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1、小波分析入门小波分析入门傅里叶分析傅里叶分析-Fourier Analysisn n傅里叶分析是目前信号分析的基石傅里叶分析是目前信号分析的基石傅里叶分析是目前信号分析的基石傅里叶分析是目前信号分析的基石n n傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量n n从从从从 变换变换变换变换 的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的桥的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的桥的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的桥的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的桥梁梁梁梁n n由于了解信号的频率成分
2、非常重要，傅里由于了解信号的频率成分非常重要，傅里叶分析是非常有用的工具叶分析是非常有用的工具.n n为什么我们还需要如小波分析等的其它技为什么我们还需要如小波分析等的其它技术？术？傅里叶分析的缺点傅里叶分析的缺点在变换到频域后，信号的时间信息丢失；在变换到频域后，信号的时间信息丢失；从傅里叶频谱中无法得到信号在某一时从傅里叶频谱中无法得到信号在某一时刻发生的情况；刻发生的情况；若信号在整个时间历程上属于平稳信号若信号在整个时间历程上属于平稳信号(其其统计参数变化不大统计参数变化不大),傅里叶分析的这些缺傅里叶分析的这些缺点并不显注点并不显注.但在我们所处的世界中却经常但在我们所处的世界中却经
3、常会遇到繁多的非平稳信号会遇到繁多的非平稳信号:漂移漂移,趋势趋势,突变突变,事件的开始和结束等事件的开始和结束等.该类信号往往是信号该类信号往往是信号最主要的特征最主要的特征,而显然不满足傅立叶分析的而显然不满足傅立叶分析的平稳性要求平稳性要求.短时傅里叶分析短时傅里叶分析(Short-Time Fourier Analysis)n n为解决傅里叶分析的缺点为解决傅里叶分析的缺点为解决傅里叶分析的缺点为解决傅里叶分析的缺点,Dennis Gabor(1946),Dennis Gabor(1946)提提提提出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观出用
4、加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观点点点点,即所谓的即所谓的即所谓的即所谓的Short-Time Fourier Analysis-STFT,Short-Time Fourier Analysis-STFT,将信号映射为时间和频率的函数将信号映射为时间和频率的函数将信号映射为时间和频率的函数将信号映射为时间和频率的函数.短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频率短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频率短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频率短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频率表示的折中表示的折中表示的折中表示的折中,可反映信号在何时和什么频率发生
5、。可反映信号在何时和什么频率发生。可反映信号在何时和什么频率发生。可反映信号在何时和什么频率发生。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。STFTSTFTSTFTSTFT在信号的时间和频率表示上的折中是有用在信号的时间和频率表示上的折中是有用在信号的时间和频率表示上的折中是有用在信号的时间和频率表示上的折中是有用的，的，的，的，其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，它其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，它其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，它其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，它将对所
6、有频率成分都有效。而许多信号要求能有将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能有将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能有将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能有比较柔性的窗比较柔性的窗比较柔性的窗比较柔性的窗-我们可以调整窗长以取得比较我们可以调整窗长以取得比较我们可以调整窗长以取得比较我们可以调整窗长以取得比较精确的时间和频率。精确的时间和频率。精确的时间和频率。精确的时间和频率。小波分析小波分析(Wavelet Analysis)n n小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域小波
