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1、1.5.1 全称量词与存在量词教案一、内容和内容解析1.内容全称量词的概念，全称量词命题及其形式，存在量词的概念，存在量词命题及其形式。2.内容解析在数学中，一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断其真假，因此就不是命题。但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为命题。我们把这样的短语称为量词，此时含有量词的陈述句就成为可以研究真假性的命题了，这是在数学中非常常用的一类命题，也就是本节要研究和学习的全称量词命题和存在量词命题。短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号表示。含有全称量词的命题叫做全称量词命题。全称量词命题“
2、对M任意一个x，p(x)成立”，成立”可用符号简记为“”。这样就得到了全称量词命题形式。短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，用符号表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。存在量词命题“存在M任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“”。这样就得到了存在量词命题的形式。熟悉了全称量词命题和存在量词命题的形式，并能够判断其真假，这样就使命题形式更加丰富，能够更精准和更高效地表达数学问题和结论，使数学表达和交流更具严谨性和准确性。基于以上分析，确定本节课的教学重点是全称量词命题和存在量词命题的理解。二、目标和目标解析1.目标（1）通过学过的数学实例，理解全称量词的意义，掌握全
3、称量词命题的形式，能判断全称量词命题的真假；（2）通过学过的数学实例，理解存在量词的意义，掌握存在量词命题的形式，能判断存在量词命题的真假。2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过对一些含有变量的陈述句的梳理，能够认识全称量词和全称量词命题，能够掌握对全称量词命题的真假性的判断方法，即判断全称量词命题为真命题，需要对每一个变量，语句都成立；判断为假命题，只需要找到一个使语句不成立的变量。（2）通过对一些含有变量的陈述句的梳理，能够认识存在量词和存在量词命题，能够掌握对存在量词命题的真假性判断的方法，即判断存在量词命题为真命题，只需要找到一个或证明存在使语句成立的变量；判断为假命题，需要证明
4、对每一个变量，语句都不成立。三、教学问题诊断分析含有变量的陈述句是大量存在的，当用量词限定了变量的范围后就形成了命题。对学生而言，初中学习过一些含有全称量词和存在量词的命题，例如“平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”，“”等，这些并不陌生。通过本节课可以将其归纳并用确定的符号表示出来。学生的学习难点在于判断一个命题是否为含有量词的命题，所以在教学过程中需要注意帮助学生提炼语句中的量词，并更多地把自然语句转化成标准的全称量词命题和存在量词命题形式量词引导的逻辑语句。由于在之前的学习过程中学习过的数学定理、规律、公式基本上都是普适性的，对所有变量都成立的命题非常多，所以学生理解全称量词命题并不困
5、难，判断其真假性的方法也相对容易接受。但在教学过程中仍需要对全称量词命题由自然语句向标准的全称量词命题形式的转化通过多举例子的方式引导学生完成。相对而言，存在量词命题是对部分变量甚至是唯一变量成立的，不常以结论形式出现，在学生之前的学习过程中出现得相对较少，学生掌握起来稍有难度。学生对命题中不同的存在量词的识别上以及对存在量词命题叙述的真假性判断中都有可能出现理解的障碍，所以在存在量词命题的教学中可以更多的举例分析，帮助学生找到量词，并锻炼学生将自然语言语句向逻辑语言语句转化的能力。存在性问题是一类重要的数学问题，通过本节中对存在量词命题的学习和研究，学生能够更好的理解和掌握存在性问题的处理方
6、法。本节课的教学难点是理解存在量词命题的概念及判断其真假性。四、教学过程设计（一）概念的引入问题1：命题是可以判断真假的陈述句，但是我们会碰到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么，所以无法判断真假。你能想到这样的例子吗？同时也有一些例子中含有变量却能够判断真假，你能想到类似的例子吗？师生活动：教师和学生一起举例子，通过分析这两种例子进行对比，发现其中的区别和联系。设计意图：引导学生发现含有变量的陈述句能否成为命题的关键在于是否对变量的取值情况进行了限定，从而引出量词的概念。（二）概念的形成问题2：阅读教科书第24页“思考”，关于“思考”中的4个语句，它们都是命题吗？为什么？师生活动：学
