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1、1.2矩形的性质与判定 新思维同步提高训练（Word版含解答）-2021-2022学年九年级数学北师大版上册一、选择题1.如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=2，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( ) A.2B.2 5C.4D.2 32.如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知AN3，MN5，设BNx，则x的值为（ ） A.53B.73C.52D.943.如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N是 BD 上两点， BM=DN ，连接 AM 、 MC 、 CN 、 NA ，添加一个条件，使四边形
2、 AMCN 是矩形，这个条件是（ ） A.AMB=CNDB.MB=MOC.BDACD.AC=2OM4.如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AFBE于F，连接DF，若AB6，DFBC，则CE的长度为（ ） A.2B.52C.3D.72 5.如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PEAC于点E，PFBD于点F，若AB3，BC4，则PEPF的值为（ ） A.10B.9.6C.4.8D.2.46.如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且AEC90，则线段EF的最大值为（ ） A.7B.8C.9D.107.
3、如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC12，BD16，则OE的长为（ ） A.8B.9C.10D.128.如图，矩形 ABCD 中， AB=2 ，点 E 在边 AD 上， EB 平分 AEC ， DCE=45 ，则 AE 长（ ） A.2B.22-2C.2-2D.2 9.如图是一个由5张纸片拼成的 ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 S1 ，另两张直角三角形纸片的面积都为 S2 ，中间一张矩形纸片 EFGH 的面积为 S3 ， FH 与 GE 相交于点O.当 AEO,BFO,CGO,DHO 的面积相等时，下列结论一
4、定成立的是（ ） A.S1=S2B.S1=S3C.AB=ADD.EH=GH10.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB4，BC8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： 四边形CFHE是菱形；EC平分DCH；线段BF的取值范围为3BF4；当点H与点A重合时，EF2 5 以上结论中，你认为正确的有（ ）个A.1B.2C.3D.4二、填空题11.如图，矩形 ABCD 中，M是边 CD 的中点，连接 AM 取 AM 的中点M ， 连接 BN 若 AB=2 ， BC=3 ，则 BN 的长为_ 12.如图，在长方形ABCD中，A
5、B3，BC=4，点E是边BC上的一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点 B 处，当CE B 为直角三角形时，BE的长为_ 13.四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F ， AED2CED ， 点G是DF的中点BE1，AG4，则CD_ 14.如图，在 RtABC 中， BAC=90 ，且 BA=3 ， AC=4 ，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DMAB 于点 M ， DNAC 于点 N ，连接 MN ，则线段 MN 的最小值为_ 15.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EFAC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且
6、AOG=30某班学习委员得到四个结论：DC=3OG；OG= 12 BC； OGE是等边三角形；SAOE= 16 S矩形ABCD ， 问：学习委员得到结论正确的是_（填写所有正确结论的序号） 16.如图，在矩形 ABCD 中， BC=16 ， E 为 CD 上一点，将 BCE 沿 BE 折叠，使点 C 正好落在 AD 边上的 F 处，作 ABF 的平分线交 AD 于 N ，交 EF 的延长线于 M ，若 NF=12BC ，则 AB 的长为 _ . 三、解答题17.四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点 （1）若ACEC ， 如图1，求证：四边形BECD为平行四边形； （2）若ABAD ，