7、分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域的加窗技术。的加窗技术。的加窗技术。的加窗技术。小波分析允许使用长时间间隔小波分析允许使用长时间间隔小波分析允许使用长时间间隔小波分析允许使用长时间间隔在需要获得在需要获得在需要获得在需要获得比较精确的低频信息时；和使用短的区域比较精确的低频信息时；和使用短的区域比较精确的低频信息时；和使用短的区域比较精确的低频信息时；和使用短的区域在需要获得高在需要获得高在需要获得高在需要获得高频信息时。频信息时。频信息时。频信息时。n n下图为从时域，频域，下图为从时域，频域，下图为从时域，频域，下图为从时域，频域，STFT,STFT,和小波分析观察信和小波分
8、析观察信和小波分析观察信和小波分析观察信号的示意。号的示意。号的示意。号的示意。n n注意：小波分析没有使用时间注意：小波分析没有使用时间注意：小波分析没有使用时间注意：小波分析没有使用时间-频率坐标，而是使频率坐标，而是使频率坐标，而是使频率坐标，而是使用时间用时间用时间用时间-尺度坐标。尺度坐标。尺度坐标。尺度坐标。小波分析可以做什么？小波分析可以做什么？n n小波分析的一个主要优点是其可以做信号小波分析的一个主要优点是其可以做信号的局部分析。的局部分析。n n小波分析能反映其它一些信号分析手段不小波分析能反映其它一些信号分析手段不能很好反映的信号信息，例如趋势、断点、能很好反映的信号信息
9、，例如趋势、断点、不连续性等。不连续性等。n n进一步进一步,小波分析提供了与传统方法不同的小波分析提供了与传统方法不同的视角，目前小波分析在压缩或降噪方面有视角，目前小波分析在压缩或降噪方面有广泛的应用。广泛的应用。什么是小波分析什么是小波分析n n一个小波是在有限区间内存在一个小波是在有限区间内存在一个小波是在有限区间内存在一个小波是在有限区间内存在,且均值为零的波形且均值为零的波形且均值为零的波形且均值为零的波形.n n相比之下相比之下相比之下相比之下,傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在
10、无限区间内存在。无限区间内存在。无限区间内存在。无限区间内存在。n n正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则波形，且非对称。波形，且非对称。波形，且非对称。波形，且非对称。n n傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦波。波。n n与此类似与此类似,小波分析将信号分解为不同尺度、小波分析将信号分解为不同尺度、平移的小波。平移的小波。连续小波变换连续小波变换-CWTn n从数学的观点看傅里叶变换从数学的观点看傅里叶变换n n与此类似，小
11、波分析变换公式为与此类似，小波分析变换公式为n n 为母小波，为母小波，C为小波系数，为尺度与位置为小波系数，为尺度与位置的函数。的函数。n n小波系数小波系数C乘以与位移和尺度化后的小波，乘以与位移和尺度化后的小波，得到原信号的小波分量。得到原信号的小波分量。尺度化（比例缩放）尺度化（比例缩放）-Scalingn n前面谈到了小波将信号映射到前面谈到了小波将信号映射到前面谈到了小波将信号映射到前面谈到了小波将信号映射到时间时间时间时间-尺度尺度尺度尺度域，下面域，下面域，下面域，下面对尺度化和时移进行解释。对尺度化和时移进行解释。对尺度化和时移进行解释。对尺度化和时移进行解释。n n小波的尺
12、度化意味着将小波进行拉伸和压缩。小波的尺度化意味着将小波进行拉伸和压缩。小波的尺度化意味着将小波进行拉伸和压缩。小波的尺度化意味着将小波进行拉伸和压缩。a a 为尺度因子为尺度因子为尺度因子为尺度因子下面是正弦波的尺度变化示例下面是正弦波的尺度变化示例下面是正弦波的尺度变化示例下面是正弦波的尺度变化示例n n小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子越小，信号越被压缩。越小，信号越被压缩。越小，信号越被压缩。越小，信号越被压缩。注意：频率与尺度有密切联系注意：频率与尺度
13、有密切联系注意：频率与尺度有密切联系注意：频率与尺度有密切联系平移-Shiftingn n小波的平移意味着小波起始位置的变化。小波的平移意味着小波起始位置的变化。小波的平移意味着小波起始位置的变化。小波的平移意味着小波起始位置的变化。n n在数学上若原信号为在数学上若原信号为在数学上若原信号为在数学上若原信号为f f(t t)，则其时移表示为，则其时移表示为，则其时移表示为，则其时移表示为f f(t t-k)-k)。连续小波变换的连续小波变换的5个基本步骤个基本步骤1 1、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比、选取一个小波，将其与原始信号的
