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1、新定义1、如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，称这条边上的中线为“好玩线”（1）如图1，以线段BC为三角形的一边，请用直尺和圆规画一个ABC，且ABC是“好玩三角形”(保留作图痕迹，不写作法)；(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知A(-3，0)，B(3，0)，M(-5，0)，点D是以点M为圆心4为半径的圆上除x轴外的任意一点，且D为AC中点描述点C的轨迹： ；若点D不在x轴上，且ABC中有两条“好玩线”，求出此时ABC的面积。2、在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E给出如下定义：若在线段OE，A和
2、直线l上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”例如，图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”（1）如图，已知点A（1，2）在直线x1上，四边形ABCD为直线x1的“理想矩形”，直接写出点D的坐标；（2）如图，已知一次函数ykx+1（k0）的图象是直线l，点A（1，2）在直线l上，求直线l的“理想矩形”ABCD的面积；（3）已知点A（1，3）在直线l上，若直线l的“理想矩形”ABCD是正方形，求点D的坐标解：（1）如图1，点D的坐标为（1，0）故答案为：（1，0）；（2）过点A作AFy轴于点F，连接AO、AC，如图
3、2点A的坐标为（1，2），ACAO，AF1，OF2点A（1，2）在直线ykx+1上，k+12，解得k1设直线yx+1与y轴相交于点G，当x0时，y1，点G（0，1），OG1，FGOFOG211AF，FGA45，AG在RtGAB中，ABAGtan45在RtABC中，BC所求“理想矩形”ABCD面积为ABBC；（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2AC2AO212+3210（xy）2x2+y22xy102xy0，xy5当且仅当xy时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形当点D在第四象限时，如图3，过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，BAM
4、+DAN90，BAM+ABM90，ABMDAN，在RtAMB和RtDNA中，AMBDNA，ABMDAN，ABAD，RtAMBRtDNA（AAS），则有ANBM2，DNAM1，点D的坐标为（1+2，3+1），即（3，2）当点D在第三象限时，如图4，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，同的方法得：RtANBRtDMA（AAS），则有DMAN1，AMBN2，点D的坐标为（12，3+1）即（1，2）故答案为：5、（3，2）或（1，2）3、我们不妨约定：如图，若点D在ABC的边AB上，且满足ACD=B(或BCD=A)，则称满足这样条件的点为ABC边AB上的“理想点”。(1
5、)如图，若点D是ABC的边AB的中点，AC=，AB=4.试判断点D是不是ABC边AB上的“理想点”，并说明理由。(2)如图，在O中，AB为直径，且AB=5，AC=4.若点D是ABC边AB上的“理想点”，求CD的长。(3)如图，已知平面直角坐标系中，点A(0，2)，B(0，3)，C为x轴正半轴上一点，且满足ACB=45，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：(1)结论：点D是ABC的“理想点”。理由：如图中，D是AB中点，AB=4，AD=DB=2，AC2=8，ADAB=8，AC2=ADAB，A=A，AC
6、DABC，ACD=B，点D是ABC的“理想点”，(2)如图中，点D是ABC的“理想点”，ACD=B或BCD=A，当ACD=B时，ACD+BCD=90，BCD+B=90，CDB=90，当BCD=A时，同法证明：CDAB，AB是直径，ACB=90，AB=5，AC=4，BC=，ABCD=ACBC，CD=.(3)如图中，存在。有三种情形：过点A作MAAC交CB的延长线于M，作MHy轴于H.MAC=AOC=AHM=90,ACM=45，AMC=ACM=45，AM=AC，MAH+CAO=90,CAO+ACO=90，MAH=ACO，AHMCOA(AAS)，MH=OA,OC=AH,设C(a,0)，A(0,2),