7、点F是AB上的点，AFBE ， EGAC于点G ， 如图2，求证：DGF是等腰直角三角形 18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（8，0），直线BC经过点B（8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度得到四边形OABC，此时边OA与边BC交于点P，边BC与BC的延长线交于点Q，连接AP （1）四边形OABC的形状是_ （2）在旋转过程中，当PAO=POA，求P点坐标 （3）在旋转过程中，当P为线段BQ中点时，连接OQ，求OPQ的面积 19.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E。 （1）求证
8、：四边形AODE是矩形； （2）若DAE=60，AD=6，求BD的长。 20.如图，四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点连接 GC 并延长至F，使 CF=GC ，以 DC 、 CF 为邻边作 DCFE ，连接 CE （1）若四边形 DCFE 是菱形，判断四边形 CEDG 的形状，并证明你的结论 （2）在（1）条件下，连接 DF ，若 BC=3 ，求 DF 的长 21.探索与应用：如图 （1）问题解决：如图1.在平行四边形纸片ABCD（ADAB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点 B 处，折线AE交BC于点E，连接BE.求证：四边形 ABEB 是菱形. （2）规律探
9、索：如图2，在平行四边形纸片ABCD（ADAB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A处，得到折痕FP，那么PFQ是等腰三角形吗？请说明理由. （3）拓展应用：如图3，在矩形纸片ABCD（ADAB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点 B 处，点A落在纸片ABCD外部点 A 处， AB 与AD交于点M，且 A M B M.已知：AB4，AF2，求BP的长. 22.将一矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中， O 为原点， C 在 x 轴上， OA=9 ， OC=15 . （1）如图1，在 OA 上取一点 E ，将 EOC 沿 EC
10、 折叠，使 O 点落至 AB 边上的 D 点，求直线 EC 的解析式； （2）如图2，在 OA 、 OC 边上选取适当的点 M 、 F ，将 MOF 沿 MF 折叠，使 O 点落在 AB 边上的 D 点，过 D 作 DGCO 于点 G 点，交 MF 于 T 点. 求证： TG=AM ；设 T(x,y) ，探求 y 与 x 满足的等量关系式，并将 y 用含 x 的代数式表示（指出变量 x 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 x=6 时，点 P 在直线 MF 上，问坐标轴上是否存在点 Q ，使以 M 、 D 、 Q 、 P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 Q 点坐标；若不存在
11、，请说明理由. 23.在平面直角坐标系中，O为原点，四边形 OABC 是矩形，点A，C的坐标分别是 (3,0) ， (0,1) 点D是边 BC 上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线 y=-12x+b 交边 OA 于点E （1）如图，直接写出D，E两点的坐标（用含b的式子表示） （2）如图，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1 ，试探究矩形 O1A1B1C1 与距形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积：若改变，请说明理由； （3）矩形 OABC 绕着它的对称中心旋转，如果旋转前后两矩形重叠部分的图形是菱形，请直接写出这个菱形
12、面积的最大值和最小值 答案一、选择题1.解：连接EC， 矩形ABCD，点E是AD的中点，AE=2 AD=BC=2AE=4，DE=AE=2，D=90， BE的垂直平分线MN恰好过点C， CE=BC=4， 在RtCDE中， AB=CD=CE2-DE2=42-22=23. 故答案为：D.2.解：四边形ABCD是矩形， A90，ABCD，ADBC，AN3，MN5，AM MN2-AN2=52-32 4，M是AD边中点，AMDM4，BC8，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，ANNE3，CECD，BN2+BC2CN2 ， x2+82（x+6）2 ， 解得x 73 .故答案为：B.3.证明
