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1、大一第二学期高等数学期中考试试卷大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分一、填空题（本题满分 1515 分，共有分，共有 5 5 道小题，每道小题道小题，每道小题 3 3 分）分），请将合适的，请将合适的答案填在空中。答案填在空中。1 1、已知球面的一条直径的两个端点为已知球面的一条直径的两个端点为2，3，5和和4，1，3，则该球面的方则该球面的方程为程为_2 2、函数函数u ln(xy2 z2)在点在点A(1,0,1)处沿点处沿点A指向点指向点B(3,2,2)方向的方向导数方向的方向导数为为3 3、曲面曲面z x2 y2与平面与平面2x4y z 0平行的切平面方程为平行的切平面方
2、程为4 4、lim(x,y)(0,0)(1cos(x2 y2)sin xy(x y)e2222x2y22z_5 5、设二元函数设二元函数z xy x y，则则xy3二、选择填空题（本题满分二、选择填空题（本题满分 1515 分，共有分，共有 5 5 道小题，每道小题道小题，每道小题 3 3 分）分）。以下每。以下每道题有四个答案，道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，请选出合适的答案填在空中，多选无效。多选无效。1 1、旋转曲面、旋转曲面x2 y2 z21是（是（）（A A）xOz坐标面上的双曲线绕坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成；轴旋转
3、而成；（B B）xOy坐标面上的双曲线绕坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成；轴旋转而成；（C C）xOy坐标面上的椭圆绕坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成；轴旋转而成；（D D）xOz坐标面上的椭圆绕坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成轴旋转而成2 2、微分方程、微分方程y y 2xcos x 3x2的一个特解应具有形式的一个特解应具有形式（）其中其中a1,b1,a2,b2,d1,d2,d3都是待定常数都是待定常数.(A).(A).x(a1x b1)cosx x(a2x b2)sin x d1x2;(B).(B).x(a1x b1)cos x x(a2x b2)sin x d1x2 d2x d3;(C).
4、(C).x(a1xb1)(a2cos xb2sin x)d1x2 d2x d3;(D).(D).x(a1x b1)(cos x sin x)d1x2 d2x d3 3 3、已知直线已知直线L:x 22y 1z22与平面与平面:x 2y z 4,则则（）(A).(A).L在在内内;(B).;(B).L与与不相交不相交;(C).(C).L与与正交正交;(D).;(D).L与与斜交斜交.4 4、下列说法正确的是、下列说法正确的是（）rrrr(A)(A)两向量两向量a与与b平行的充要条件是存在唯一的实数平行的充要条件是存在唯一的实数，使得，使得b a；2z2z(B)(B)二元函数二元函数z fx,y的
5、两个二阶偏导数的两个二阶偏导数2,2在区域在区域 D D 内连续，则在该内连续，则在该yx区域内两个二阶混合偏导必相等；区域内两个二阶混合偏导必相等；(C)(C)二元函数二元函数z fx,y的两个偏导数在点的两个偏导数在点x0,y0处连续是函数在该点可微处连续是函数在该点可微的充分条件的充分条件；(D)(D)二元函数二元函数z fx,y的两个偏导数在点的两个偏导数在点x0,y0处连续是函数在该点可微处连续是函数在该点可微的必要条件的必要条件.5 5、设设z f(2x y,x 2y),且且2z，则则f C（即函数具有连续的二阶连续偏导数）（即函数具有连续的二阶连续偏导数）xy2（）(A)(A)2
6、 f11 2 f223f12;(B);(B)2 f11 f22 3f12;(C)(C)2 f11 f22 5 f12;(D);(D)2 f11 2 f22 f12.三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 2929 分）分）1 1、（本题本题 1313 分分）计算下列微分方程的通解。计算下列微分方程的通解。(1)(1)（6 6 分）分）y 1 x y2 xy2(2)(2)（7 7 分）分）y3y 2y xe2x2 2、（本题本题 8 8 分分）设设z uv2 tcosu，u et，v lnt，求全导数求全导数3 3、（本题本题 8 8 分分）求函数求函数fx,y e2xx y2 2y的极值。的