14、开始一段进行比、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比较。较。较。较。2 2、计算小波系数、计算小波系数、计算小波系数、计算小波系数C C，其值的大小取决于小波与选取信其值的大小取决于小波与选取信其值的大小取决于小波与选取信其值的大小取决于小波与选取信号段的相似程度，越相似其值越大。更精确的是若信号段的相似程度，越相似其值越大。更精确的是若信号段的相似程度，越相似其值越大。更精确的是若信号段的相似程度，越相似其值越大。更精确的是若信号与小波能量都等于号与小波能量都等于号与小波能量都等于号与小波能量都等于1 1，则，则，则，则C C可解释为互相关系数。可解释为互相关系数。可解释为互相关系数
15、。可解释为互相关系数。注意：系数的大小与注意：系数的大小与注意：系数的大小与注意：系数的大小与所选择小波的形状有关。所选择小波的形状有关。所选择小波的形状有关。所选择小波的形状有关。3、从左到右平移小波逐段重复步骤、从左到右平移小波逐段重复步骤1、2的比的比较，直到完成整个信号的比较。较，直到完成整个信号的比较。4、小波伸缩（尺度化），重复步骤、小波伸缩（尺度化），重复步骤13。5、重复、重复14步得到所有尺度下的小波系数步得到所有尺度下的小波系数n n三维显示n n小波分析得到的时间小波分析得到的时间-尺度图谱，不同于时尺度图谱，不同于时间间-频率图谱。尺度与频率不同，但并非没频率图谱。尺度
16、与频率不同，但并非没有联系。有联系。尺度与频率尺度与频率小尺度小尺度a 压缩小波压缩小波 变化剧烈变化剧烈 高频高频 大尺度大尺度a 扩展小波扩展小波 变化平缓变化平缓 低频低频 自然界中的尺度自然界中的尺度n n提供尺度而非频率信息并非小波的缺点提供尺度而非频率信息并非小波的缺点连续小波变换的连续含义连续小波变换的连续含义n n区别于离散小波变换，其尺度和平移可以比较自由区别于离散小波变换，其尺度和平移可以比较自由区别于离散小波变换，其尺度和平移可以比较自由区别于离散小波变换，其尺度和平移可以比较自由离散小波变换离散小波变换n n连续小波变换的计算量非常大，费时连续小波变换的计算量非常大，费
17、时n n1988 年年 Mallat提出二进离散小波变换的快提出二进离散小波变换的快速算法速算法-滤波算法。滤波算法。第一部滤波：逼近和细节第一部滤波：逼近和细节n n对大多数信号，其低频分量比较重要；对大多数信号，其低频分量比较重要；n n高频包含大多数的冲击和噪声；高频包含大多数的冲击和噪声；n n在小波分析中称为逼近和细节；在小波分析中称为逼近和细节；n n逼近成分对应大尺度低频分量，细节成分逼近成分对应大尺度低频分量，细节成分对应小尺度高频分量。对应小尺度高频分量。n n下图为小波分析滤波示意下图为小波分析滤波示意 原始信号原始信号原始信号原始信号S S通过两个互补的滤波器得到两个信号
18、通过两个互补的滤波器得到两个信号通过两个互补的滤波器得到两个信号通过两个互补的滤波器得到两个信号A A和和和和D.D.n n在数字信号处理中在数字信号处理中在数字信号处理中在数字信号处理中S S将被使用两次将被使用两次将被使用两次将被使用两次;n n设设设设S S具有具有具有具有10001000个采样点个采样点个采样点个采样点,则则则则DD和和和和A A也将分别具有也将分别具有也将分别具有也将分别具有10001000采样点采样点采样点采样点;n n在离散小波分析中采用二取一的在离散小波分析中采用二取一的在离散小波分析中采用二取一的在离散小波分析中采用二取一的”降采样技术降采样技术降采样技术降采
19、样技术”得到分别得到分别得到分别得到分别具有具有具有具有500500点的小波系数点的小波系数点的小波系数点的小波系数cDcD和和和和cA;cA;n n下面以一单级离散小波分解举例说明以上下面以一单级离散小波分解举例说明以上过程过程.n n使用的原信号为一叠加有高频噪声的实正使用的原信号为一叠加有高频噪声的实正弦信号弦信号,其分解原理图如下其分解原理图如下n nMatlabMatlab语句如下语句如下语句如下语句如下s=sin(20.*linspace(0,pi,1000)+0.5.*rand(1,1000);s=sin(20.*linspace(0,pi,1000)+0.5.*rand(1,1
20、000);cA,cD=dwt(s,db2);cA,cD=dwt(s,db2);db2db2为选用小波名为选用小波名为选用小波名为选用小波名n n不难发现不难发现不难发现不难发现,细节信号系数细节信号系数细节信号系数细节信号系数cDcD包含有主要的噪声成分包含有主要的噪声成分包含有主要的噪声成分包含有主要的噪声成分;逼近信号逼近信号逼近信号逼近信号cAcA比原信号包含较少的噪声比原信号包含较少的噪声比原信号包含较少的噪声比原信号包含较少的噪声.length(cA)length(cD)ans=501 501 小波系数小波系数cD和和cA的长度比原始信号长度的的长度比原始信号长度的一半多一一半多一.