13、：四边形ABCD是平行四边形， OA=OC，OB=OD对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，OB-BM=OD-DN，即OM=ON，四边形AMCN是平行四边形，2OM=AC，MN=AC，四边形AMCN是矩形故答案为：D4.解：过D作DHAF于点H，延长DH与AB相交于点G， 四边形ABCD为矩形，AD=BC，DF=BC，DA=DF，AH=FH，AFBE，DGBE，GH为ABF的中位线，AG=BG= 12 AB=3，矩形ABCD中，AB=DC=6，ABDC，四边形BEDG为平行四边形，DE=BG=3，CE=CD-DE=6-3=3.故答案为：C.5.解：连接OP， 矩形ABCD的两边AB=3，BC
14、=4，S矩形ABCD=ABBC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC= AB2+BC2 =5，SAOD= 14 S矩形ABCD=3，OA=OD= 52 ，SAOD=SAOP+SDOP= 12 OAPE+ 12 ODPF= 12 OA（PE+PF）= 12 52 （PE+PF）=3，PE+PF= 125 =2.4.故答案为：D.6.解：如图，连接AC，取AC的中点O，连结OF，OE， 矩形ABCD中，AB6，BC8，B90，F为CD的中点，AC AB2+BC2=62+82=10 ，AOOC，CFFD，OF 12 AD 12 BC4，AEC90，OE 12 AC 1210 5，由三角形的
15、三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，此时EF最大4+59.故答案为：C.7.解：DEAC，CEBD， 四边形OCED为平行四边形，四边形ABCD是菱形，AC12，BD16，ACBD， OA=OC=12AC=6,OB=OD=12BD=8,DOC90， CD=OC2+OD2=62+82=10,平行四边形OCED为矩形，OECD10，故答案为：C.8.解：四边形ABCD是矩形， AB=CD=2，A=D=DCB=90，DCE=45，DE=DC=2，EC=2 2 ，DCE=45，DEC=45，EB平分AEC，AEB=BEC= 12 AEC= 180-452 67.5，ADBCAEB=EBC，BEC
16、=EBC，BC=CE=2 2 ，AD=BC=2 2 ，AE=AD-DE=2 2 -2，故答案为：B.9.解：由题意得，AED和BCG是等腰直角三角形， ADE=DAE=BCG=GBC=45四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，CD=AB，ADC=ABC，BAD=DCBHDC=FBA，DCH=BAF，AEDCGB，CDHABFAE=DE=BG=CG四边形HEFG是矩形GH=EF，HE=GF设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c过点O作OPEF于点P，OQGF于点Q，OP/HE，OQ/EF点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，OP，OQ分别是FHE和E
17、GF的中位线， OP=12HE=12b ， OQ=12EF=12c SBOF=12BFOQ=12(a-b)12c=14(a-b)cSAOE=12AEOP=12a12b=14ab SBOF=SAOE 14(a-b)c=14ab ，即 ac-bc=ab而 S1=SAED=12AEDE=12a2 ，S2=SAFB=12AFBF=12(a+c)(a-b)=12(a2-ab+ac-bc)=12(a2-ab+ab)=12a2 所以， S1=S2 ，A符合题意，S3=HEEF=(a-b)(a+c)=a2-bc-ab+ac=a2+ab-ab=a2 S1S3 ，B不符合题意，而 AB=AD 于 EH=GH 都不
18、一定成立，故 C,D 都不符合题意，故答案为：A10.解：将纸片ABCD沿直线EF折叠， FC=FH，HFE=CFE，ADBC，HEF=EFC=HFE，HEFC，HFE为等腰三角形，HE=HF=FC，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，EHCF，且HE =FC，四边形CFHE是平行四边形，FC=FH，四边形CFHE是菱形，故符合题意；HC为菱形的对角线，BCHECH，BCD=90，只有DCE30时EC平分DCH，故不符合题意；过点F作FMAD于M，点H与点A重合时，BF最小，设BFx，则AFFC8x，在RtABF中，AB2+BF2AF2 ， 即42+x2（8x）2 ， 解得x3
19、，点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DMCD4，BF4，线段BF的取值范围为3BF4，故符合题意；当点H与点A重合时，由中BF=3，AF=AE=CF=EC=8-3=5，则ME532，由勾股定理得，EF MF2+ME2=42+22 2 5 ，故符合题意；综上所述，结论正确的有共3个故答案为：C二、填空题11.如下图： 过点N作 GH/AB ，分别交BC于点G ， 交AD于点H ， 易得 GH/CD , GH=AB=CD ,四边形ABCD是矩形 C=D=90 ， AB/DC ， AB=CD ， AD=BC ，在 RtAMD 中，点N是线段AM中点，点M、点N分别在线段CD、G
