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1、2023/2/14.2 强度理论主要内容n2 2库仑强度准则库仑强度准则或或（4-107）图图4-40 4-40 坐标下库仑准则坐标下库仑准则最最简简单单和和最最重重要要的的准准则则乃乃是是由由库库仑仑于于1773年年提提出出的的“摩摩擦擦”准准则则。库库仑仑认认为为，岩岩石石的的破破坏坏主主要要是是剪剪切切破破坏坏，岩岩石石的的强强度度，即即抗抗摩摩擦擦强强度度等等于于岩岩石石本本身身抗抗剪剪切切摩摩擦擦的的粘粘结结力力和和剪剪切切面面上上法法向向力力产产生生的的摩摩擦擦力力。亦即，平面中的剪切强度准则为：亦即，平面中的剪切强度准则为：4.2 强度理论主要内容若规定最大主应力方向与剪切面（指
2、其法线方向）间的夹角为若规定最大主应力方向与剪切面（指其法线方向）间的夹角为（称（称为岩石破断角），则由图为岩石破断角），则由图7-6可得：可得：故：故：若用平均主应力若用平均主应力和最大剪应力和最大剪应力表示，上式变成：表示，上式变成：其中：其中：(4-99)4.2 强度理论主要内容(4-98)由图由图4-40可得：可得：并可改写为：并可改写为：若取若取 ，则极限应力，则极限应力 为岩石单轴抗压强度为岩石单轴抗压强度 ，即有：，即有：利用三角恒等式，有：利用三角恒等式，有：（4-101）(4-100)剪切破断角关系式剪切破断角关系式可可得：得：将方程（将方程（4-101）和（）和（4-102
3、）代入方程（）代入方程（4100）得：）得：(4-102)4.2 强度理论主要内容图4-41 13坐标系的库仑准则坐标系统中库仑准坐标系统中库仑准则的完整强度曲线。如图则的完整强度曲线。如图4-41所示，极限应力条件下剪切面所示，极限应力条件下剪切面上正应力上正应力和剪力和剪力用主应力用主应力表示为：表示为：(4-104)由方程（由方程（4-107）式并取）式并取，得：，得：(4-105)4.2 强度理论主要内容根据方程（根据方程（4-107）式，如果方程（）式，如果方程（4-106）式小于）式小于，破坏不会，破坏不会发生；如果它等于（或大于）发生；如果它等于（或大于），则发生破坏。令，则发生
4、破坏。令方程（方程（4-105）式对）式对求导可得求导可得由此给出由此给出的最大值，即的最大值，即(4-106)则方程（则方程（4-106）式变为）式变为（4-107）4.2 强度理论主要内容上式表示（图上式表示（图4-42)的直线交的直线交于于，且：，且：交交轴于轴于。注意：注意：并不是单轴抗拉强度并不是单轴抗拉强度图图4-42 14-42 133坐标系中的库仑准则的完整强度曲线坐标系中的库仑准则的完整强度曲线4.2 强度理论主要内容根据方程（根据方程（4-107）式，如果方程（）式，如果方程（4-106）式小于）式小于，破坏不会，破坏不会发生；如果它等于（或大于）发生；如果它等于（或大于）
5、，则发生破坏。令，则发生破坏。令方程（方程（4-105）式对）式对求导可得求导可得由此给出由此给出的最大值，即的最大值，即(4-106)则方程（则方程（7-36）式变为）式变为（4-107）4.2 强度理论主要内容由：由：有：有：或：或：由于由于，故若，故若，则有：，则有：方程（方程（4-107）式与（）式与（4-108）式联立求解可得：）式联立求解可得：(4-108)岩石发生破裂（或处于极限平衡）时岩石发生破裂（或处于极限平衡）时取值的下限。考虑到剪切面取值的下限。考虑到剪切面（图（图4-40）上的正应力）上的正应力的条件，这样在的条件，这样在值条件下，由方程（值条件下，由方程（4-104）