21、离散小波多级分解离散小波多级分解(Multiple-Level Decomposition)n n小波分解树小波分解树(wavelet decomposition tree)分解时对逼近系分解时对逼近系数进行反复分解数进行反复分解.分解多少级分解多少级?n n信号的小波分解信号的小波分解小波重构小波重构n n小波分解是小波分析的一半小波分解是小波分析的一半小波分解是小波分析的一半小波分解是小波分析的一半,与此相对的另一半是与此相对的另一半是与此相对的另一半是与此相对的另一半是信号的小波重构信号的小波重构信号的小波重构信号的小波重构(reconstruction),(reconstruction
22、),或或或或 综合综合综合综合(synthesis)(synthesis)(无信息丢失无信息丢失无信息丢失无信息丢失).).n n在数学上称为小波逆变换在数学上称为小波逆变换在数学上称为小波逆变换在数学上称为小波逆变换(IDWT).(IDWT).n n下图为信号的小波重构示意图下图为信号的小波重构示意图n n由小波分解得由小波分解得到的小波系数到的小波系数重构信号重构信号n n信号的小波重构涉及滤波和上采样信号的小波重构涉及滤波和上采样上采样上采样小波重构中的上采样是在两原数据点间插入零值小波重构中的上采样是在两原数据点间插入零值重构滤波器重构滤波器n n重构滤波器的选择是非常苛刻的重构滤波器
23、的选择是非常苛刻的重构滤波器的选择是非常苛刻的重构滤波器的选择是非常苛刻的,出来需要满足很好的重出来需要满足很好的重出来需要满足很好的重出来需要满足很好的重构原信号外构原信号外构原信号外构原信号外,还要解决滤波产生的还要解决滤波产生的还要解决滤波产生的还要解决滤波产生的”混叠混叠混叠混叠”引起的相位失引起的相位失引起的相位失引起的相位失真真真真.n n分解滤波器与重构滤波器有密切联系分解滤波器与重构滤波器有密切联系分解滤波器与重构滤波器有密切联系分解滤波器与重构滤波器有密切联系(但不相同但不相同但不相同但不相同),),在小波在小波在小波在小波分析中很好的选择滤波器可有效消除分析中很好的选择滤波
24、器可有效消除分析中很好的选择滤波器可有效消除分析中很好的选择滤波器可有效消除”混叠混叠混叠混叠”的影响的影响的影响的影响.逼近信号和细节信号的重构逼近信号和细节信号的重构n n前面所述的是由小波分解系数重构原始信前面所述的是由小波分解系数重构原始信号号,与此类似与此类似,我们也可由小波分解系数重我们也可由小波分解系数重构某一级的逼近和细节信号构某一级的逼近和细节信号.单级重构单级重构单级重构单级重构多级重构多级重构多级重构多级重构滤波器与小波形状的联系滤波器与小波形状的联系n n重构滤波器与小波的选择有密切联系重构滤波器与小波的选择有密切联系;n n在实际使用小波中在实际使用小波中,很少直接从
25、构造一个小很少直接从构造一个小波开始波开始,而是设计适合的镜像滤波器而是设计适合的镜像滤波器,进而进而设计出波形设计出波形.下面以一个例子来说明下面以一个例子来说明.构造适合构造适合db2小波的低通重构滤波器小波的低通重构滤波器Ln n滤波器系数可由滤波器系数可由滤波器系数可由滤波器系数可由MatlabMatlab中的中的中的中的dbauxdbaux命令得到命令得到命令得到命令得到;n n若反转该滤波器系数向量若反转该滤波器系数向量若反转该滤波器系数向量若反转该滤波器系数向量,并且每一偶数样本乘并且每一偶数样本乘并且每一偶数样本乘并且每一偶数样本乘以以以以-1,-1,则可得到高通重构滤波器则可