20、H上， NH=12MD ，又M是CD的中点，MD=12CD=12AB=1 ，NH=12MD=112=12 ，GN=GH-NH=2-12=32 ， GH/CD ， C=90 ， BGN=90 ，在 RtBGN 中， BG=AH=12BC=32 , GN=32 ，BN=2GN=232=322 故答案为： 32212.解：当 CEB 为直角三角形时，有两种情况： 当点 B 落在矩形内部时，如答图1所示连结 AC ，在 RtABC 中， AB=3 ， BC=4 ，AC=42+32=5 ，B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B 处，ABE=B=90 ，当 CEB 为直角三角形时，只能得到 EBC=90
21、 ， 点 A 、 B 、 C 共线，即 B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B 处，EB=EB ， AB=AB=3 ，CB=5-3=2 ，设 BE=x ，则 EB=x ， CE=4-x ，在 RtCEB 中，EB2+CB2=CE2 ，x2+22=(4-x)2 ，解得 x=32 ，BE=32 ；当点 B 落在 AD 边上时，如答图2所示此时 ABEB 为正方形，BE=AB=3 综上所述， BE 的长为 32 或3故答案为： 32 或313.解： 四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点 DAF=90,AG=DG,AD/BC, GAD=GDA, AGEADGDAG2DAG ， A
22、D/BC, ADG=DEC, 又AED2CED ， AEDAGE ， AEAG ， AG4，AE4，四边形ABCD为矩形，BAD=ABC=90，在RtAEB中，由勾股定理可求AB AE2-BE2=42-12 15 ，CD AB= 15 ，故答案为： 15 14.解： BAC=90 ，且 BA=3 ， AC=4 ， BC=BA2+AC2=5 ， DMAB ， DNAC ， DMA=DNA=BAC=90 ，四边形 DMAN 是矩形.如图，连接AD ， 则 MN=AD ，当 ADBC 时， AD 的值最小，此时， ABC 的面积 =12ABAC=12BCAD ， AD=ABACBC=125 ， MN
23、 的最小值为 125 ；故答案为 125 15.解： EFAC ，点 G 是 AE 中点， OG=AG=GE=12AE ， AOG=30 ， OAG=AOG=30 ，GOE=90-30=60 ， OGE 是等边三角形，故符合题意；设 AE=2a ，则 OE=OG=a ，由勾股定理得， AO=AE2-OE2=(2a)2-a2=3a ， O 为 AC 中点， AC=2AO=23a ， BC=12AC=1223a=3a ，在 RtABC 中，由勾股定理得， AB=(23a)2-(3a)2=3a ，四边形 ABCD 是矩形， CD=AB=3a ， DC=3OG ，故符合题意； OG=a ， BC=3a
24、 ， 12BC=32a ， OG12BC ，故不符合题意； SAOE=12a3a=32a2 ，SABCD=3a3a=33a2 ， SAOE=16SABCD ，故符合题意；综上所述，结论符合题意是，故答案为：16.解：将 BCE 沿 BE 折叠得 BFE ， BC=BF ，如图示，过点 N 作 NGBF 交 BF 于点 G ， AN 是 ABF 的平分线 AN=NG ，又 SNFB=12BFNG=12NFAB ， NF=12BC=1216=8 ，可得： BFAN=12BCAB ，即 AN=12AB ，设 AB=2x ，则 AN=x ， AF=AN+NF=x+8 ，在 RtABF 中， AB2+A
25、F2=BF2 ，即： (2x)2+(x+8)2=162 ，解之得： x=245 ，负值已舍去， AB=485 ，故答案为： 485 .三、解答题17. （1）证明：四边形ABCD为矩形， ABCD,ABCD,CBAE,又ACEC,ABBE,BECD,BECD,四边形BECD为平行四边形（2）证明：ABAD, 矩形ABCD是正方形，EGAC,EGAE45,GEGA,又AFBE,ABFE,FEAD,在EGF和AGD中，GE=GAE=DAC=45EF=AD ,EGFAGD(SAS),GFGD,DGAFGE,DGFDGA+AGFEGF+AGFAGE90,DGF是等腰直角三角形18.（1）矩形（2）解：
26、如图1，过点P作PEAO于点E， PAO=POA，PA=PO，PEAO，AE=EO=4，P（4，6）；（3）解：如图2，在RtOCQ和RtOCQ中， CO=COOQ=OQ ，RtOCQRtOCQ（HL），OQC=OQC，又OPCQ，POQ=OQC，POQ=PQO，PO=PQ，BP=QP，BP=OP=x，在RtOPC中，x2=（8x）2+62 ， 解得：x= 254 故SOPQ= 12 COPQ= 126254=754 （1）点A的坐标为（8，0），点B（8，6），C（0，6）， COA=OAB=B=90，四边形OABC是矩形故答案为矩形；19. （1）证明：四边形ABCD是菱形，AC上BD，A
27、OD=90EAAO，DEDO，EAO=EDO= 90，四边形AODE是矩形（2）解：四边形AODE是矩形，DOA =EAO= 90DAE = 60，AD = 6，DAO=30，DO= 12 AD=3，BD=620. （1）解：四边形 CEDG 是菱形，理由如下： 四边形 ABCD 为矩形，G是对角线 BD 的中点， GB=GC=GD ， CF=GC ， GB=GC=GD=CF ，四边形 DCFE 是菱形， CD=CF=DE ， DE/CG ， DE=GC ，四边形 CEDG 是平行四边形， GD=GC ，四边形 CEDG 是菱形（2）解： CD=CF ， GB=GD=GC=CF ， CDG 是
