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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第 1 课时综合法课时过关能力提升基础巩固1 设 a,bR,若 a-|b|0,则下列不等式正确的是()A.b-a 0 B.a3+b30 C.a2-b2 0 解析a-|b|0,|b|0,-ab 0.答案 D 2 函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)解析 f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令 f(x)0,解得 x2,故选 D.答案 D 3 已知在等差数列an 中,a5+a11=16,a4=1,则 a
2、12的值是()A.15 B.30 C.31 D.64 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析 已知在等差数列an中,a5+a11=16,又 a5+a11=2a8,所以 a8=8.又 2a8=a4+a12,所以 a12=15.故选 A.答案 A 4 已知 a0,b0,且 a+b=2,则()A.abB.abC.a2+b22 D.a2+b23 解析 由 a+b=2,可得 ab 1,当且仅当a=b=1 时取等号.又 a2+b2=4-2ab,a2+b22.答案 C 5 已知实数a 0,且函数 f(x)=a(x2+1)-有最小值-1,则 a=.解析 f(x)=ax2-2x+a-有最小
3、值,则 a0,对称轴为 x=,f(x)min=f=-1,即 f=a-2+a-=-1,即 a-=-1,所以 a2+a-2=0(a 0),解得 a=1.答案 1 6 设 p,q 均为实数,则“q0”是“关于 x 的方程 x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”的条件.(填“充要”“必要不充分”“充分不必要”或“既不充分也不必要”)解析 因为 q 0.所以“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”成立.因为“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”,所以 q2(),即 bc+ca+ab.故.8 在 ABC 中,三边 a,b,c 成等比数列.求证:acos2+c cos2b
4、.证明a,b,c 成等比数列,b2=ac.左边=(a+c)+(acos C+c cos A)=(a+c)+-=(a+c)+b=b+b=右边,当且仅当a=c 时,等号成立,acos2+ccos2b.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学9 若 a,b,c 是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg lg a+lg b+lg c.证明a,b,c(0,+),0,0,0.又 a,b,c 是不全相等的正数,故上述三个不等式中等号不能同时成立.abc 成立.上式两边同时取常用对数,得 lg lg(abc),lg+lg+lg lg a+lg b+lg c.能力提升1 若 a,b,c 是常数,
5、则“a0,且 b2-4ac 0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 因为 a0,且 b2-4ac 0对任意 xR 恒成立.反之,ax2+bx+c 0对任意 xR 恒成立不能推出a0,且 b2-4ac0 时也有 ax2+bx+c 0 对任意 xR 恒成立,所以“a0,且 b2-4ac 0”的充分不必要条件.答案 A 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2 在面积为S(S为定值)的扇形中,弧所对的圆心角为,半径为 r,当扇形的周长p 最小时,r 的值分别是()A.=1,r=B.=2,r=C.=2,r=D.=2,r=解析 因为 S=
6、r2,所以 =.又扇形周长为p=2r+r=24,所以当 r=,即 r=时,p 取最小值,此时 =2.故选 D.答案 D 3 若 O 是平面上的定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足+,0,+),则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析 因为+,所以=.所以 AP 是 ABC 中 BAC 的内角平分线.故动点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心.答案 B 4 已知 sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,则 cos(-)的值为.解析sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,小学+初中+高中
7、+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学-以上两式两边平方相加,得 2+2(sin sin +cos cos )=1,cos(-)=-.答案-5 已知 q和 n 均为给定的大于1 的自然数.设集合 M=0,1,2,q-1,集合 A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当 q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设 s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中 ai,biM,i=1,2,n.证明:若 anbn,则 st.(1)解当 q=2,n=3 时,M=0,1,A=x|x=x1+x2 2+x3 22,xiM,i=1,2,3.可
8、得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)证明 由 s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n 及 anbn,可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1=-qn-1=-10.所以,s0,nN,n2.(1)证明:函数 Fn(x)=fn(x)-2 在内有且仅有一个零点(记为 xn),且 xn=;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较 fn(x)和gn(x)的大小,并加以
9、证明.(1)证明 Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+xn-2,则 Fn(1)=n-10,Fn=1+-2=-2=-0,故 Fn(x)在内单调递增,所以 Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为 xn是 Fn(x)的零点,所以 Fn(xn)=0,即-2=0,故 xn=.(2)解当 x=1时,fn(x)=gn(x);当 x 1 时,fn(x)0.当 x=1 时,fn(x)=gn(x).当 x 1 时,h(x)=1+2x+nxn-1-.若 0 xxn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.若 x1,h(x)xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.所以 h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以 h(x)h(1)=0,即 fn(x)gn(x).综上所述,当 x=1 时,fn(x)=gn(x);小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当 x 1 时,fn(x)gn(x).小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学