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1、第九节函数模型及其应用A组基础达标1.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).每一万件的售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()A.36万件B.18万件C.22万件D.9万件2.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.衡量音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小可由如下公式计算:=10lgII0(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的()A.76倍B.1076倍 C
2、.10倍D.ln76倍3.(2020新高考,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天4.(2020湖南衡阳高三二模)2020年3月,国内新冠肺炎疫情得
3、到有效控制,人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案如下表:购票人数15051100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票,则共需支付门票费1 290元;若合并成一个团队购票,则需支付门票费990元,那么这两个旅游团队的人数之差为()A.20B.30C.35D.405.(2020衡水中学实验学校高三一模)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k、b为常数),若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜
4、时间是小时.答案246.意大利著名科学家伽利略说:“给我空间,时间以及对数,我就可以创造一个宇宙.”他把对数与最宝贵的时间和空间相提并论,可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg、火箭(除燃料)的质量m kg满足函数关系v=2 000ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭最大速度可达12 km/s.(e6403.429,结果保留整数)7.某公司有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,公司决定优化产业结构,调整出x(xN*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10a-x250万元
5、(a0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.8.2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是关于车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度小于20辆/千米,车流速度为100千米/时.研究表明当20x220时,车流速度
6、v是关于车流密度x的一次函数.(1)当20x220时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=xv(x)可以达到最大?并求出最大值.B组能力拔高9.光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度为y=k0.9x,要想使光线强度减弱到原来的14以下,至少需要通过这样的玻璃的块数是(lg 30.477,lg 20.3)()A.12B.13C.14D.1510.因市场战略储备的需要,某公司1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次
7、.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面3个折线图中,可以反映这种物资每份价格(单位:万元)的变化情况的是()图图图A.B.C.D.11.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有a4 L,则m的值为()A.5B.8C.9D.1012.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2万元
8、,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)(万元)满足R(x)=-0.4x2+4.2x-0.8(0x5),10.2(x5),假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律:(1)要使工厂有赢利,产量x应控制在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?答案解析A组基础达标1.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).每一万件的售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()A.36万件B.18万件C.22万件D.9万件答案B2.我们处在一个有声世界里
9、,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.衡量音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小可由如下公式计算:=10lgII0(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的()A.76倍B.1076倍 C.10倍D.ln76倍答案C3.(2020新高考,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数
10、增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B4.(2020湖南衡阳高三二模)2020年3月,国内新冠肺炎疫情得到有效控制,人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案如下表:购票人数15051100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票,则共需支付门票费1 290元;若合并成一个团队购票,则需支付门票费990元,那么这两个旅游团队的人数之
11、差为()A.20B.30C.35D.40答案B易知990不能被13整除,设两个旅游团队的人数分别为a,b,所以两个团队的人数之和a+b51,若51a+b100,则11(a+b)=990,可得a+b=90,由分别购票,共需支付门票费为1 290元,可知11a+13b=1 290,联立可得b=150,a=-60(舍去).若a+b100,则9(a+b)=990,可得a+b=110,由分别购票,共需支付门票费为1 290元,可知1b50,51a100,所以11a+13b=1 290,联立可得a=70,b=40,所以两个旅游团队的人数之差为70-40=30.5.(2020衡水中学实验学校高三一模)某食品
12、的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k、b为常数),若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时.答案246.意大利著名科学家伽利略说:“给我空间,时间以及对数,我就可以创造一个宇宙.”他把对数与最宝贵的时间和空间相提并论,可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg、火箭(除燃料)的质量m kg满足函数关系v=2 000ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭最大速度可达12 km/s.(e6403.
13、429,结果保留整数)答案402解析v=2 000ln1+Mm,火箭的最大速度可达12 km/s,即12 000=2 000ln1+Mm,可得ln1+Mm=6,1+Mm=e6,解得Mm=e6-1402.7.某公司有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,公司决定优化产业结构,调整出x(xN*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10a-x250万元(a0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围?(2)在(1)的条件下,
14、若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.解析(1)由题意得10(1 000-x)(1+0.2%x)101 000,即x2-500x0,又x0,0500,由对勾函数的性质可知函数y=x500+1 000x+1在(0,500上是减函数,函数y=x500+1 000x+1在x=500时取得最小值4,0a4.即a的取值范围为(0,4.8.2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是关于车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流
15、密度小于20辆/千米,车流速度为100千米/时.研究表明当20x220时,车流速度v是关于车流密度x的一次函数.(1)当20x220时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=xv(x)可以达到最大?并求出最大值.解析(1)由题意知,当0x20时,v(x)=100,当20x220时,设v(x)=ax+b(a0),则20a+b=100,220a+b=0,解得a=12,b=110,v(x)=100,0x20,-12x+110,20x220,(2)由题意得,f(x)=100x,0x20,-12x2+110x,20x220
16、,当0x20时, f(x)f(20)=2 000;当20x220时, f(x)=-12(x-110)2+6 050, f(x)的最大值为f(110)=6 050,当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大值为6 050辆/时.B组能力拔高9.光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度为y=k0.9x,要想使光线强度减弱到原来的14以下,至少需要通过这样的玻璃的块数是(lg 30.477,lg 20.3)()A.12B.13C.14D.15答案C光线经过x块玻璃后,强度变为y=0.9xk.由题意得0.9xkk4,即
17、0.9x14,两边同取对数,可得xlg 0.9lg14,lg 0.9lg14lg0.9=-2lg22lg3-1-0.60.954-113.04,又xN*,至少通过14块玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下,故选C.10.因市场战略储备的需要,某公司1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面3个折线图中,可以反映这种物资每份价格(单位:万元)的变化情况的是()图图图A.B.C.D.答案B设公司每月1日用于购买某种物资的金额为a.题图中四
18、次购买的物资为a1.25+a+a0.75+a=6215a,5月1日一次卖出物资得到1.256215a=15.53a4a,公司盈利,故正确;题图中四次购买的物资为a+a1.25+a0.75+a1.25=5915a,5月1日一次卖出物资得到15915a=5915a4a,公司盈利,故正确.11.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有a4 L,则m的值为()A.5B.8C.9D.10答案A5 min后甲桶和乙桶的水量相等,函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=12a
19、,可得n=15ln12,f(t)=a12t5,因此,当k min后甲桶中的水只有a4 L时,f(k)=a12k5=14a,即12k5=14,k=10,由题可知m=k-5=5.12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)(万元)满足R(x)=-0.4x2+4.2x-0.8(0x5),10.2(x5),假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律:(1)要使工厂有赢利,产量x应控制在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?解析由题可知,G(x)=x+2.设利润函数为f(x),则f(x)=R(x)-G(x)=-0.4x2+3.2x-2.8(0x5),8.2-x(x5).(1)要使工厂有赢利,则f(x)0,当0x5时,-0.4x2+3.2x-2.80,即x2-8x+70,解得1x7,15时,8.2-x0,解得x8.2,5x8.2.综上所述,要使工厂赢利,x应满足1x5时, f(x)8.2-5=3.2,当工厂生产400台产品时,赢利最多.10 / 10