28、等边三角形， CD=BG ， GCD=DGC=60 ， DCF=BGC=120 ， BGCDCF(SAS) ， DF=BC=3 21. （1）解：由平行四边形的性质可知 AD/BC ， ABE=CEB ，由翻折可知 ABE=ABE ， CEB=ABE ， AB/BE .四边形 ABEB 是平行四边形.再由翻折可知 AB=AB ，四边形 ABEB 是菱形（2）解：由翻折可知 BPF=QPF ， AD/BC ， BPF=QFP ， QPF=QFP ，QF=QP， PFQ 是等腰三角形（3）解：如图，延长 PB 交AD于点G， 根据题意可知 FAM=GBM=90 ，在 FAM 和 GBM 中， FA
29、M=GBM=90AM=BMFMA=GMB ， FAMGBM(ASA) ， AF=BG=AF=2 ， FM=GM .根据（2）同理可知 PFG 为等腰三角形.FG=PG. AF=AM=2 ，在 RtAFM 中， FM=AM2+AF2=22 ， FG=2FM=42 ， PG=42 ， PB=PB=PG-BG=42-2 .22. （1）解：如图1中， OA=9 ， OC=15 ， DEC 是由 OEC 翻折得到， CD=OC=15 ，在 RtDBC 中， DB=DC2-BC2=12 ， AD=3 ，设 OE=ED=x ，在 RtDBC 中， x2=(9-x)2+32 ，解得 X=5 ， E(0,5)
30、 ，设直线 EC 的解析式为 y=kx+5 ，把 (15,0) 代入得到 k=-13 ，直线 EC 的解析式为 y=-13x+5（2）解：证明：如图2中， MD=MO ， DMN=OMN ， OM/GD ， OMT=DTM ， DMT=DTM ， DM=DT ， OM=DT ， OA=DG ， AM=TG .如图3中，连接 OT ，由（2）可得 OT=DT ，由勾股定理可得 x2+y2=(9-y)2 ，得 y=-118x2+92 .结合（1）可得 AD=OG=3 时， x 最小，从而 x3 ，当 MN 恰好平分 OAB 时， AD 最大即 x 最大，此时 G 点与 N 点重合，四边形 AOND
31、 为正方形，故 x 最大为9.从而 x9 ， 3x9（3）解：如图4中， x=6 时， y=52 ，即点 T 坐标 (6,52) . OM=DT=9-52=132 ，当 MD 为对角线时，点 P 与 T 重合， QM=DT=132 ， OQ=13 ，此时点 Q 坐标 (0,13) . DM 为边时，四边形 MDQP 是平行四边形，又四边形 DMOT 是平行四边形，点 P 与 T 重合，点 Q 与点 O 重合，点 Q 坐标 (0,0) ，当点 P 在第四象限点时，四边形 MDQP 是平行四边形时，直线 NM 的解析式为 y=-23x+132 ， DQ/MN ，直线 DQ 的解析式为 y=-23x
32、+13 ，当 y=0 时， x=392 ，Q(392,0)综上所述，以 M 、 F 、 Q 、 P 为顶点的四边形是平行四边形时，点 Q 坐标 (0,0) 或 (0,13) 或 (392,0)23.（1）解： D(2b-2,1) ； E(2b,0)（2）解： CB 与 O1A1 的交点为M， C1B1 与 OA 的交点为N，如图： 四边形 OABC ，四边形 O1A1B1C1 是矩形，CB/OA ， C1B1/O1A1 ， 四边形 DMEN 是平行四边形， 矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为矩形 O1A1B1C1 ，1=2 ，CB/OA ，2=3 ，1=3 ，DM=ME ， 平行四边
33、形 DMEN 是菱形，过点D作 DHOA 于点H，由 D(2b-2,1) ， E(2b,0) ，可知 CD=2b-2 ， OE=2b ， OH=CD=2b-2 ，EH=OE-OH=2b-(2b-2)=2 ，设菱形 DMEN 的边长为 m ，在 RtDHN 中， DH=1 ， HN=EH-NE=2-m ， DN=m ，由 DH2+HN2=DN2 ，得 12+(2-m)2=m2 ，解得： m=54 ， S菱形DMEN=NEDH=541=54 ，所以重叠部分菱形 DMEN 的面积不变， 为 54 ；（3）S最大=53 ； S最小=1 解：（1） 四边形 OABC 是矩形， CB/x 轴，由点A，C的坐标分别为 (3,0) ， (0,1) 可得点D的纵坐标为 1 ，当 y=1 时， y=-12x+b ，解得： x=2b-2 ，D 的坐标为 (2b-2,1)当 y=0 时， y=-12x+b ，解得： x=2b ，E 的坐标为 (2b,0)（3） 如下图所示，当这个菱形 DNEM 是正方形时，即 NE=1 时，菱形的面积最小，最小值是1；如下图所示，当这个菱形A与E重合时，菱形 CNAM 的面积最大，设 CN=AN=x ，则 ON=AO-AN=3-x ,RtCON 中， 12+(3-x)2=x2解之得： x=53 ， AN=53菱形面积的最大值是 ANCO=153=53