6、式得：）式得：4.2 强度理论主要内容图图4-42中直线中直线 AP代表代表的有效取值范围。的有效取值范围。为负值（拉应力），由实验知，可能会在垂直于为负值（拉应力），由实验知，可能会在垂直于平面内发生平面内发生张性破裂。特别在单轴拉伸张性破裂。特别在单轴拉伸中，当拉应力值达到岩石抗拉强中，当拉应力值达到岩石抗拉强度度时，岩石发生张性断裂。基于库仑准则和试验结果分析，由图时，岩石发生张性断裂。基于库仑准则和试验结果分析，由图4-42给出的简单而有用的准则可以用方程表示为：给出的简单而有用的准则可以用方程表示为：图图4-42 14-42 133坐标系中的库仑准则的完整强度曲线坐标系中的库仑准则的
7、完整强度曲线(4-109)4.2 强度理论主要内容在此库仑准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的破坏。在此库仑准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的破坏。(1)当当时，岩石属单轴拉伸破裂；时，岩石属单轴拉伸破裂；(2)当当时，岩石属双轴拉伸破裂；时，岩石属双轴拉伸破裂；(3)当当时，岩石属单轴压缩破裂；时，岩石属单轴压缩破裂；(4)当当时，岩石属双轴压缩破裂。时，岩石属双轴压缩破裂。另外，由图另外，由图 78 中强度曲线上中强度曲线上A 点坐标点坐标可得，直线可得，直线 A P的倾角的倾角为：为：由此看来，在主应力由此看来，在主应力 坐标平面内的库仑准则可以利用单坐标平面内的库仑准则可以利用单
8、轴抗压强度和抗拉强度来确定。轴抗压强度和抗拉强度来确定。4.2 强度理论主要内容2023/2/1应用：应用：判断岩石在某一应力状态下是否破坏（用应力圆）。预测破坏面的方向：（与最大主平面成 ）；（X 型节理锐角平分线方向为最大主应力方向）。进行岩石强度计算。评价：评价：是最简单的强度准则，是莫尔强度理论的一个特例。不仅适用于岩石压剪破坏，也适用于结构面压剪破坏。不适用于受拉破坏。2023/2/1莫尔强度理论：莫尔强度理论：（1900）理论要点：理论要点：岩石的剪切破坏由剪应力引起；但不是发生在最大剪应力作用面上；剪切强度取决于剪切面上的正应力和岩石的性质，是剪切面上正应力的函数；剪切强度与剪切
9、面上正应力的函数形式有多种：直线型、二次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫尔圆的包络线，它由试验拟合获得；剪切强度是关于轴对称的曲线，破坏面成对成簇出现；莫尔圆与强度曲线相切或相割，研究点破坏，否则不破坏；不考虑不考虑2的影响。2023/2/1莫尔理论莫尔理论建立建立与古典理论区别：与古典理论区别：不致力于寻找材料失效的共同力学原因；尽可能多地占有不同应力状态下材料失效的试验资料，极限应力状态；用宏观唯象的处理方法建立失效条件。2023/2/1莫尔强度曲线绘制：莫尔强度曲线绘制：（由单拉、单压、三压强度实验得到）特点：特点：曲线左侧闭合，向右侧开放（耐压、不耐拉）；曲线的斜率各处不同（内
10、摩擦角、内聚力变化，与所受应力有关）；曲线对称于正应力轴（破坏面成对出现，形成 X 型节理）；不同岩石其强度曲线不同（不同岩石具有不同的强度性）。2023/2/1莫尔包络线的三种形式莫尔包络线的三种形式：（不同岩石具有不同的强度性质，其强度曲线可分为三个类型）a)直线型：直线型：（与库仑准则相同）可进行强度计算：单直线型双直线型2023/2/1b)二次抛物线型：二次抛物线型：表达式：表达式：式中：单向抗拉强度 待定系数 由图：N 点坐标及NM半径为 N2023/2/1强度表达式：强度表达式：主、剪应力表达式：主、剪应力表达式：主应力表达式：主应力表达式：n系数：系数：确定确定n系数的方法：系数
