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1、吉德三 1吉德三 51 引言引言 纯弯曲纯弯曲52 纯纯弯曲时的正应力弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力53 弯曲切应力弯曲切应力54 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面5.6 5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 2吉德三 55 引言引言 纯弯曲纯弯曲1 1、弯曲构件横截面上的、弯曲构件横截面上的(内力内力)应力应力内力内力剪力剪力Q Q 剪应力剪应力弯矩弯矩M M 正应力正应力3吉德三 2 2、研究方法、研究方法平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横截面上只有M
2、M而无而无Q Q的情况的情况)平面弯曲时横截面平面弯曲时横截面 剪切弯曲剪切弯曲(横截面上既有横截面上既有Q Q又有又有M M的情况的情况)纵向对称面纵向对称面P P1 1P P2 2例如：例如：4吉德三 某段梁的内力只有弯矩没某段梁的内力只有弯矩没有剪力，该段梁的变形称为纯有剪力，该段梁的变形称为纯弯曲。如弯曲。如ABAB段。段。PPaaABQxMx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):(Pure Bending):5吉德三 552 2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力1.1.梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验横向线横向线(a ba b、c dc d）变形
3、）变形后仍为直线，但有转动；后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩纵向线变为曲线，且上缩下伸；下伸；横向线与纵向线变形后仍横向线与纵向线变形后仍正交。正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴b bd da ac ca ab bc cd dM MM M6吉德三 横截面上只有正应力。横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割法
4、证明）（可由对称性及无限分割法证明）3.3.推论推论2.2.两个概念两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴中性层中性层7吉德三 A1B1O1O4.4.几何方程：几何方程：abcdABdq qr rxy8吉德三 (二二)物理关系：物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意点均处于单向应力状态。假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意点均处于单向应力状态。x x（三）静力学关
5、系：（三）静力学关系：9吉德三 对称面对称面(3)EIEIz z 杆的抗弯刚度杆的抗弯刚度10吉德三（四）最大正应力：（四）最大正应力：(5)DdDd=abBhH11吉德三 例例1 1 受均布载荷作用的简支梁如图受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：所示，试求：(1)1-1(1)1-1截面上截面上1 1、2 2两点的正应力；两点的正应力；(2)(2)此截面上的最大正应力；此截面上的最大正应力；(3)(3)全梁的最大正应力；全梁的最大正应力；(4)(4)已知已知E E=200GPa=200GPa，求，求1-11-1截面的曲截面的曲率半径。率半径。Q=Q=60kN/m60kN/mA AB B1m1
6、m2m2m1 11 1x xM M+M M1 1M Mmaxmax1 12 2120120180180z zy y解：解：画画M M图求截面弯矩图求截面弯矩303012吉德三 Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力求应力1803013吉德三 求曲率半径求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy1803014吉德三 553 3弯曲切应力弯曲切应力一、一、矩形截面梁横截面上的剪应力矩形截面梁横截面上的剪应力1 1、两点假设：、两点假设：剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力相等。矩中性轴等距离处，剪应力相等。2
7、2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图在梁上取微段如图b b；在微段上取一块如图在微段上取一块如图c c，平衡，平衡d dx xx xQ Q(x x)+d)+dQ Q(x x)M M(x x)y yM M(x x)+d)+dM M(x x)Q Q(x x)d dx xs sx xy yz zs s1 1t t1 1t tb b图图a a图图b b图图c c15吉德三 由剪应力互等由剪应力互等dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b图图a图图b图图c16吉德三 Q Q方向：与横截面上剪力方向相同；方向：与横截
8、面上剪力方向相同；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h h分布为抛物线。分布为抛物线。最大剪应力发生在中性轴上，为平均剪应力的最大剪应力发生在中性轴上，为平均剪应力的1.51.5倍倍。截面上、下缘截面上、下缘(即梁的上、下表面即梁的上、下表面)剪应力为剪应力为0 0。二、其它截面梁横截面上的剪应力二、其它截面梁横截面上的剪应力1 1、研究方法与矩形截面同、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：剪应力的计算公式亦为：其中其中Q Q为截面剪力；为截面剪力；S Sz z 为为y y点以下的面积对中性轴之静矩；点以下的面积对中性轴之静矩；17吉德三 2 2、几种常见
9、截面的最大弯曲剪应力、几种常见截面的最大弯曲剪应力I Iz z为整个截面对为整个截面对z z轴之惯性矩；轴之惯性矩；b b 为为y y点处截面宽度。点处截面宽度。工字钢截面：工字钢截面：;maxmaxA A Q Qf f结论：结论：翼缘部分翼缘部分 maxmax 腹板上的腹板上的 maxmax，只计算腹板上的只计算腹板上的 maxmax。铅垂剪应力主要腹板承受（铅垂剪应力主要腹板承受（9597%9597%），且），且 max max min min 故工字钢最大剪应力故工字钢最大剪应力A Af f 腹板的面积。腹板的面积。;maxmaxA A Q Qf f腹板顶部一点与翼缘底部一点的切应力腹板
10、顶部一点与翼缘底部一点的切应力18吉德三 圆截面：圆截面：薄壁圆环：薄壁圆环：槽钢：槽钢：e ex xy yz zP PQ Qe eQ Qe eh h19吉德三 5-4 5-4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。性轴处。Q Qt ts ss ss sM Mt t一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁
11、的正应力和剪应力强度条件20吉德三 2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在述相同；还有一个可能危险的点，在Q Q和和M M均很大的截面的均很大的截面的腹、翼相交处。腹、翼相交处。3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：s sM MQ Qt tt ts s21吉德三 4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：梁的跨度较短，梁的跨度较短，M M 较小，而较小，
12、而Q Q较大时，要校核剪应力。较大时，要校核剪应力。铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。应比值时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。要校核剪应力。2.2.设计截面尺寸：设计截面尺寸：3.3.设计载荷：设计载荷：尤其需要注意的是弯曲正应力的强度条件问题涉及弯矩的符尤其需要注意的是弯曲正应力的强度条件问题涉及弯矩的符号、截面的形状及材料的性质。号、截面的形状及材料的性质。1.1.校核强度：校核强度：22吉德三 解：解：画内力图求危险截
13、面内力画内力图求危险截面内力例例2 2 矩形矩形(b b h h=0.12m=0.12m 0.18m0.18m）截截面木梁如图，面木梁如图，=7MPa=7MPa，=0.=0.9 M Pa9 M Pa，试求最大，试求最大正应力和最大剪正应力和最大剪应力之比应力之比,并校核梁的强度。并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ+x23吉德三 求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度应力之比应力之比q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ+x24吉德三 y1y2GA1A2A3A4解：解：画弯矩图并求危险截面内力画弯矩图并求危险截面内力例例3 T 3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，字形截面的铸
14、铁梁受力如图，铸铁的铸铁的 L L=30MPa=30MPa，y y=60 MPa=60 MPa，其截面形心位于其截面形心位于C C点，点，y y1 1=52mm,=52mm,y y2 2=88mm,=88mm,I Iz z=763cm=763cm4 4，试校核此梁的，试校核此梁的强度。并说明强度。并说明T T字梁怎样放置更合字梁怎样放置更合理？理？画危险截面应力分布图，找危画危险截面应力分布图，找危险点险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM25吉德三 校核强度校核强度T T字头在上面合理。字头在上面合理。y1y2GA3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2G
15、A1A2A3A4梁的弯曲正应力强度满足要求。梁的弯曲正应力强度满足要求。26吉德三 已知：已知：l=2ml=2m，a=0.2m,q=10kN/ma=0.2m,q=10kN/m，P=200kN,P=200kN,=160MPa=160MPa，=100MPa=100MPa。解：解：求：求：选择工字钢型号选择工字钢型号 。(1)(1)求剪力图和弯矩图求剪力图和弯矩图 支反力支反力 作出剪力图和弯矩图作出剪力图和弯矩图27吉德三 作出剪力图和弯矩图作出剪力图和弯矩图最大弯矩最大弯矩最大剪力最大剪力 先根据最大弯矩选择工字钢型号先根据最大弯矩选择工字钢型号 查型钢表：查型钢表：28吉德三 查型钢表查型钢表
16、单位为单位为:cm29吉德三 查型钢表查型钢表 选选22a22a工字钢工字钢 校核剪切强度校核剪切强度 查型钢表得，对查型钢表得，对22a22a工字钢：工字钢：腹板厚度：腹板厚度：所以，选所以，选22a22a工字钢，剪切强度不够，需重选。工字钢，剪切强度不够，需重选。30吉德三 所以，选所以，选22a22a工字钢，剪切强度不够，需重选。工字钢，剪切强度不够，需重选。31吉德三 5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。由此可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩由此可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩M Mmaxma
17、x和提高和提高抗弯截面系数抗弯截面系数W W。弯曲正应力强度为：弯曲正应力强度为：32吉德三 一、减小最大弯矩一、减小最大弯矩(1)(1)合理布置支座的位置合理布置支座的位置 工程实例工程实例33吉德三(2)(2)合理布置载荷合理布置载荷34吉德三 二、梁的合理截面二、梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于北宋李诫于11001100年著年著 营造法式营造法式 一书中一书中指出指出:矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比(h/b)=1.5(h/b)=1.5英英(T.Young)(T.Young)于于18071807年著年著 自然哲学与机械技术讲自然哲学与机械技术讲义义
18、 一书中指出一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为矩形木梁的合理高宽比为bh如何证明？如何证明？1 1、梁截面的形状尺寸、梁截面的形状尺寸35吉德三 强度：正应力：强度：正应力：剪应力剪应力：1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面z zD D1 1z za aa a36吉德三 zD0.8Da12a1z37吉德三 工字形截面与框形截面类似。工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z38吉德三 2 2、梁截面的放置、梁截面的放置(2)(2)关于中性轴不对称的梁截面关于
19、中性轴不对称的梁截面如果是脆性材料，中性轴应偏于受拉一侧，如：如果是脆性材料，中性轴应偏于受拉一侧，如：(1)(1)矩形截面矩形截面39吉德三 上例上例已知：已知：T T形截面铸铁梁，形截面铸铁梁，t t=30 MPa=30 MPa，c c=160 MPa=160 MPa。I Iz z=763cm4,=763cm4,且且|y|y1 1|=52mm|=52mm。求：求：校核梁的强度。校核梁的强度。问题：问题：T T形截面是否放反了？形截面是否放反了？没放反。没放反。M Mmaxmax是负的。是负的。40吉德三、采用变截面梁、采用变截面梁如果是等强度梁，即如果是等强度梁，即且截面为矩形，则高为且截面为矩形，则高为此外，此外，Px41吉德三 中点受集中力作用的简支等强度梁中点受集中力作用的简支等强度梁弯矩方程为弯矩方程为:横截面采用矩形截面横截面采用矩形截面(1)(1)高度高度h h为常数为常数，确定宽度，确定宽度 b=b(x)b=b(x)42吉德三 根据剪切强度设计最小宽度根据剪切强度设计最小宽度剪力剪力43吉德三(2)(2)宽度宽度b b为常数为常数，确定高度，确定高度h=h(x)h=h(x)同理可得同理可得44吉德三 汽车结构中的叠板弹簧汽车结构中的叠板弹簧土木结构中的鱼腹梁土木结构中的鱼腹梁 机械上常用的等强度轴机械上常用的等强度轴45吉德三 46