7、B(0,3)，OA=MH=2，OB=3.AB=5，OC=AH=a，BH=a5，MHOC，解得a=6或1(舍弃)，经检验a=6是分式方程的解，C(6,0)，OC=6，当D1CA=ABC时,点A是BCD1的“理想点”。设D1(0,m)，D1CA=ABC,CD1A=CD1B，D1ACD1CB，=D1AD1B，m2+62=(m2)(m+3)，解得m=42，D1(0,42).当BCA=CD2B时,点A是BCD2的“理想点”。易知：CD2O=45，OD2=OC=6，D2(0，6).综上所述，满足条件的点D坐标为(0，42)或(0，6).【分析】（1）结论：点D是ABC的“理想点”只要证明ACDABC即可解
8、决问题；（2）只要证明CDAB即可解决问题；（3）如图中，存在有2种情形：过点A作MAAC交CB的延长线于M，作MHy轴于H构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分2种情形求解即可解决问题新定义-取值范围1.（本小题满分10分）阅读并解答下列问题：如图，点A是B外一点，B的半径为R，以AB的中点C为圆心，长为半径作C，我们称C是点A关于B的“中位圆”。在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（2，0），以BO长为半径作B.（1）如图，直线AT与B相切于点T。在图中作出点A关于B的“中位圆”，并判断直线AT与“中位圆”的位置关系，说明理由（作图不写作法，保留作图痕
9、迹）.（2）如图，过点A作直线交轴于点E，点P是直线AE上一个动点.若点P从点A运动到点E，直接写出点P关于B的“中位圆”的圆心经过的路径长；若点P关于B的“中位圆”与轴有公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy中，若P、Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P、Q的“相关菱形”。图1为点P、Q的“相关菱形”的一个示意图。已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0）。（1）若b=3，则R（-1，0），S（5，4），T（6，4）中能成为点A、B的“相关菱形”顶点的是_。（2）若点A、B的“相关菱形”为正方形，求b的值。
10、（3）B的半径为，点C的坐标为（2，4）。若B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M、N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围。（1）R、S。（2）过点A作AH垂直x轴于H点。因为点A、B的“相关菱形”为正方形，所以ABH为等腰直角三角形。因为点A的坐标为（1，4），所以BH=AH=4，所以b=-3或5。（3）-5b0或3b8。3.（9分）阅读理解：如图1，在纸面上画出了直线与，直线与相离，为直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接、，当的面积最小时，称为直线与的“最美三角形”解决问题：（1）如图2，的半径为1，分别过轴上、三点作的切线、，切点分别是、，下列三角形中，是轴与的“最美三
11、角形”的是（填序号）；（2）如图3，的半径为1，直线与 “最美三角形”的面积为，求的值（3）点在轴上，以为圆心，为半径画，若直线与的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心的横坐标的取值范围【答案】解：（1）如图1，是的切线，当的半径是定值时，要的面积最小，则最小，此时，最小，即，在图2中，轴，是轴与的“最美三角形”，故答案为：；（3）当时，如图3，作出如图3所示：是直线与的“最美三角形”，是直角三角形，直线与的“最美三角形”的面积为，在中，根据勾股定理得，点，在中，根据勾股定理得出，过点作轴于，点的坐标为，点在直线上，当时，同的方法得，即的值为1或；（3）记直线与、轴的交点为，则，在中，当在
12、直线右侧时，如图4，是直线与的“最美三角形”，在中，的半径为，当直线与相切时，直线与相离，此时，是直线与的“最美三角形”， ，在中，当在直线左侧时，同的方法得，即圆心的横坐标的取值范围为或【分析】（1）先判断出时，面积最小，即可得出结论；（2）当时，先求出，进而求出，再求出，判断出，进而求出点的坐标，即可得出结论；当时，同的方法即可得出结论；（3）先求出，当在直线右侧时，判断出，根据直线与相离，判断出，即，再根据，判断出，进而得出，即可得出结论；当在直线左侧时，同的方法即可得出结论此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，新定义，判断出时，的面积最小是解本题的关键【考点】圆的综合题【易错点】学生理不清题意，计算能力弱.