11、的方法：2023/2/1c)双曲线型：双曲线型：表达式表达式：（强度条件）式中：1为包络线渐进线夹角 2023/2/1对莫尔强度理论的评价：对莫尔强度理论的评价：优点：优点：适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石的剪切破坏；较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗压强度特征；解释了三向等拉时破坏，三向等压时不破坏现象；简单、方便:同时考虑拉、压、剪,可判断破坏方向.不足：不足：忽视了2 的作用，误差：10；没有考虑结构面结构面的影响；不适用于不适用于拉断拉断破坏；不适用于膨胀、蠕变膨胀、蠕变破坏。2023/2/14.2.4 格里菲斯强度理论格里菲斯强度理论 （1920、1921）1）基本假设（观点）：）基本
12、假设（观点）：物体内随机分布许多裂隙；所有裂隙都张开、贯通、独立；裂隙断面呈扁平椭圆状态；在任何应力状态下，裂隙尖端产生拉应力集中，导致 裂隙沿某个有利方向进一步扩展。最终在本质上都是拉应力引起岩石破坏。2023/2/12 2）两个关键点：）两个关键点：最容易破坏的裂隙最容易破坏的裂隙方向；方向；最大应力集中点最大应力集中点（危险点）。（危险点）。在压应力在压应力条件下裂条件下裂隙开列及隙开列及扩展方向扩展方向带椭圆孔薄板的孔边应力集中问题2023/2/1数学式数学式 GriffithGriffith准则几何表示准则几何表示 Griffith准则图解 最有利破裂的方向角最有利破裂的方向角3 3
13、）GriffthGriffth（张拉）准则（张拉）准则（a）在 坐标下 由此区可见，当 时，即压拉强度比为8。2023/2/1（b b）在在 坐标下 设 应力圆圆心；应力圆半径 又设 ，则Griffith强度准则第二式写成 应力圆方程：（1）代入（2）得：2023/2/1 （3）式是满足强度判据的极限莫尔应力圆的表达式 （3）式对 求导得 把（4）式带入（3）得在 坐标下的准则 与莫尔准则 相似抛物线型。2023/2/1Griffith强度曲线 在 坐标下:2023/2/1Griffith强度曲线 在 坐标下Griffth准则图解2023/2/1Grriffith强度准则强度准则评价：评价：优
14、点：优点：岩石抗压强度为抗拉强度的8倍，反映了岩石的真实情况；证明了岩石在任何应力状态下都是由于拉伸引起破坏；指出微裂隙延展方向最终与最大主应力方向一致。不足：不足：仅适用于脆性岩石，对一般岩石莫尔强度准则适用性远大于Griffith准则。对裂隙被压闭合，抗剪强度增高解释不够。Griffith准则是岩石微裂隙扩展的条件，并非宏观破坏。2023/2/14.3 岩石塑性本构关系塑性是材料的一种变形性质或变形的一个阶段，材料进入塑性的特征塑性是材料的一种变形性质或变形的一个阶段，材料进入塑性的特征是当荷载卸载以后存在不可恢复的永久变形，如图是当荷载卸载以后存在不可恢复的永久变形，如图-7所示：所示：
15、2023/2/14.3 岩石塑性本构关系因而与弹性本构关系相比，塑性本构关系具有如下特点：因而与弹性本构关系相比，塑性本构关系具有如下特点：1.应力应力应变关系的多值性：即对于同一应力往往有多个应变值与它应变关系的多值性：即对于同一应力往往有多个应变值与它相对应。因而它不能像弹性本构关系那样建立应力和应变的意义对应相对应。因而它不能像弹性本构关系那样建立应力和应变的意义对应关系，通常只能建立应力增量和应变增量间的关系，要描述塑性材料关系，通常只能建立应力增量和应变增量间的关系，要描述塑性材料的状态，除了要用应力和应变这些基本状态变量外，还需要用能够刻的状态，除了要用应力和应变这些基本状态变量外
