平均值与真算术平均值与真值的误差依概率值的误差依概率1任意小任意小则在则在 时时 对任意对任意0，有，有下页概率统计概率统计下页结束返回证明证明:直接
6、可由推论得出直接可由推论得出(略略).这就是以频率定义概率的合理性依据这就是以频率定义概率的合理性依据定理定理2 2（贝努里大数定律贝努里大数定律）设设n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生发生nA次次,每次试验事件每次试验事件A发生的概率发生的概率p，则对任意，则对任意0 有有定义定义 (依概率收敛依概率收敛)设设是一个互相独立的是一个互相独立的随机变量序列，随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数是一个常数，若对于任意正数 ，有则则称序列称序列依概率收依概率收敛敛于于a.下页概率统计概率统计下页结束返回定理定理3 设随机变量设随机变量X X1 1,X,X2 2,X,X3 3,X X
7、n n ,独立同分布，具有数学期望独立同分布，具有数学期望E(Xk)=，k=1，2，则在则在 时时 对任意对任意0，有，有概率统计概率统计下页结束返回作业：106页 1，2 结束概率统计概率统计下页结束返回例例3.设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在夜晚同时开着的灯数在6800到到7200盏之间的概率盏之间的概率解解:令令 X表示在夜晚同时开着的灯数目，则表示在夜晚同时开着的灯数目，则X 服从服从n=10000，p=0.7的二项分布，的二项分布，这时这时E(X)=np=7000,D(X)=npq=2100，由切由切贝雪夫不等式可得贝雪夫不等式可得 下页