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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学章 末 小 结本章网络图表本章专题放送专题一、集合的概念与运算集合是向中数学中的一个基本概念,理解并掌握集合知识对学好高中数学起着至关重要的作用.新课标要求正确理解集合的表示方法,能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系,能判断集合是否相等,能够处理含字母类的问题.掌握集合的交、并、补的运算和性质,会用 Venn 图表示集合与集合之间的关系,会用分类讨论和数形结合的数学思想方法研究有关集合的运算问题.在高考的命题中,对集合的考查是以考查概念和计算为主,主要是以选择题、填空题的形式出现,以解答题出现的可能性较小.这个知识点每年必考,以本章知
2、识作为工具和其它知识结合起来综合命题的可能性相对较大.另外,定义新运算在集合方面是一个新的便是背景,应引起足够的重视.典例 1.已知下列集合：（1）1A=n|n=2k+1,kN,k5；集合概念关系运算元素的特征集合的分类集合的表示方法子集交集并集补集元素与集合集合与集合函数概念定义域值域对应关系表示方法列表法图象法解析法基本性质单调性奇偶性映射的概念映射小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）2A=x|x=2k,kN,k3；（3）3A=x|x=4k 1,或x=4k 1,k,Nk3；问：（）用列举法表示上述各集合；（）对集合1A，2A，3A，如果使 kZ,那么1A，2A，3
3、A所表示的集合分别是什么？并说明3A与1A的关系【研析】()(1)1A=n|n=2k+1,kN ,k5 1，3，5，7，9；(2)2A=x|x=2k,kN,k3 1，3，5；(3)3A=x|x=4k1,k,Nk3 1，1，3，5，7，9，11，13；(4)4A=x|x=2k,kN,|k|2111,0,122；(5)5A=(x,y)|x y=6,xNyN,(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)；(6)6A=y|y=2x1,且 x0,1,2 1,0,3；(7)7A=x|x=|aa|bb,a bR 且 ab02,0,2；（）对集合1A，2A，3A，如果使k
4、Z,那么1A3A所表示的集合都是奇数集；2A所表示的集合都是偶数集品思感悟通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；掌握奇数集偶数集的描述法表示和集合的图示法表示.典例2.已知集合22152,2Ax yxxBy yaxx，其中aR，如果AB，求实数a的取值范围【研析】化简得53,1AxxBy ya，AB，13a，即2a典例 3.已知22240,2(1)10Ax xxBx xaxa，其中aR，如果AB=B，求实数a的取值范围【研析】化简得0,4A，集合B的元素都是集合A的元素，BA(1)当B时，224(1)4(1)0aa，解得1a；(2)当04B或时，即BA?时，2
5、24(1)4(1)0aa，解得1a，此时0B，满足BA；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(3)当0,4B时，2224(1)4(1)02(1)410aaaa，解得1a综上所述，实数a的取值范围是1a或者1a观察思考例 2 与例 3 两题从解法来看是有着本质的区别的,AB的关系中,应注意对A讨论,但例 2 中,由于53Axx,所以就没再对集合A 加以讨论.事实上,AB的常用的等价形式还有.ABABAABB另外,在求AB或AB时,除了利用列举的方法以外,要注意与其它知识的联系,如利用数轴的直观性以形辅数,或与函数的值域、曲线的交点等相结合的问题.典例 4.设S为满足下列两个条
6、件的实数所构成的集合：S内不含 1；若aS，则11Sa解答下列问题：（）若2S，则S中必有其他两个元素，求出这两个元素；（）求证：若aS，则11Sa；（III）在集合S中元素的个数能否只有一个？请说明理由【研析】反复利用题设：若aA，且 a1,则,11Aa注意角色转换；单元素集是指集合中只有一个元素(1)2S，112S，即1S，111S，即12S；(2)证明：aS，11Sa，111111Saa；(3)集合S中不能只有一个元素.因为,假设S中只有一个元素，则有11aa，即210aa，该方程没有实数解，集合S中不能只有一个元素反思领悟第(3)小问的处理注意到了使用补集的思想来解决问题,应认真体会“
