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1、第二节第二节偏导数偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学过程：教学过程：一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 zf(x y)如果只有自变量 x 变化 而自变量 y固定 这时它就是x的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 zf(x y)对于 x 的偏导数定义设函数 zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y
2、 固定在 y0而 x 在 x0处有增量x 时 相应地函数有增量f(x0 x y0)f(x0 y0)如果极限x0limf(x0 x,y0)f(x0,y0)x存在 则称此极限为函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作fzxx0 xxzxxyy0 xyy00 xx0yy0 或fx(x0,y0)例如fx(x0,y0)limx0f(x0 x,y0)f(x0,y0)x类似地 函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为f(x0,y0y)f(x0,y0)limyy0记作fzx0 xx0zyyxyyy0yy0 xx0yy0或 fy(x0 y0)偏导函数如果函数zf(x
3、y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作zfz 或f(x,y)xxxxf(xx,y)f(x,y)偏导函数的定义式fx(x,y)limxx0类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为fz zy 或fy(x,y)yyf(x,yy)f(x,y)偏导函数的定义式fy(x,y)limyy0求ff时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数 求时 只要把 x 暂时看作常yx量而对 y 求导数讨论 下列求偏导数的方法是否正确？fx(x0,y0)fx(x,y)xx0fy(x0,y0)fy(x,
4、y)xx0yy0yy0fx(x0,y0)df(x,y0)xxfy(x0,y0)df(x0,y)yy00dydx偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 uf(x y z)在点(x y z)处对 x 的偏导数定义为fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)x其中(x y z)是函数 uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例 1 求 zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数解z2x3yz3x2yzxyxx121328y2zyx131227y2例 2 求 zx2sin 2y 的偏导数解z2xsin2yz2x2cos2yyx例 3 设z
5、xy(x0,x1)求证x z1 z2zy xlnx y证zyxy1zxylnxyxx z1 zxyxy11xylnxxyxy2zy xlnx yylnx例 4 求r x2y2z2的偏导数yyxxr解rxx2 y2z2ryx2y2z2r例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数)求证p V T1V T pp证 因为pRTRT2VVVV RTVRpTpT 所以pVTVpRRp V TRVRT1RTV T ppVV2p R例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数 zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义fx(x0 y0)f(x y0)x是截
6、线 zf(x y0)在点 M0处切线 Tx对 x 轴的斜率fy(x0 y0)f(x0 y)y是截线 zf(x0 y)在点 M0处切线 Ty对 y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如xyx2y20f(x,y)x2y2220 x y 0在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续提示f(x,0)0f(0,y)0fx(0,0)df(x,0)0fy(0,0)df(0,y)0dydx当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有(x,y)(0,0)limf(x,y)lim f(x,0)lim00 x
7、0 x0当点 P(x y)沿直线 ykx 趋于点(0 0)时 有2xykxlimlim22 2k222(x,y)(0,0)x yx0 x k x1kykx因此(x,y)(0,0)limf(x,y)不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为fz zy 或fy(x,y)yy偏导函数的定义式fy(x,y)limy0f(x,yy)f(x,y)y二二 高阶偏导数高阶偏导数设函数 zf(x y)在区域 D 内具有偏导数z f(x,y)z f(x,y)yyxx那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏
8、导数也存在 则称它们是函数 zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数 zf(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数 zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数22 z z z()z fxy(x,y)()2 fxx(x,y)y xxyx xx22 z zz()fyx(x,y)()z fyy(x,y)y yy2x yyx(z)2z f(x,y)(z)2z f(x,y)其中称为混合偏导数y xxyxyx yyxyx(z)2z(z)2z(z)2z(z)2zx xx2y xxyx
9、 yyxy yy2同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数232z2z z z例 6 设 zx y 3xy xy1 求2、3、和yxxyxx解z3x2y23y3yz2x3y9xy2xyx3 2323 z2226xyz6yx3x22 z z6x2y9y21226x y9y 1xyyx由例 6 观察到的问题2z2zyxxy22 z z在区域D内连续 那定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及yxxy么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数22 z0例 7 验证函数zln x y满足方程2zxy222证 因为zln x2
10、y21ln(x2y2)所以2yz2x2z22yx yxx y2(x2y2)x2xy2x2 z222 2x(x2y2)2(x y)2(x2y2)y2yx2y2 z22 22y(x2y2)2(x y)22x2y2y2x2 z z因此2222 222 20 xy(x y)(x y)222 u u10例 8证明函数u满足方程22urxyz2其中r x2y2z2r1xx证u1xr2xr2rr322 u13x r13x23435xrrxrr2223y2 u1 u13z同理235235yrrzrr22223y2 u u u13x13z2)因此222(35)(35)(1xyzrrrrr3r523(x2 y2z2)333r3350rr5rr(r3)332rr xr x3r2uxxx提示2(3)66xxrrr