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1、高等代数第六章线性空间测试题一、填空题（1）已知 R3的两组基1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1)；1(1,0,1),2(0,1,1),3(1,1,0)那么由到的过渡矩阵为。（2）在P22中，已知A1 1 1，A2 010，A3 1 1111110，是A4 00012P22的基，那么，A 34在该基下的坐标为。x1x2x3x40（3）设W1是方程组x1 x2 x3 x4 0解空间，W2是方程组x1x2x3x40那么W1W2是方程组的解空间。（4）设W1L1,1,0,1,0,1,W2 L0,1,1,1,2,3dimW1W2。W2都是 V 的子空间，（5）设W1、且W1+W2为直和
2、，那么dimW1W2。二、判断题：（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（）（2）实数域R上的全体n几级可逆矩阵做成Pnn的子空间。（）（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（）（4）线性空间 V 中任意两个子空间的并集仍是V 的子空间。（）（5）在子空间的和W1+W2中，如果012(1w1,2w2)，且这种表示形式唯一，那么W1+W2为直和。（）三、在P22中，G11 11 a1 1a1G G,G,4231 a1 1a 111当a为何值时，G1,G2,G3,G4线性相关？当a为何值时，G1,G2,G3,G4线性无关？四、设Px3ao a1x a2x2|ao,a
3、1,a2 P（1）证明 1，x 1,x 1是Px3的基，并求由该基到基x,x,1的过渡矩阵。（2）求f(x)1 x x在基 1，x 1,x 1下的坐标。五、设W1 L(1,2),1(1,1,0),2(0,1,1)，W2是齐次方程x1 x2 x3 0的解空间，求W1+W2，W1W2的一组基和维数。2222六、设V(a bi,c di)|a,b,c,d R,i2 1把 V 看成 R 上的线性空间，证明：1(1,0),2(i,0),3(0,1),4(0,i)是 V 的一组基。七、设A2 A,W1是AX 0的解空间，W2是(A E)X 0的解空间，证明：W1W2 Pn。八、设W(a,a b,a b)|a,bR证明：（1）W 关于R中的向量的加法和数乘运算做成R上的线性空间。（2）W R。23