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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课时过关能力提升基础巩固1 有下列四个命题:方程 2x-5=0 在自然数集N 中无解;方程 2x2+9x-5=0 在整数集Z 中有一解,在有理数集Q 中有两解;x=i 是方程 x2+1=0 在复数集C 中的一个解;x4=1 在 R 中有两解,在复数集C 中也有两解.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 解析 方程的解为x?N,故正确;方程的解为x1 Q,x2=-5Z?Q,故 正确;由 i2=-1,知 x=i 是方程 x2+1=0 在复
2、数集C 中的一个解,故正确;x4=1 在复数集C 中的解的个数为4,故 不正确.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案 C 2 在 2这几个数中纯虚数的个数为A.0 B.1 C.2 D.3 解析 因为 2为实数为纯虚数,8+5i 为虚数,(1为纯虚数,0.618为实数,所以纯虚数只有2个.答案 C 3 若(x+y)i=x-1(x,yR),则 2x+y的值为()A解析 由复数相等的充要条件知-解得-则x+y=0.故 2x+y=20=1.答案 D 4 若 z=(m2-1)+(m-1)i(mR)是纯虚数,则有()A.m=1 B.m=-1 C.m=1 D.m 1 解析 z 是纯虚
3、数,解得m=-1.故选 B.答案 B 5 已知(3x+y)+(2x-y)i=(7x-5y)+3i,其中 x,yR,则 x=,y=.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析 x,yR,根据两个复数相等的充要条件,可得-解得答案6 若 4-3a-a2i=a2+4ai,则实数 a=.解析 由题意,得-解得 a=-4.答案-4 7 设 z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(mR),当 m=时,z 为实数;当 m=时,z为纯虚数.解析 当 z 为实数时,由 m2-2m-3=0,得 m=3或 m=-1.当 z为纯虚数时,由-得m=6.答案 3 或-16 8 已知 x2-y2+2
4、xyi=2i,则有序实数对(x,y)=.解析 由复数相等,得-解得或-答案(1,1)或(-1,-1)9 若不等式m2-(m2-3m)i(m2-4m+3)i+10 成立,求实数 m 的值.分析 由于题目中的两个复数能比较大小,故它们都是实数,由此可列出关于m 的式子,求出 m 的值.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解 由题意,得-即或或故 m=3,即实数 m的值为 3.10 是否存在实数m 使复数 z=(m2-m-6)-为纯虚数若存在求出的值 否则 请说明理由分析 假设存在实数m 使复数 z为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.解 假设存
5、在实数m 使 z 为纯虚数,则由,得 m=-2或 m=3.当 m=-2 时,式左端无意义;当 m=3时,式不成立.故不存在实数m 使 z为纯虚数.能力提升1 设 C=复数,A=实数,B=纯虚数,全集 U=C,则下列结论正确的是()A.AB=CB.?UA=BC.A(?UB)=?D.B(?UB)=C解析 由复数的分类可知选项D 正确.答案 D 2 若复数 z1=sin 2+icos ,z2=cos 则等于小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A.k(k Z)B.2k Z)C.2kZ)D.2kZ)解析 由复数相等的定义,可知cos Z,故选 D.答案 D 3 若复数 z-R)是纯虚
6、数,则 ta-的值为A.-7 B.或解析 因为复数z是纯虚数,所以满足实部为零,且虚部不为零,即因为 sin 且cos 所以 cos =所以 tan =所以 ta-答案 A 4 已知复数z=(a2-1)+(a-2)i(aR),则“a=1”是“z 为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若 a=1,则 z=-i 为纯虚数;若 z为纯虚数,则 a=1.所以“a=1”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.答案 A 5 设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(mR),若 z 是纯虚数,则 m=.小学+初中+高中+努力=大学小学+初
7、中+高中+努力=大学解析 z 为纯虚数,-或且答案-1 6 已知复数z1=m+(4+m)i(m R),z2=2cos +(+3cos )i(R),若 z1=z2,则 的取值范围是.解析 z1=z2,.又-1cos 1,34-cos 5.3,5.答案 3,5 7 已知实数a,x,y 满足 a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点(x,y)的轨迹方程是.解析 由复数相等的充要条件知-消去 a,得 x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.答案(x-1)2+(y+1)2=2 8 定义运算如果-求实数的值解 由定义运算得-故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为 x,y 为实数,所以有得-9 已知关于x,y的方程组小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学有实数解,求实数 a,b 的值.分析 由复数相等的定义转化为实数方程组求解.解 由,得-解得代入,得(5+4a)-(10-4+b)i=9-8i,则故小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学