26、得到高通重构滤波器则可得到高通重构滤波器则可得到高通重构滤波器HH的系数的系数的系数的系数.n nHH上采样上采样上采样上采样(H(H系数间隔插零系数间隔插零系数间隔插零系数间隔插零)n n上采样向量与原始低通滤波器卷乘上采样向量与原始低通滤波器卷乘n n若重复该过程几次若重复该过程几次,即上采样并将结果滤波即上采样并将结果滤波器向量与原始低通滤波器系数卷乘器向量与原始低通滤波器系数卷乘,则可得则可得到以下图案到以下图案.不难看出滤波器形状越来越接近不难看出滤波器形状越来越接近db2小波小波,这表明小波的形状完全由重构滤波器决定这表明小波的形状完全由重构滤波器决定.二者的重要联系说明二者的重要
27、联系说明二者的重要联系说明二者的重要联系说明:我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小波分析波分析波分析波分析.至少当需要对信号进行精确重构时至少当需要对信号进行精确重构时至少当需要对信号进行精确重构时至少当需要对信号进行精确重构时,我们我们我们我们不能选择任意的小波形状不能选择任意的小波形状不能选择任意的小波形状不能选择任意的小波形状.我们必须选取由积分我们必须选取由积分我们必须选取由积分我们必须选取由积分镜像分解滤波器所决定的形状作为小波镜像分解滤波器所决定的形状
28、作为小波镜像分解滤波器所决定的形状作为小波镜像分解滤波器所决定的形状作为小波.尺度函数尺度函数-Scaling Functionn n上面我们看到了小波与镜像积分滤波器的上面我们看到了小波与镜像积分滤波器的内部联系内部联系.小波函数小波函数 由高通滤波器决定由高通滤波器决定,高通滤波器也产生小波分解的细节信号高通滤波器也产生小波分解的细节信号.n n另一与小波函数有一些联系的函数就是所谓另一与小波函数有一些联系的函数就是所谓的尺度函数的尺度函数,尺度函数相似于小波函数尺度函数相似于小波函数,决决定于低通镜像积分滤波器定于低通镜像积分滤波器,该滤波器与小波该滤波器与小波分解的逼近信号相关分解的逼
29、近信号相关.n n同样同样,通过重复上采样并与高通滤波器进行通过重复上采样并与高通滤波器进行卷积可得到小波函数卷积可得到小波函数;重复上采样并与低通重复上采样并与低通滤波器进行卷积可得到尺度函数的近似形状滤波器进行卷积可得到尺度函数的近似形状.多级分解和重构多级分解和重构n n小波的多级分解和重构可表示为小波的多级分解和重构可表示为 这一过程包括两个方面这一过程包括两个方面:信号分解得到小波信号分解得到小波系数系数,由小波系数重构原信号由小波系数重构原信号.n n前面我们已讨论过信号的小波分解和重构前面我们已讨论过信号的小波分解和重构.n n在应用中当然无需将一个信号分解后又重在应用中当然无需将一个信号分解后又重构其本身构其本身.n n在进行重构前通常我们要改变小波系数在进行重构前通常我们要改变小波系数,获获得我们所需要的重构信号得我们所需要的重构信号,进行小波分析的进行小波分析的目的在于获得信号的小波系数目的在于获得信号的小波系数,然后进行信然后进行信号去噪和压缩等应用号去噪和压缩等应用.n n许多应用仍等待我们去发现许多应用仍等待我们去发现.