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1、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线AxByC0 某一侧全部点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线 AxByC0 同一侧的全部点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特别点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C 的符号即可推断 AxByC0 表示的直线是 AxByC0 哪一侧的平面区域
2、.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的一次不等式线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满意线性约束条件的解可行域全部可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标
3、函数即可求出最大值或最小值.(2)不等式 x2y20 表示的平面区域是一,三象限角的平分线和二,四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域.()3xy60，表示的平面区域是下图中的x0，y0阴影部分.()2.下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是()A.(0,0)B.(1,1)C.(1,3)D.(2，3)xy1，3.若实数 x，y 满意不等式组xy1，3xy3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A.3B.52C.2D.2 2y2x，4.(2013湖南)若变量 x，y 满意约束条件xy1，y1，则 x2y 的最大值是()A.52B.0C.53D.52答案C解析画出可行域如图.设
4、 zx2y，平行移动直线y111z12x2z，当直线 y2x2过点 M3，23时，z 取最大值53，所以(x2y)max53.xy20，5.(2013浙江)设 zkxy，其中实数 x，y 满意x2y40，2xy40.若 z 的最大值为 12，则实数 k_.答案2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当 0k12时，直线 ykxz 经过点 M(4,4)时 z 最大，所以 4k412，解得 k2(舍去)；当k12时，直线 ykxz 经过点(0,2)时 z 最大，此时 z 的最大值为 2，不合题意；当k0，x，y 满意约束条件xy3，2xy 的最小值为 1，yax3，若 z则 a 等于()A.11
5、4B.2C.1D.2答案(1)B(2)B0 x 2，解析(1)由线性约束条件y2，x 2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数 zOMOA 2xy，将其化为 y 2xz，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，,z 最大，将点(2，2)的坐标代入 z 2xy 得 z的最大值为 4.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线 z2xy 过交点 A 时，z 取最小值，由x1，得x1，zyax3，y2a，min22a1，解得 a12，故选 B.题型四求非线性目标函数的最值xy20，例 4(1)设实数 x，y 满意x2y40，则yx的最大值为_.2y30，xy2，2812A.B.
6、4C.D.255(2)已知 O 是坐标原点，点 A(1,0)，若点 M(x，y)为平面区域x1，y2，上的一个动点，则|OAOM|的最小值是_.思维启迪与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.答案(1)33 22(2)2解析(1)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值.(2)依题意得，OAOM(x1，y)，|OAOM|x12y2可视为点(x，y)与点(1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线xy2 引垂线的垂
7、足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离最小，因此|OAOM|的最小值是|102|3 222.思维升华常见代数式的几何意义有(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.设不等式组x1，x2y30，1，平面区域 2是与 1关于yx，所表示的平面区域是直线 3x4y90 对称的区域，对于 1中的随意一点 A 与 2中的随意一点 B，|AB|的最小值等于()答案B解析由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直
8、线 3x4y90 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线 3x4y90 的距离最小，故|AB|的最小值为 2|31419|54，选 B.方法与技巧1.平面区域的画法：线定界,点定域(留意实虚线).2.求最值：求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值.最优解在顶点或边界取得.3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要探讨的函数，转化成线性规划问题.失误与防范1.画出平面区域.避开失误的
9、重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值时，要留意：当 b0 时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b0 时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.A 组专项基础训练一,选择题y1.在直角坐标平面内，不等式组x1y00 xt所表示的平面区域的面积为32，则 t 的值为()A.3或 3B.3 或 1C.1D.3答案Cyx1解析不等式组y00 xt所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由yx1解得交点 B(t，t1)，在 yx1 中，令 x0 得 y1，xt即直线 yx1 与 y
10、 轴的交点为 C(0,1)，由平面区域的面积 S1t1t322，得 t22t30，解得 t1 或 t3(不合题意，舍去)，故选 C.x0，2.直线 2xy100 与不等式组y0，xy2，4x3y20表示的平面区域的公共点有()A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.多数个答案B解析在坐标平面内画出直线 2xy100 与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有 1 个.3xy60，3.(2013天津)设变量 x，y 满意约束条件xy20，则目标函数 zy2x 的最小值为y30，A.7B.4C.1D.2答案A解析可行域如图阴影部分(含边界)令 z0，得直线 l0：y2x0，平移直线 l0
11、知，当直线 l 过 A 点时，z 取得最小值.由y3，得xy20A(5,3).zmin3257，选 A.4.O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点 N(x，y)的坐标满意x2y24，2xy0，则OM)ON的最大值为(y0，A.2B.2 2C.3D.2 3答案B解析如图，点 N 在图中阴影区域内，当 O,M,N 共线时，OMON最大，此时 N(2，2)，OMON(1,1)(2，2)2 2，故选 B.2xy20，5.(2013山东)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组x2y10，3xy80所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为()A.2B.1C.13D.12解析画出图形
12、，数形结合得出答案.2xy20，如图所示，x2y10，3xy80所表示的平面区域为图中的阴影部分.由x2y10，得 A(3，1).当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，k3xy80，OM13.二,填空题y6.已知 z2xy，式中变量 x，y 满意约束条件x，xy1，x2，则 z 的最大值为_.答案5解析在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2xy0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，1)时，相应直线在 x 轴上的截距最大，此时z2xy 取得最大值，最大值是 z22(1)5.xy07.设 z2xy，x，y 满意xy00yk，若 z 的最大值为 6，则 k 的值为_，z
13、 的最小值为_.答案22解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2xy6，结合图形分析可知，要使z2xy 的最大值是 6，直线yk必过直线 2xy6 与 xy0 的交点，即必过点(2,2)，于是有k2；平移直线 2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时 z2xy 取得最小值，最小值是 z2(2)22.三,解答题7x5y23010.已知 x，y 满意条件x7y1104xy100，求 4x3y 的最大值和最小值.7x5y230解不等式组x7y1104xy100表示的区域如图所示.可视察出 4x3y 在 A 点取到最大值，在B 点取到最
14、小值.解方程组7x5y230，得x1，则 A(1，4xy1006).y6解方程组x7y1104xy100，得x3y2.则 B(3,2)，因此 4x3y 的最大值和最小值分别为14，18.B 组专项实力提升1.(2012课标全国)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在ABC 内部，则 zxy 的取值范围是()A.(1 3，2)B.(0,2)C.(31,2)D.(0,1 3)答案A解析如图，依据题意得C(1 3，2).作直线xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和 C(1 3，2)时，zxy 取范围的边界值，即(1 3)2z0)仅在点
15、(3,0)处取得最大值，则 a 的取值范围是_.答案12，解析画出 x,y 满意条件的可行域如图所示，要使目标函数 zaxy 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线 yaxz 的斜率应小于直线 x2y30 的斜率，即a2.x0，4.当 x，y 满意约束条件yx，2xyk0，(k 为负常数)时，能使zx3y 的最大值为 12，试求 k 的值.解在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图).当直线 y113x3z 经过区域中的点 A 时，截距最大.由yxkkk得 xy2xyk0，3.点 A 的坐标为(3，3).则 z 的最大值为k33(k44k3)3k，令312，得 k9.所求实数 k 的值为9.