7、正难则反”的思维方法.如果我们将问题改为：若a,R你能说出集合A中有几个元素吗？请证明你的结论典例 5.已知函数22()42(2)21fxxpxpp在区间 1,1上至少存在一个实数c,使()0f c,求p的取值给成的集合.P【研析】由补集的含义知|sPpe当 1,1x时,()0f x恒成立.因为()f x的开口向上,所以|(1)0sPpfe且(1)0.f小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由2242(2)21042(2)210pppppp,解得3p或3.2p从而3|3.2Ppp方法探究本题看似与集合无关,但运用补集的方法使问题解法简单明了,避免了繁杂的分类讨论.专题二、再识
8、二次函数二次函数是同学们在初中就曾接触到的一类重要函数.在高中阶段,二次函数问题仍然是高考的重点内容,正确认识与理解二次函数问题是学好高中数学的关键.高考试题中所出现的二次函数问题主要是考查二次函数的图象、对称轴、单调区间、最值以及一元二次方程问题等等一二次函数的解析式问题典 例 6.已 知 二 次 函 数()f x同 时 满 足 条 件:(1)(1)(1)fxfx;(2)()f x的 最 大 值 为15;(3)()0f x的两根的立方和等于17.求函数()f x的解析式.【研析】从所给条件知()f x的图象关于1x对称,且最大值为15,故设二次函数的顶点式,利用韦达定理得到关于系数a的方程.
9、依条件可设2()(1)15(0)f xa xa,即2()215f xaxaxa,令()0f x即22150axaxa,并设12,x x为该方程的两个根,由韦达定理知:12122151xxxxa,从而3333121212121590()3()23 2(1)2.xxxxx x xxaa90217a,故6.a所以函数()f x的解析式为2()6129.f xxx梳理总结利用已知条件求二次函数的解析式,常用的方法是待定系数法,但可根据条件选择适当的形式来进 行 求 解.常 用 的 二 次 函 数 的 形 式 有:(1)一 般 式:2()(0)f xaxbxc a;(2)顶 点式:2()()(0)f x
10、a xmn a;(3)两根式:12()()()f xa xxxx.如果从方程的角度来看,这三种形式是统一的,因为如果想确定二次函数的解析式,必须需要三个独立条件.二二次函数的最值问题典例 7.已知2()3f xxaxa，若2,2x时，()0f x恒成立，求a的取值范围【研析】设()fx的最小值为g()a，222()3()3024aaf xxaxaxa恒成立小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学只需g()0a(1)当22a，即4a时，g()f(2)730aa，得73a，又0a，故此时a不存在；(2)当2,22a，即44a时，2g()34aaa，得62a又44a，故42a；(3)
11、当22a，即4a时，g()f(2)70aa，得7a，又4a，故74a综上所述，使()0f x恒成立的a的取值范围是a 7,2.领悟整合二次函数2()(0)f xaxbxc a在闭区间,m n上最值的求法:(1)若,2bxm na,则()2bfa为函数()f x的一个最值,另一个最值是()f m或().f n(2)若,2bxm na,则()f x在区间,m n上为单调函数,()f m与()f n为函数()f x的两个最值.典例 8.已知函数2223,yxaxa若1,2,x求函数最大值()M a及最小值()m a.【研析】讨论对称轴x=a与区间-1，2 的位置关系当时当时(,1)a2max2min
12、()()(2)41()()(1)22fxMafaafxm afaa1,2amin()()()3f xm af a小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当当当时综上所述：方法探究利用分类讨论思想来解决含参数的二次函数的最值问题主要抓住二次函数对称轴与所给区间之间的不同位置关系，存在四种情况，针对不同情况，最值也随之变化解决问题时应紧紧抓住对称轴和区间的位置关系.典例 9.讨论函数y=x 22 x+2，xm,m+1的单调性和最值【研析】第一步先配方；第二步讨论对称轴是否在给定的区间内需分为品思感悟这三道例题体现了二次函数最值问题的常见题型,即“轴变区间定”和“轴定区间变”两种题型
13、,这是高中阶段的重点题型,应注意加强对此类问题的研究.三.一元二次方程根的分布典例 10.方程kxx232在（1，1）上有实根，求k的取值范围【研析】解法一：（1）方程0232kxx在（-1，1）上有两实根，11,;2a2max()()(2)41fxM afaa1,2;2a2max()()(1)22f xM afaa(2,)a2max2min()()(1)22()()(2)41f xM afaaf xm afaa()M a241aa222aa1,21,2aa,1a()m a222aa3241aa1,2a2,a两类来讨论和 11,1,1mmmmmin2max2max2max(1)1,1,01,:
14、1 ,;11,:111:0,222 01,11(2)1,1,0 .10,:22;m mmmxxmyfmyf mmmmyfmmm mmmmyfmmm若即时单调性时 减函数时 增函数最小值最大值时时若即或则当时 单调性减函数2min22maxmin111,:11;22yfmmmyfmmyf mmm当时 单调性增函数小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学则,2116912101010kabff或（2）方程0232kxx在（1，1）上有一实根，则011ff或0101ff或0101ff得2521k综上；25,169k解法二：对称轴1,143x为已知，只需010f即)25,169k解法三
15、：最宜采用函数思想，求)11(23)(2xxxxf的值域)25,169k品思感悟此类问题一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴abx2与区间相对位置.另外，如果充分利用二次式中的已知系数会使问题变得很简单，这一点要十分的重视专题三、函数的性质一函数的单调性典例 11.已知22()3pxf xxq是奇函数,且5(2).3f(1)求实数,p q的值;(2)判断函数()f x在(,1)上的单调性,并加以证明.【研析】(1)()f x是奇函数,()()fxf x,即222233pxpxxqxq,从而0.q因此22()3pxf xx,又5425(2),2.363pfp(2)由(1)知222
16、()3xf xx,任取121xx,则1222211 212121 222222()(1)()().333xxxxxxf xf xxxxx12211212121,0,10,0,()()0,xxxxx xx xf xf x()f x在(,1)上是单调减函数.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学误 区 警 示(1)利 用 函 数 单 调 性 的 定 义 证 明 函 数()f x在 区 间M上 的 单 调 性 的 步 骤:1 任 取12,x xM且12xx(需要指出的是写成“设12,x xM”是不恰当的,想一想,为什么?);2 论证12()()f xf x(或12()()f xf
17、x);3 根据定义得出结论.(2)目前我们所学习的初等函数中,在整个定义域中可能只有一个单调区间,也可能有多个单调区间,所以在表述单调性时,一定要指明函数的单调性体现在哪一个区间上.同时还要注意,多个单调区间不能用“”符号连接.如函数11xyx的减区间应写成(,1),(1,),而不能写成(,1)(1,).二函数性质的综合应用典 例12.已 知()f x是 定 义 在1,1上 的 奇 函 数.若,1,1a b且0ab,有()()0.f af bab(1)判断()fx在 1,1上是增函数还是减函数,并证明你的结论;(2)解不等式2(51)(6).fxfx【研析】(1)()f x在 1,1上是增函数
18、，证明如下：任取12,1,1x x且12xx，则1220,1,1xxx于是有12121212()()()()0()f xf xf xfxxxxx而12120,()()0.xxf xf x于是()f x在 1,1上是增函数(2)因为()fx在 1,1上是增函数，所以221511161516xxxx解得20566661123xxxx或即10.3x从而所求不等式的解集为1|0.3xx引深拓展本题第(1)小题是抽象函数单调性的论证问题,目的是复习函数单调性的定义及其等价形式第(2)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小题则是第(1)小题的递进,即利用第(1)小题的结论解决问题.容易
19、犯的错误是忽略函数()f x的定义域1,1.学 有余 力 的同 学 还可 以 研究 第(3)小 题:若(1)1f,且2()21f xmam对 所 有的 1,1,1,1xa恒成立,求实数m的取值范围.解题思路如下:由于()f x是定义在 1,1上的增函数,于是max()(1)1f xf,故2()21f xmam对所有的 1,1,1,1xa恒成立,即2211mam对 所 有 的1,1a恒 成 立,即220mam对 所 有 的1,1a恒 成 立2220200220mmmmmmmm或或即2m或2m或0.m综合能力探究演练（满分 150 分，时间120 分钟）一、选择题（共12 小题，共60 分）1.(
20、2008年山东济钢模拟)若 A21,4,1,xBxABBx，且则()A2 B 2 C 2、2 或 0 D2、2、0 或 1 2.已知集合032,422xxxNxxM，则集合NM（）A2xx B3xx C 32xx D21xx3.下列各式中,表示y是x的函数的有（）3yxx；y=21xx；1(0),1(0);xxyxxA4 个 B3 个 C2 个 D1 个4.已 知xxg21)(,)0(1)(22xxxxgf,则)21(f（）A15B1C3D305.函数962kxkxy的定义域为R，则k的取值范围是（）A0k或1k B1k C10k D10k6.设)10(),6()10(,2)(xxffxxxf
