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1、新高一数学必备知识一、 乘法公式1、 完全平方公式和平方差公式 2、 和立方与差立方公式3、 立方和与立方差公式二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 若ax2bxc0（a0）两根分别是x1，x2，则x1x2，x1x2也被称为韦达定理以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bx
2、c=0(a0)的两根，则，【例题精讲】例1. 已知方程5x2kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值例2. 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x-3=0的两根(1) 求|x1-x2|的值； (2) 求的值； (3) 求的值例3. 已知、是方程x22x-5=0的两个实数根，则22的值为_【巩固练习】1. 和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数的值范围是 2. 关于x的方程的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值3. 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a,b是相异的两实数，满足的值例
3、2. ，求的值【巩固练习】1. 如果、都是质数，且，求的值2. 设实数a,b分别满足且的值3. ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是 3、根的分布定理（1）0分布一元二次方程的根从几何意义上来说就是二次函数与轴交点的横坐标，所以研究的实根的情况，可从函数的图象上进行研究.分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合（不讨论）【例题精讲】例1. 已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围例2. 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围（1）方程两实根均为正数；（2）方程有一
4、正根一负根【巩固练习】已知一元二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围（2）k分布【知识梳理】分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合（不讨论）【例题精讲】例1. 若关于的方程的一个大于、另一根小于，求实数的取值范围例2. 若关于的方程的两根均小于，求实数的取值范围例3.已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围【巩固练习】1. 关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）2. 实数为何值时，方程的两根都大于 3. （1）已知：是方程的两个根，且，求的取值范围；（2）若的两根都小于，求的取值范围（3
5、）m、n分布分布情况两根有（图象有两种情况，只画了一种）大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合（不讨论）【例题精讲】例1. 已知关于x的二次方程x22mx2m10，（1）若方程有两根，其中一根满足，另一根满足，求m的范围；（2）若方程两根满足，求m的范围例2. 关于x的二次方程的两根满足0，求实数p的取值范围例3. 二次函数 的图像与轴的两个交点满足，且分居轴的两侧，求实数的取值范围例4. 若二次函数y=的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围【巩固练习】1. 关于的方程的两根分别满足，求的取值范围2. 二次方程的两个根与，当且时，实数
6、的取值范围是 总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a和的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程x2-ax+a-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程ax2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x2-2(a+4)x+2a2+5a+3=0的两个根都在内；（4）方程7x2-（a+13）x+2a-1=0的一个根在内，另一个根在内例2.已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围【巩固练习】已知方程有一个根小于，其余三个根都大于，求的取值范围三、不等式1、一元二次不等式例1.
7、解下列不等式（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） （6）x22x30； （7）xx260； （8）4x24x10； （9）x26x90； （10）4xx20例2.设，解关于的不等式2、 分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f(x)与g(x)是关于x的多项式，不等式，称为分式不等式前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解具体如下：，即或，即；，即或，即；，即，即或；，即，即或（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式前面介绍过的符号
8、法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f(x)0(0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐方法2：穿针引线法：将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x的系数为正）或二次不可约因式的乘积；求出各因式的实数根，并在数轴上标出；自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集例题解析（1）
9、求不等式的解集（2）求不等式的解集（3） 求不等式的解集（4） 求不等式的解集3、恒成立与有解问题 一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数的图象与轴的位置关系问题，若是不等式恒成立，即函数图象恒在轴上方，且与轴无交点，同理可以得到其他类似情形。【例题精讲】例1. 已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围例2. 已知.（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；（2）如果对，成立，求实数的取值范围.【巩固练习】1. 已知关于x的二次不等式: 的解集为R，求a的取值范围.2. 不等式有实数解，且对于任意的实数解，求实数m的取值范围3. 已知函数，且，若对于任意实
10、数x恒有，求实数p,q的值.四、二次函数的最值1、二次函数的最值轴定区间定二次函数的最值问题，核心是对函数对称轴与给定x范围的相对位置关系的讨论一般分为：对称轴在取值范围的左边，中间，右边三种情况分析： 【例题精讲】例1.求函数的最小值； 例2.当时，求函数的最大值和最小值例3.当时，求函数的取值范围2、轴定区间动、轴动区间定例1. 已知函数yx2，2xa，其中a 2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值例2.当时，求函数的最小值(其中为常数)例3.当时，求函数的最大值（其中为常数）例4.已知函数在时的最大值为4，求实数a的值【巩固练习】1、已知函数，在时的最大值为，求的值2、已知二次函数在时的最大值为3，求实数a的值