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1、1专题对点练专题对点练 2424 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 1 1.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1 相切. (1)求圆心M的轨迹方程; (2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC 恒过定点.2 2.已知椭圆:+y2=1(a1)与圆E:x2+=4 相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半22( -3 2)2 3 轴于点D. (1)求椭圆的离心率; (2)过点D的直线交椭圆于M,N两点,点N与点N关于y轴对称,求证:直线MN过定点,并求该 定点坐标.3 3.已知抛物线E:y
2、2=4x的焦点为F,圆C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线l与抛物线E交于A,B两点,与圆C 切于点P.(1)当切点P的坐标为时,求直线l及圆C的方程;(4 5,8 5) (2)当a=2 时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.24 4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(aR R),已知当a=1 时,动圆N过点M且与直线x=-1 相 切,记动圆N的圆心N的轨迹为C. (1)求曲线C的方程; (2)当a2 时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y00),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切, 当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5 5.
3、已知椭圆M:=1(ab0)的焦距为 2,离心率为.22+2233 2 (1)求椭圆M的方程; (2)若圆N:x2+y2=r2上斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请 求出相应的r的值;若不能垂直,请说明理由.6 6.已知椭圆=1(ab0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且AOB的22+223 面积为.2(1)求椭圆的方程; (2)直线y=2 上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标; 若不存在,说明理由.3专题对点练 2424 答案 1 1.(1)解 动点M到直线y=-1 的距离等于到定点C(
4、0,1)的距离, 动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2,动点M的轨迹方程为x2=4y. (2)证明 由题意可知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4kx+8=0,=16k2-320,解得k或k0,x1+x2=-,x1x2=,2 - 4222|AB|=1 + 2 (1+ 2)2- 412=1 + 2(-2 - 42)2- 4 22=1 + 2- 16 + 162=1 + 2422=4(2+ 22)2=,4(4 - 4 + 22)2=4 - 22 由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x
5、2+2,|FA|+|FB|=-+2,2 - 42|FA|+|FB|-|AB|=-+2-=2,2 - 424 - 22 |FA|+|FB|-|AB|是定值,定值为 2. 4 4.(1)解 因为圆N与直线x=-1 相切,所以点N到直线x=-1 的距离等于圆N的半径, 所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1 的距离相等. 所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1 为准线的抛物线, 所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x. (2)证明 由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),由 - 0= ( - 0), 2= 4?得y2-y-kx0+y0=0,
6、又=4x0,所以y2-y-+y0=0.20 42 0因为直线l与曲线C相切,所以=1-k=0,解得k=.(- 42 0+ 0)2 0所以直线l的方程为 4x-2y0y+=0.20动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离d=.|4 + 20|16 + 420 当动圆M的面积最小时,即d最小,5而当a2 时,d=2.|4 + 20|16 + 420=20+ 42 20+ 4=20+ 4 + 4 - 42 20+ 4=20+ 4 2+4 - 42 20+ 4 - 1当且仅当=4a-8,即x0=a-2 时取等号,20 所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2, 即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横
7、坐标之差为定值.5 5.解 (1)依题意椭圆M:=1(ab0)的焦距为 2,离心率为.22+22332得c=,e=,可得a=2,则b=1,3 =32故椭圆的方程为+y2=1.2 4 (2)设直线l的方程为y=kx+m,直线l与圆x2+y2=1 相切,=r,即m2=r2(k2+1).|2+ 1由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, = + , 2 4+ 2= 1?=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+160,m2b0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且22+223 AOB的面积为,2c, ab=,a=2,b=,2+ 2=
8、322椭圆方程为=1.2 4+2 2 (2)假设直线y=2 上存在点Q满足题意, 设Q(m,2),当m=2 时,从点Q所引的两条切线不垂直. 当m2 时,设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k,则l的方程为y=k(x-m)+2, 代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0, =16k2(mk-2)2-4(1+2k2)2(mk-2)2-4=0, (m2-4)k2-4mk+2=0. 设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0 的两个根,k1k2=-1,22- 4解得m=,点Q坐标为(,2)或(-,2).222直线y=2 上两点(,2),(-,2)满足题意.22