7、生判断（1）（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问。追问：（1）比较语句（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？（2）比较语句（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？师生活动：学生回答问题，进行对比发现。教师总结，提炼出短语“所有的”“任意一个”等并给出全称量词的概念。设计意图：让学生有针对性地进行对比，从而发现其中的短语的特点和所起到的作用。（三）概念的理解问题3：你能再举几个含有全称量词的命题的例子吗？师生活动：学生举例子，教师展示学生所举的例子，给出全称量词命题的概念，并根据学生情况提出以下问题进行追问。追问：（1）通过所举例子，你能表示出全称量
8、词命题的一般形式吗？师生活动：教师通过所举例子，引导学生表示出全称量词命题的一般形式。追问：（2）你能判断出刚才所举例子的真假性吗？师生活动：学生回答问题，教师总结方法。设计意图：通过大量实例强化学生对量词的认识，包括其他常见全称量词短语的使用举例，同时锻炼学生使用符号语言的能力。（四）概念的巩固应用例1判断下列全称量词命题的真假。（1）所有的素数都是奇数；（2）；（3）对任意一个无理数x，也是无理数。师生活动：学生回答问题，教师给出解答示范。设计意图：强化学生对全称量词命题真假性的判断方法：真命题需证明，假命题“举反例”。（五）概念的形成问题4：阅读教科书第25页“思考”，关于思考中的4个语
9、句，它们都是命题吗？为什么？师生活动：学生判断（1）（4）是否为命题，教师根据学生情况可以选择以下问题进行追问。追问：（1）比较语句（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？（2）比较语句（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？师生活动：学生回答问题，互相讨论，进行对比思考。教师总结，提炼出短语“存在一个”“至少有一个”并给出存在量词的概念。设计意图：让学生有针对性地进行对比，从中体会短语“存在”的含义及作用。（六）概念的深化及应用问题5：你能再举几个含有存在量词的命题的例子吗？师生活动：学生举例子，教师展示学生所举的例子，给出存在量词命题的概念，并根据学生情况提出以下问题进
10、行追问。追问：（1）通过所举例子，你能表示出存在量词命题的一般形式吗？师生活动：学生根据本节课的活动经验，独立给出存在量词命题的符号化表示。追问：（2）你能判断出刚才所举例子的真假性吗？师生活动：学生回答问题，教师总结方法。追问：（3）存在量词短语“有些”“有一个”“有的”等等，他们所蕴含的意义相同吗？师生活动：学生思考，讨论交流，教师总结方法。设计意图：前两个问题完全对比全称量词命题的处理方法，学生经过了全称量词的学习能够做好对比研究，但相对而言，存在量词短语形式较多更不易理解，故增加追问（3）让学生辨析更清晰。例2 判断下列存在量词命题的真假。（1）（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条
11、直线；（3）有些平行四边形是菱形。师生活动：学生回答问题并阐述方法。教师作总结并作解答示范。设计意图：通过真假性判断使学生更进一步理解存在量词的含义，并能作出准确的真假性判断。（六）归纳小结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题。（1）什么是全称量词和全称量词命题？如何判断全称量词命题的真假？（2）什么是存在量词和存在量词命题？如何判断存在量词命题的真假？设计意图：从知识内容和研究方法两方面回顾和总结本节内容。布置作业：教科书第26页练习1，2，习题1.5 1，2.五、目标检测设计1.判断下列语句是否是命题，如果是，判断是全称量词命题还是存在量词命题。（1）是无理数；（2）所有的二次函数都有一条对称轴；（3）有的平行四边形两条对角线互相垂直。设计意图：检验学生是否正确理解和准确把握全称量词命题和存在量词命题。2.判断下列命题的真假。（1）有一组对边互相平行的四边形都是梯形；（2）有些正整数的平方是素数；（3）（4）设计意图：检验学生是否掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的方法。