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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第八篇立体几何与空间向量(必修 2、选修 2 1)第 1 节空间几何体的结构、三视图和直观图【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的结构特征2,4,9,14 三视图的辨别1,3,5,10,15 与三视图有关的计算6,7,11,12,13,15 直观图8,14 基础对点练(时间:30 分钟)1.(2014高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(A)(A)圆柱 (B)圆锥 (C)四面体(D)三棱柱解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选 A.2.下列命题中正确的是(D)(A)有两个面平
2、行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥(D)棱台各侧棱的延长线交于一点解析:棱柱的结构特征有三个方面:有两个面互相平行;其余各面是平行四边形;这些平行四边形所在面中,每相邻两个面的公共边都互相平行.由此可知选项A,B 均不正确;各面都是三角形的几何体并不一定是棱锥,如正八面体,故选项 C不正确.棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面截去一部分得到的,故可知棱台各侧棱的延长线交于一点.故选 D.3.(2015武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是(D)
3、解析:易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和 2的直角三角形,注意到侧视图是从左往右看得到的图形,结合 B,D 选项知,D 选项中侧视图方向错误.4.(2015贵州七校联考)如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD 的三视图是(用代表图形)(B)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(A)(B)(C)(D)解析:正视图是边长为3 和 4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是;侧视图是边长为5 和 4 的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是;俯视图是边长为3和 5的矩
4、形 ,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是.5.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(D)解析:被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线,它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合,对照各图,只有选项D符合.故选 D.6.(2015山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为10 的空间几何体的三视图,则图中x的值为(A)(A)2(B)3(C)4(D)5 解析:根据给定的三视图可知,该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体,所以几何体的体积V=3 21+32x=
5、10,解得 x=2.7.(2016西城区期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧视图如图所示,那么此三棱柱正视图的面积为.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析:由正三棱柱三视图还原直观图可得正视图是一个矩形,其中一边的长是侧视图中三角形的高,另一边是棱长.因为侧视图中三角形的边长为2,所以高为,所以正视图的面积为2.答案:28.如图,矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图.其中 OA=6,OC=2,则原图形OABC 的面积为.解析:法一由题意知原图形OABC 是平行四边形,且 OA=BC=6,设平行四边形OABC 的高为 OE,则 OE=O C,因为 O C
6、=2,所以 OE=4,所以 S?OABC=64=24.法二S原图形=2S直观图=262=24.答案:249.给出下列命题:在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱,其中正确命题的序号是.解析:正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体ACB1D1;错误,反例如图所示,底面 ABC为等边三角形,可令 AB=VB=VC=BC=AC,则 VBC为等边三角形,VAB和 VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;错误,必须是相邻的
7、两个侧面.答案:10.已知:图是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图是某几何体的三视图,试说明该几何体的构成.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解:图几何体的三视图为:图所示的几何体是上面为正六棱柱,下面为倒立的正六棱锥的组合体.11.如图,在四棱锥PABCD 中,底面为正方形,PC 与底面ABCD 垂直,下图为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形.(1)根据图所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积;(2)求 PA.解:(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形,如图,其面积为36
8、 cm2.(2)由侧视图可求得PD=6(cm).由正视图可知,AD=6 cm,且 AD PD,所以在 RtAPD中,PA=6(cm).能力提升练(时间:15 分钟)12.(2015 玉溪一中月考)如图,三棱锥 VABC的底面为正三角形,侧面 VAC与底面垂直且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:设三棱锥VABC的底面边长为a,侧面 VAC边 AC上的高为h,则 ah=,其侧视图是由底面三角形 ABC边 AC上的高与侧面三角形VAC边 AC上的高,还有 VB组成的直角三角形,其面积小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学为=.1
9、3.(2016北京模拟)一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是(D)(A)2(B)2(C)(D)2解析:由四面体的三视图知其直观图为如图所示正方体中的四面体ABCD,由三视图知正方体棱长为 2.所 以S ABD=2 2=2,S ADC=22=2,S ABC=22=2,SBCD=2 2=2.所以最大面积为2.故选 D.14.某几何体的三视图如图所示.(1)判断该几何体是什么几何体?(2)画出该几何体的直观图.解:(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)直观图如图所示.【教师备用】(2015石家庄模拟)如
10、图的三个图中,上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.解:(1)如图.(2)所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=4 46-(22)2=(cm3).精彩 5 分钟1.(2015大连二模)由 6 个棱长为1 的正方体在桌面上堆成一个几何体,该几何体的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图不可能为(D)解题关键:此题容易出现因为正方体摆放位置不同而出现错误,因此,必须从已知的正视图、俯视图入手确定正方体的位置.解析:由 6 个棱长为1 的正方体在桌面上
11、堆成一个几何体,结合该几何体的正视图与俯视图,当正方体的摆放如图所示时(格中数字表示每摞正方体的个数),小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学几何体的侧视图如图所示,故排除 A;当正方体的摆放如图所示时(格中数字表示每摞正方体的个数),几何体的侧视图如图所示,故排除 B;当正方体的摆放如图所示时(格中数字表示每摞正方体的个数),几何体的侧视图如图所示,故排除 C.2.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 P是上底面 A1B1C1D1内一动点,则三棱锥PABC 的正视图与侧视图的面积的比值为.解题关键:正视图和侧视图为底边和高均相等的三角形,因此它们的面积相等.解析:三棱锥PABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形,故它们的面积相等,面积比值为 1.答案:1