16、，还需要用能够刻画塑性变形历史的内状态变量。画塑性变形历史的内状态变量。2.本构关系的复杂性：描述塑性阶段的本构关系不能像弹性力学那样本构关系的复杂性：描述塑性阶段的本构关系不能像弹性力学那样只用一组物理方程通常包括三组方程：只用一组物理方程通常包括三组方程：屈服条件：材料最先达到塑性状态的应力条件；屈服条件：材料最先达到塑性状态的应力条件；加加-卸载准则：材料进入塑性状态以后继续塑性变形或回到弹性状态的卸载准则：材料进入塑性状态以后继续塑性变形或回到弹性状态的准则，通式写为：准则，通式写为：本构关系：材料在塑性阶段的应力应变关系或应力与应变增量间的关本构关系：材料在塑性阶段的应力应变关系或应
17、力与应变增量间的关系，通式写为：系，通式写为：2023/2/14.3 岩石塑性本构关系1.岩石屈服条件和屈服面岩石屈服条件和屈服面从弹性状态开始第一次屈服的屈服条件叫初始屈服条件，它可表示为：从弹性状态开始第一次屈服的屈服条件叫初始屈服条件，它可表示为：当产生了塑性变形，屈服条件的形式发生了变化，这时的屈服条件叫当产生了塑性变形，屈服条件的形式发生了变化，这时的屈服条件叫后继屈服条件，其形式变为：后继屈服条件，其形式变为：式中，式中，ij为总应力，为总应力，为标量的内变量，它可以代表塑性功，塑性体积为标量的内变量，它可以代表塑性功，塑性体积应变，或等效塑性应变。屈服条件在几何上可以看成是应力空
18、间中的应变，或等效塑性应变。屈服条件在几何上可以看成是应力空间中的超曲面，因而它们也称为初始屈服面和后继屈服面，通称为屈服面超曲面，因而它们也称为初始屈服面和后继屈服面，通称为屈服面2023/2/14.3 岩石塑性本构关系随着塑性应变等的出现和发展，按塑性材料屈服面的大小和形状是否随着塑性应变等的出现和发展，按塑性材料屈服面的大小和形状是否发生变化，可分为理想塑性材料和硬化材料两种：随着塑性应变等的发生变化，可分为理想塑性材料和硬化材料两种：随着塑性应变等的出现和发展，屈服面的大小和形状不发生变化的材料，叫做理想塑性出现和发展，屈服面的大小和形状不发生变化的材料，叫做理想塑性材料；反之叫硬化材
19、料，如图材料；反之叫硬化材料，如图4-8所示：所示：2023/2/14.3 岩石塑性本构关系硬化材料的屈服面模型：硬化材料的屈服面模型：1.等向硬化等向硬化软化模型。塑性变形发展时，屈服面作均匀扩大（硬化）软化模型。塑性变形发展时，屈服面作均匀扩大（硬化）或均匀收缩（软化）。如果或均匀收缩（软化）。如果f*=0，那么等向硬化，那么等向硬化软化的后继屈服面软化的后继屈服面可表示为：可表示为：式中，材料参数式中，材料参数H是标量的内变量是标量的内变量的函数。的函数。2.随动硬化模型。塑性变形发展时，屈服面的大小和形状保持不变，随动硬化模型。塑性变形发展时，屈服面的大小和形状保持不变，仅是整体地在应
20、力空间中做平动。其后继屈服面可表示为：仅是整体地在应力空间中做平动。其后继屈服面可表示为：3.混合硬化模型。介于等向硬化混合硬化模型。介于等向硬化软化和随动硬化之间的模型，其后软化和随动硬化之间的模型，其后继屈服面可表示为：继屈服面可表示为：2023/2/14.3 岩石塑性本构关系复杂应力状态下的各种硬化模型如图复杂应力状态下的各种硬化模型如图4-9所示：所示：2023/2/14.3 岩石塑性本构关系塑性岩石力学最常用的屈服条件：塑性岩石力学最常用的屈服条件：1.库伦屈服条件。它是一种等向硬化库伦屈服条件。它是一种等向硬化软化模型，它认为当材料某平软化模型，它认为当材料某平面的剪应力达到某一特
