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1、正弦定理和余弦定理典型例题透析正弦定理和余弦定理典型例题透析类型一：正弦定理的应用：类型一：正弦定理的应用：例 1已知在ABC中，c 10，A 45，C 30，解三角形.思路点拨思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.解析：解析：ac，sin AsinCa csin A10sin4510 2，sinCsin30B 180(AC)105，又bc，sinBsinCb csin B10sin1056 2 20sin 75 20 5 6 5 2sinCsin304总结升华：总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两
2、角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：举一反三：【变式 1】在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。【答案】【答案】根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；asinB42.9sin81.8080.1(cm)；根据正弦定理，bsinAsin32.00asinC42.9sin66.2074.1(cm).根据正弦定理，csinAsin32.00【变式 2】在ABC中，已知B 75，C 60，c 5，求a、A.【答案】【答案】A1
3、80(BC)180(75 60)45，0000000根据正弦定理a55 6a，.sin45osin60o3【变式 3】在ABC中，已知sin A:sin B:sinC 1:2:3，求a:b:c【答案】【答案】根据正弦定理abc，得a:b:c sin A:sin B:sinC 1:2:3.sin Asin BsinC例例 2 2在ABC中，b 3,B 60,c 1，求：a和A，C思路点拨思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.1解析：解析：由正弦定理得：bc，sinBsinCsinC csin B1sin6
4、01，b23（方法一）0 C 180，C 30或C 150，当C 150时，BC 210 180，（舍去）；当C 30时，A 90，a b2c2 2（方法二）b c，B 60，C B，C 60即C为锐角，C 30，A 90a b2c2 2总结升华：总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角C时，因为sinC sin(1800C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：举一反三：【变式 1】在ABC中，c 6，a 2，A 45，求b和B,C【答案】【答案】accsin A6
5、sin453，sinC，sin AsinCa220 C 180，C 60或C 120当C 60时，B 75，b csin B6sin7531；sinCsin60csin B6sin153 1；sinCsin60当C 120时，B 15，b 所以，b 31,B 75,C 60或b 31,B 15,C 120【变式 2】在ABC中a 20,b 10 2,A 45,求B和c；【答案】【答案】1a10 2sin B，o2sin45sin B20 B 180，B 30或B 150当B 30时，C 105，c 10(3 1)；当B 150时，A B 195 180（舍去）。【变式 3】在ABC中，B 60
6、，a 14,b 7 6,求A.asin B14sin6002【答案】【答案】由正弦定理，得sin A.b27 6a b,A B，即0 A 60A 45类型二：余弦定理的应用：类型二：余弦定理的应用：例例 3 3已知ABC中，AB 3、BC 37、AC 4，求ABC中的最大角。思路点拨思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：解析：三边中BC 37最大，BC其所对角A最大，AB2 AC2 BC23242(37)21根据余弦定理：cos A ，2AB AC23420 A180，A 120故ABC中的最大角是A 120.总结升华：总结升华：1.ABC中，若知道三边的长度或三
7、边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：举一反三：【变式 1】已知ABC中a 3,b 5,c 7,求角C.a2b2c25232721，【答案】【答案】根据余弦定理：cosC 2ab23520 C 180，C 120【变式 2】在ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a:b:c 的各角的大小【答案】【答案】设a 6k，b 2k，c，求ABC6:2:3（1）o3 1 k，k 03根据余弦定理得：cosB 623 13 14622，20 B 180，B 45；同理可得A 60；C 180 A B 75【变式 3】在ABC中，若a
8、 b c bc，求角A.222b2c2a21【答案】【答案】b c a bc，cos A 2bc22220 A180，A 120类型三：正、余弦定理的综合应用类型三：正、余弦定理的综合应用例例 4 4在ABC中，已知a2 3，c 62，B450，求b及A.思路点拨思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.解析：解析：由余弦定理得：b2a2c22accosB=(2 3)2(6 2)222 3(6 2)cos450=12(6 2)24 3(31)=8b2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）b2c2a2(2 2
9、)2(6 2)2(2 3)21cosA，2bc222 2(6 2)A600.（法二：正弦定理）a2 33sin450sinAsinBb22 2又6 22.41.43.8，2 321.83.64ac，即00A900,A600.总结升华：总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：举一反三：【变式 1】在ABC中，已知b 3,c 4,A 135.求B和C.【答案】【答案】由余弦定理得：a 3 4 234cos135 2512 2，a 222o02512 2 6.48bsin A3sin135o 0.327，由正弦定理得：sin B aa因为A 135为钝角，则B为锐角，B 19 7.C 1800(A B)25053/.【变式 2】在ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a 2，b 2 2，c 6 2，求角A和sin C【答案】【答案】根据余弦定理可得：00/b2c2a2884 3 43cos A2bc222 26 20 A180，A 30；csin A由正弦定理得：sinC a6 2 sin3026 24.5