7、极值。四、应用题四、应用题（本题本题 8 8 分分）1 1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和台和y台台，成本函数为成本函数为c(x,y)x2 2y2 xy（万元）万元），若市场调查分析，共需两种机床若市场调查分析，共需两种机床 8 8 台，求如何台，求如何dz。dt安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？五五、综合题（本大题共综合题（本大题共 2121 分）分）yzxz111 1、（本题本题 1010 分分）已知直线已知直线l1：bc，l2：ac，求过求过l1且平行于且平行于l2的平的平x 0y 0面方程
8、面方程2 2、（、（本本 题题1111分分）设设 函函 数数f(x,y,z)ln xln y 3ln z在在 球球 面面x2 y2 z2 5R2(x 0,y 0,z 0)上求一点上求一点，使函数使函数f(x,y,z)取到最大值取到最大值六、证明题（本题共六、证明题（本题共 1212 分）分）1 1、设函数设函数u xkF,证明证明:xzxy，其中其中k是常数是常数，函数函数F具有连续的一阶偏导数试具有连续的一阶偏导数试xuuu z y z kxkF,xyzxy x第二学期高等数学期中考试试卷答案第二学期高等数学期中考试试卷答案一、一、填空题（本题满分填空题（本题满分 1515 分，共有分，共有
9、 5 5 道小题，每道小题道小题，每道小题 3 3 分）分）1.1.、x 32y 12z 12 212 2、3 3、2x 4y z 5 04 4、0 05 5、2y 3x2；二、选择填空题（本题满分二、选择填空题（本题满分 1515 分，共有分，共有 5 5 道小题，每道小题道小题，每道小题 3 3 分）分）1 1（A A）2 2（B B）3 3（C C）4 4（C C）5 5（A A）三三、计算题（本大题共计算题（本大题共 2929 分）分）121 1、（1 1）解：将原微分方程进行分离变量，得：解：将原微分方程进行分离变量，得：dy(1 x)dx21 ydyx2上式两端积分得上式两端积分得
10、 arctan y(1 x)dx x c221 yx2即即：arctan y x c其中其中c为任意常数为任意常数2（2 2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r23r 2 0,特征根为特征根为r11,该齐次方程的通解为该齐次方程的通解为Y C1x C2e2x,因因 2是特征方程的单根，是特征方程的单根，r2 2,于是，于是，故故 可可 设设 题题 设设 方方 程程 的的 特特 解解：y*x(b0 x b1)e2x.代代 入入 题题 设设 方方 程程,得得12b0 x b1 2b0 x,比较等式两端同次幂的系数比较等式两端同次幂的系数,得得b0,b1
11、 1,2于是，求得题没方程的一个特解于是，求得题没方程的一个特解y*x(1x 1)e2x.2从而，所求题设方程的通解为从而，所求题设方程的通解为y C1exC2e2x x(1x 1)e2x.22 2、解：解：zuv2tcosu v2tsinu，uuzzuv2tcosu 2uv，cosuvvt依复合函数求导法则，全导数为依复合函数求导法则，全导数为2x2fxx,y e2x 2y 4y 1 03 3、解解：解解方方程程组组，得得驻驻点点2xfx,y e2y 2 0y1,1。由由于于22xA fxxx,y 4e2xx y2 2y 1，B fxy 4ey 1，C fx,y 2e2xxyyy在在 点点1
12、122,1处，处，A 2e 0，B 0，C 2e，AC B 4e，所以函数在点，所以函数在点,1处取处取22得极小值，极小值为得极小值，极小值为f,1 。12e2四、应用题四、应用题（本题本题 8 8 分分）1 1、解：即求成本函数解：即求成本函数cx,y在条件在条件x y 8下的最小值下的最小值构造辅助函数构造辅助函数Fx,y x2 2y2 xy(x y 8)Fx 2x y 0解方程组解方程组Fy x 4y 0F x y 8 0解得解得 7,x 5,y 3这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和台和3台时，台时，总成本最小
13、，最小成本为：总成本最小，最小成本为：c(5,3)52 23253 28（万万）五五、综合题（本大题共综合题（本大题共 2121 分）分）1 1、解：直线解：直线l1与与l2的方向向量分别为的方向向量分别为1111s s10，1，0，00，bccb1111s s2，0，0，1，0，0，caac111，作作n n s s1s s2，2cabcc取直线取直线l1上的一点上的一点P10，0，c，则过点则过点P1且以且以n n，的平面的平面1 0，xyzabc就是过就是过l1且平行于且平行于l2的平面方程的平面方程1ca11，2为法向量为法向量bcc2 2、解：设球面上点为、解：设球面上点为(x,y,z)令令L(x,y,z,)ln xln y 3ln z(x2 y2 z25R2)，z2由前三个式子得由前三个式子得x y，代入最后式子得代入最后式子得x y R,z 3R由题意得由题意得3f(x,y,z)在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(R,R,3R)就是最大就是最大22值点，最大值为值点，最大值为f(R,R,3R)ln(3 3R5)六、证明题（本题共六、证明题（本题共 1212 分）分）1 1、证明：、证明：所以，所以，xuuu y zxyz