21、定值时，材料就进入屈服。而这一特定值不仅面的剪应力达到某一特定值时，材料就进入屈服。而这一特定值不仅与材料自身的性质有关，而且与该平面上的正应力有关。一般可表示与材料自身的性质有关，而且与该平面上的正应力有关。一般可表示为：为：式中式中为屈服面上的剪应力，为屈服面上的剪应力，n为为所在平面上的正应力，所在平面上的正应力，c为内聚力，为内聚力，为内摩擦角。主应力的表示形式为为内摩擦角。主应力的表示形式为库伦屈服条件没有考虑围压库伦屈服条件没有考虑围压2对屈服特性的影响；德鲁克对屈服特性的影响；德鲁克普拉格屈普拉格屈服条件是对库伦屈服条件的修正，它不仅能考虑围压服条件是对库伦屈服条件的修正，它不仅
22、能考虑围压2对屈服特性的对屈服特性的影响，并且能反映剪切引起膨胀（扩容）的性质影响，并且能反映剪切引起膨胀（扩容）的性质2023/2/14.3 岩石塑性本构关系2.德鲁克德鲁克普拉格屈服条件。它也是一种等向硬化普拉格屈服条件。它也是一种等向硬化软化模型，可表软化模型，可表示为：示为：2023/2/14.3 岩石塑性本构关系在主应力空间中，库伦屈服条件是一个六棱锥，德鲁克在主应力空间中，库伦屈服条件是一个六棱锥，德鲁克普拉格屈服普拉格屈服条件是一个圆锥，以上两种屈服条件在条件是一个圆锥，以上两种屈服条件在平面上的几何图形见图平面上的几何图形见图4-102023/2/14.3 岩石塑性本构关系2.
23、塑性状态的加塑性状态的加卸载准则卸载准则在塑性状态下，材料毒所施加的应力增量的反应一般有三种情况。第在塑性状态下，材料毒所施加的应力增量的反应一般有三种情况。第一种情况是塑性加载，即对应材料施加应力增量后，材料从一种塑性一种情况是塑性加载，即对应材料施加应力增量后，材料从一种塑性状态变化到另一种塑性状态，且有新的塑性变形出现；第二种情况是状态变化到另一种塑性状态，且有新的塑性变形出现；第二种情况是中性变载，即对材料施加应力增量后，材料从一种塑性状态变化到另中性变载，即对材料施加应力增量后，材料从一种塑性状态变化到另一种塑性状态，但没有新的塑性变形出现；第三种情况是塑性卸载，一种塑性状态，但没有
24、新的塑性变形出现；第三种情况是塑性卸载，即对材料施加应力增量后，材料从塑性状态退回到弹性状态。，情况即对材料施加应力增量后，材料从塑性状态退回到弹性状态。，情况如图如图11所示。所示。加载是从一个塑性状态变化到另一个塑性状态上，应力点始终保持在加载是从一个塑性状态变化到另一个塑性状态上，应力点始终保持在屈服面上，因而有屈服面上，因而有2023/2/14.3 岩石塑性本构关系这个条件成为一致性条件。卸载是从塑性状态退回到弹性状态，因而这个条件成为一致性条件。卸载是从塑性状态退回到弹性状态，因而卸载应有卸载应有dF0.故理想塑性材料的加故理想塑性材料的加卸载准则为卸载准则为对于硬化塑性材料，情况比
25、较复杂，同理可推出加对于硬化塑性材料，情况比较复杂，同理可推出加卸载准则为卸载准则为2023/2/14.3 岩石塑性本构关系3.本构方程本构方程弹性状态的应力弹性状态的应力应变为单值关系，这种关系仅取决于材料的性质；应变为单值关系，这种关系仅取决于材料的性质；而塑性状态时，应力而塑性状态时，应力应变关系是多值的，它不仅取决于材料性质，应变关系是多值的，它不仅取决于材料性质，还取决于加卸载历史。因此，出了在简单加载或塑性变形很小的情况还取决于加卸载历史。因此，出了在简单加载或塑性变形很小的情况下，可以像弹性状态那样建立应力下，可以像弹性状态那样建立应力应变的全量关系外，一般只能建应变的全量关系外