21、则)5(f的值为（）A10 B.11 C.12 D.13小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学7.（2008 年山东烟台模拟）若不等式)1,2(0)(2的解集为cxaxxf，则函数)(xfy的图象是（）8.已知定义域为)1,1(的奇函数)(xfy又是减函数，且0)9()3(2afaf，则a的取值范围是（）A)3,22(B)10,3(C)4,22(D)3,2(9.若函数234yxx的定义域为0,m,值域为2544，则m的取值范围是（）A.4,0 B.32，4 C.332，D.32，）10.设2()(1)23f xmxmx为偶函数,则()f x在区间(5,2)上是()A.单调递增
22、函数 B.单调递减函数 C.先单调递增,后单调递减 D.先单调递减,后单调递增11.某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是23000200.1,(0,240).yxxx若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(即销售收入不小于总成本)的最低产量为()A.100 台 B.120台 C.150台 D.180台12.偶函数()yf x，奇函数()yg x的定义域均为 4，4；f(x)在 4，0，g(x)在0，4 上的图象如图，则不等式f(x)g(x)0 的解集为()A.2，4 B.(2，0)(2，4)C.(4，2)(2，4)D.(2，0)(0，2)二、填空题（共4 小题，共 16 分）
23、13.若二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于(2,0),(4,0)AB，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是14.定义在 R 上的函数)(xf的值域是（0，2），则)2007()(xfxg1 的值域为 .15 函数)(xf在 R上为奇函数，且当0 x时，()1,f xx，则当0 x时，)(xf .16.若753()8,(5)15,f xaxbxcxdxf则(5)f=三、解答题（共6 小题，共 74 分）17.（本题满分 12 分）记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x的解集为Q（I）若3a，求P；（II）若QP，求正数a的取值范围小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高
24、中+努力=大学18.（2007 年曲阜师大附中第一次月考试题）（本题满分12 分）已知集合2|1030,|121AxxxBx mxm，当AB时，求实数m的取值范围.19.（本题满分12 分）如下图，在边长为4 的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y=f（x）.（1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.20.(2007年上海卷)（本题满分12 分）已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR（1）当2a时，解不等式12)1()(xxfxf；（2）讨论函数)(xf的奇偶
25、性，并说明理由21.（本题满分 12 分）二次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f，（1）求)(xf的解析式；（2）在区间1,1上)(xf的图象恒在mxy2的图象上方，试确定实数m的范围.22.(本题满分 14 分）已知函数1()|f xax（1）求证：函数),0()(在xfy上是增函数；（2）若()2f xx在(1,)上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数,)(nmxfy在上的值域是,()m nmn，求实数a的取值范围.A B CDP小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案与解析研读综合能力探究演练1.C 解析:本题主要考查集合元素的互异性.由于ABB
26、,从而可知BA,所以24x或2xx，若24x，则2x或2x，经检验可知符合题意；若2xx，则0 x或1x，若0 x符合题意，而当1x时，集合 A与集合 B都不满足元素的互异性2.D 解析：224|22,23 0|(1)(3)|13.MxxxxNx xxx xxxx从而NM21xx3C 解析：表示y是x的函数4A 解析：由1122x解得14x，从而)21(f221511()1164()15.114()416f g5C 解析：函数962kxkxy的定义域为R，从而2kx690kx恒成立当0k时，显然成立；当0k时，则0k且2(6)360kk解得01k从而10k6.B 解析:(5)(11)(9)(1
