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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 2 节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号判断或证明函数的单调性2,6 求函数的单调区间1,4,7 已知函数的单调性求参数的取值范围3,8,11,12 利用导数研究函数单调性的综合问题5,9,10,13,14 基础对点练(时间:30 分钟)1.函数 y=(3-x2)ex的单调递增区间是(D)(A)(-,0)(B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由 y0?x2+2x-30?-3x1,所以函数y=(3
2、-x2)ex的单调递增区间是(-3,1).故选 D.2.(2015宁波联考)函数 f(x)=-(ab1),则(C)(A)f(a)=f(b)(B)f(a)f(b)(D)f(a),f(b)大小关系不能确定解析:因为 f (x)=-=,当 x1 时有 f(x)0,故 f(x)在 xf(b).3.(2016兰州一中期中)设函数 f(x)=x2-9ln x 在区间 a-1,a+1上单调递减,则实数 a 的取值范围是(A)(A)(1,2 (B)4,+)(C)(-,2(D)(0,3 解析:f(x)=x-,当 f(x)=x-0 时,0 x 3,即在(0,3 上 f(x)是减函数,因为 f(x)在a-1,a+1
3、上单调递减,所以解得 1a2,故 A正确.4.f(x)是 f(x)的导函数,若 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象可能是(C)解析:由导函数的图象可知,当 x0,即函数f(x)为增函数;当 0 xx1时,f(x)x1时,f(x)0,即函数 f(x)为增函数,观察选项易知C正小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学确.5.(2016江西省临川区一中高三上期中)若函数 f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数 a 的取值范围是(C)(A)0,+)(B)(-,0(C)(-,0)(D)(0,+)解析:由题意知x0,f(x)=1+,要使函数 f(x)=x+aln x 不是单调
4、函数,则需方程 1+=0 在 x0上有解,即 x=-a,所以 a0,故选 C.6.(2016福建省“四地六校”联考)已知函数f(x)=x2+ln x-ax 在(0,1)上是增函数,则实数 a的最大值是.解析:由题意知在(0,1)上 f(x)=2x+-a 0,所以 a 2x+,因为 2x+2,所以 a 2,故 a 的最大值为2.答案:27.函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为.解析:由 f(x)=x3-15x2-33x+6 得 f(x)=3x2-30 x-33,令 f(x)0,即 3(x-11)(x+1)0,解得-1x0).若函数 f(x)在1,2上为单调函数,则a 的取值
5、范围是.解析:f(x)=-4x+,若函数 f(x)在1,2上为单调函数,即 f(x)=-4x+0 或f(x)=-4x+0 在 1,2上恒成立,即 4x-或 4x-在 1,2上恒成立.令h(x)=4x-,则 h(x)在1,2上单调递增,所以 h(2)或 h(1),即或 3,又 a0,所以 00),则 h(x)=-0,即 h(x)在(0,+)上是减函数.由 h(1)=0 知,当 0 x0,从而 f (x)0;当 x1 时,h(x)0,从而 f(x)0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,1 与3,+),在区间(1,3)上,f(x)t,x(-1,1)时有解,故 e+1t.答案:(-,e+1)12.
6、已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在 t,t+1上不单调,则 t 的取值范围是.解析:由题意知f(x)=-x+4-=-,由 f(x)=0得函数 f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间 t,t+1上就不单调,由 t1t+1 或 t3t+1,得 0t1 或 2t0 时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+);当 a0 时,f(x)的增区间为(1,+),减区间为(0,1);当 a=0 时,f(x)不是单调函数.(2)由(1)及题意得f(2)=-=1,即 a=-2,所以 f(x)=-2ln x+2x-3,f(x)=.所以 g
7、(x)=x3+(+2)x2-2x,所以 g(x)=3x2+(m+4)x-2.因为 g(x)在区间 (t,3)上总不是单调函数,即 g(x)在区间(t,3)上有变号零点.由于 g(0)=-2,所以当 g(t)0,即 3t2+(m+4)t-20对任意 t 1,2恒成立,由于g(0)0,故只要 g(1)0 且 g(2)0,得 m-5 且 m-9,即 m0,得 m-.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以-m-9.即实数 m的取值范围是(-,-9).精彩 5 分钟1.(2015洛阳调研)若 f(x)=-(x-2)2+bln x 在(1,+)上是减函数,则 b 的取值范围是(C)(
8、A)-1,+)(B)(-1,+)(C)(-,-1(D)(-,-1)解题关键:依题意,f(x)0 在(1,+)上恒成立.解析:由题意可知f(x)=-(x-2)+0,在 x(1,+)上恒成立,即 bx(x-2)在 x(1,+)上恒成立,由于(x)=x(x-2)=x2-2x 在(1,+)上的值域是(-1,+),故只要 b-1 即可.2.(2016达州模拟)已知 f(x)=x2-aln x在区间(0,2)上不单调,实数 a 的取值范围是(D)(A)(-2,0)(0,2)(B)(-4,0)(0,4)(C)(0,2)(D)(0,4)解题关键:依题意,f(x)在(0,2)内有变号零点.解析:因为函数f(x)在区间(0,2)上不单调,所以 f (x)=x-=在(0,2)内有变号零点,即(0,2),所以 a(0,4).3.(2016 通州模拟)已知函数 f(x)的导函数为f(x),且满足 f(x)2f(x),则 e2f(0)与 f(1)的大小关系为.解题关键:构造函数g(x)=,研究其单调性.解析:由 f(x)2f(x)得()=g(1),即,即 e2f(0)f(1).答案:e2f(0)f(1)