26、，一般只能建立应力和应变增量间的关系。描述塑性变形中全量关系的理论称为全立应力和应变增量间的关系。描述塑性变形中全量关系的理论称为全量理论，又称形变理论或小变形理论，描述应力和应变增量间关系的量理论，又称形变理论或小变形理论，描述应力和应变增量间关系的理论称为增量理论，又称流动理论。理论称为增量理论，又称流动理论。全量理论是有汉基提出，依留申加以完善的。在弹性理论中，根据广全量理论是有汉基提出，依留申加以完善的。在弹性理论中，根据广义胡克定律，有：义胡克定律，有：2023/2/14.3 岩石塑性本构关系在塑性力学的全量理论中，类似弹性理论的广义胡克定律，提出如下在塑性力学的全量理论中，类似弹性
27、理论的广义胡克定律，提出如下公式：公式：式中，式中，G是一个与应力有关的参数，是一个变量：是一个与应力有关的参数，是一个变量：i为等效应力，为等效应力，i为等效应变。为等效应变。2023/2/14.3 岩石塑性本构关系忽略体积变形，忽略体积变形，m=0，则全量理论为：，则全量理论为：写成张量的形式为：写成张量的形式为：式中式中sij为应力偏量。为应力偏量。2023/2/14.3 岩石塑性本构关系若设若设G=G/，称为塑性指标，在弹性变形时，称为塑性指标，在弹性变形时，=1，则轴对称问题，则轴对称问题的圆柱坐标系全量理论方程为的圆柱坐标系全量理论方程为在平面应变问题中，在平面应变问题中，z=0，
28、塑性本构方程，塑性本构方程2023/2/14.3 岩石塑性本构关系当应力产生一无限小增量时，假设应变的变化可分成弹性的及塑性的当应力产生一无限小增量时，假设应变的变化可分成弹性的及塑性的两部分：两部分：弹性应力增量与弹性应变增量之间仍由常弹性矩阵弹性应力增量与弹性应变增量之间仍由常弹性矩阵D联系，塑性应变联系，塑性应变增量由塑性势理论给出。类似于弹性介质应变能或余能的概念，塑性增量由塑性势理论给出。类似于弹性介质应变能或余能的概念，塑性势理论认为，对弹塑性介质存在塑性势函数势理论认为，对弹塑性介质存在塑性势函数Q，它应是应力状态和塑，它应是应力状态和塑性应变的函数，使得性应变的函数，使得式中，
29、式中，是一正的待定有限量，它的具体数值和材料硬化法则有关。是一正的待定有限量，它的具体数值和材料硬化法则有关。（4-52）称为塑性流动法则。对于稳定的应变硬化材料，）称为塑性流动法则。对于稳定的应变硬化材料，Q通常取与通常取与后继屈服函数后继屈服函数F相同的形式。当相同的形式。当Q=F时，这种特殊情况称为关联塑性，时，这种特殊情况称为关联塑性，否则称为非关联塑性。否则称为非关联塑性。2023/2/14.3 岩石塑性本构关系对于关联塑性，塑性流动法则可表示为对于关联塑性，塑性流动法则可表示为如果将应力空间的坐标与应变空间的坐标重合，（如果将应力空间的坐标与应变空间的坐标重合，（4-53）式在几何
30、上）式在几何上表示应变增量矢量与应力空间屈服面正交，因而（表示应变增量矢量与应力空间屈服面正交，因而（4-53）式也叫做正）式也叫做正交法则。交法则。总应变增量表示为总应变增量表示为2023/2/14.3 岩石塑性本构关系对于关联塑性，总应变增量表示为对于关联塑性，总应变增量表示为由一致性条件可推出待定有限量为由一致性条件可推出待定有限量为对于理想塑性材料，对于理想塑性材料，A=0；对于硬化材料，有；对于硬化材料，有式中式中u为塑性功，这样加载时的本构方程为为塑性功，这样加载时的本构方程为2023/2/14.3 岩石塑性本构关系这样，对任何一个状态，只要给出了应力增量，就可以按上式惟一地这样，对任何一个状态，只要给出了应力增量，就可以按上式惟一地确定应变增量确定应变增量dij应用增量理论求解塑性问题，能够反映应变历史对塑性变形的影响，应用增量理论求解塑性问题，能够反映应变历史对塑性变形的影响，因而比较准确地描述材料的塑性变形规律。但是，求解问题比较复杂。因而比较准确地描述材料的塑性变形规律。但是，求解问题比较复杂。2023/2/1结束语结束语