27、5)(13)11fffffff.7B 解析：由题意可知2,1是方程20axxc的两根，且0a，从而应选B 8A 解析：由0)9()3(2afaf得2(3)(9)f afa又)(xfy为定义在)1,1(的奇函数且为减函数，所以22(9)(9)faf a，从而239,aa即2213119160aaaa，解得2 23a9.C 解析:作出图象m的移动必须使图象到达最低点10.A 解析:由于()f x是偶函数,则()()fxf x,即2(1)23mxmx2(1)23mxmx,从而0m,所以2()3fxx,在区间(5,2)上是单调递增函数.11.C 解析:25x23000200.1,xx即25030000
28、0,150 xxx.12.B 解析:由于()yf x是偶函数,其图象关于y轴对称,从而()yfx的在区间(0,2)上0y,在区间(2,4)上0y.而()yg x为奇函数,从而在区间(4,0)上0.y由于可知,在区间(2，0)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2，4)上,f(x)g(x)0.在区间(4,2)(0,2)上,f(x)g(x)0.13.(2)(4)yxx解 析:设(2)(4)ya xx，对 称 轴1x，当1x时，m a x99,1yaa14(1,1)解 析：由 于 函 数)(xf的 值 域 是（0，2）从 而0(2 0 0 7)2f x，所 以)20 0 7()
29、(xfxg1(1,1).151xy解析：当0 x时，0 x，从而()1,fxx又因为)(xf为奇函数，从而()()fxf x，所以()()f xfx=1.x16.31 解析:设()g x753axbxcxdx,显然()g x是奇函数,且()()8f xg x.(5)(5)8,(5)23fgg,而(5)(5),(5)23,(5)(5)8 23 8 31.gggfg17解：（I）由301xx，得13Pxx（II）1102Qx xxx由0a，得1Pxxa，又QP，所以2a，即a的取值范围是(2)，18解：由题意可求|25Axx,(1)当121mm即2m时,B满足AB;(2)当121mm即2m时,要使
30、AB,只须212m或15m即可,即12m或4m综上所述,当AB时，实数m的取值范围为2m或4m.19.解:（1）这个函数的定义域为（0，12）.当 0 x4 时，S=f（x）=214x=2x；当 4x8 时，S=f（x）=8；当 8x12 时，S=f（x）=214（12x）=2（12x）=242x.这个函数的解析式为f（x）=).12,8(224,8,4(84,0(2xxxxx（2）由（1）可画出函数的图像如右图所示，由图知，f（x）的最大值为8.2 4 6 8 1012O xy2468小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学20解：（1）1212)1(222xxxxx，012
31、2xx，0)1(xx 原不等式的解为10 x（2）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0 x，)()()(22xfxxxf，()f x为偶函数当0a时，2()(00)af xxaxx，取1x，得(1)(1)20(1)(1)20ffffa，(1)(1)(1)(1)ffff，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数21解：（1）设11)0(,)(2cfcbxaxxf，所以因为，1)(2bxaxxf，又xxfxf2)()1(xbxaxxbxa2)1(1)1()1(22整理可得1,1 ba，1)(2xxxf（2）由题意，得上恒成立在1,1,212xmxxx即上恒成立在1,1,132xxxm令13)(2
32、xxxu，上单调递减在1,1)(xu，1)(1minxux时当1m22解：（1）当(0,)x时，1()f xax证明如下：任取12,(0,)x x，且12xx则12120,0 xxx x，从而12121221121111()()()0 xxf xf xaaxxxxx x，所以),0()(在xfy上是增函数（2）),1(21在xxa上恒成立.设1()2h xxx时()ah x时在(1,)上恒成立可证),1()(在xh单调增故3)1(aha即，a的取值范围为 3,(（3）)(xf的定义域为|0,x xxR，0mn当0nm时，由（1）知()f x在(0,)上单调增，,mf mnf n小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故012axx有两个不相等的正根m，n，00a，2a当0nm时，可证)0,()(在xf上是减函数.(),()mf n nf m，而mn故1mn此时0a，综上所述，a的取值范围为),2(0