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1、Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University计算机数字控制技术计算机数字控制技术第六讲计算机数字控制器的离散化设计 主讲：主讲：王王 文文 Thursday,January 26,2023Thursday,January 26,2023Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University数字控制系统的脉冲传递函数数字控制系统的脉冲传递函数 6.1最小拍随动系统最小拍随动系统 6.2最小拍随动系统数字控制器设计最小拍随动系
2、统数字控制器设计 6.3纯滞后控制技术纯滞后控制技术大林算法大林算法6.4主 要 内 容数字控制器数字控制器D(Z)的实现的实现 6.5Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.1 数字控制系统的脉冲传递函数 图6-1是数字控制系统原理图。Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University在图6-1中，设C(z)为输入信号的Z变换，R(z)为输出信号的Z变换，D(z)为数字控制器的脉冲传递函数，G(z)为包括零阶
3、保持器在内的广义对象的脉冲传递函数，为闭环脉冲传递函数，由数字控制器理论可知，系统的闭环脉冲传递函数 应为(6-1)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University根据式（6-1），可求出数字控制器的 为式（6-2）是我们分析和设计数字控制器的基础及基本数学模型。(6-2)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.2 最小拍随动系统在自动调节系统中，当偏差存在时，总是希望系统能尽快地消除偏差，使输出跟随输入变化
4、；或者在有限的几个采样周期内即可达到平衡。最小拍实际上是时间最优控制。因此，最小拍随动系统的设计任务就是设计一个数字调节器，使系统到达稳定时所需要的采样周期最少，而且系统在采样点的输出值能准确地跟踪输入信号。在数字控制过程中，常把一个采样周期的时间看作一节拍的时间。Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.2.1 最小拍随动系统脉冲传递函数在图6-1中，最小拍随动系统的闭环误差脉冲传递函数为即 ，则式（6-2）又可表示为(6-3)(6-4)Institute of Advanced Manufac
5、ture Engineering of ZheJiang University式（6-4）表明，一旦控制对象被确定，包括零阶保持器在内的广义对象的脉冲传递函数 是不可变的但是，误差脉冲传递函数 是因不同典型的输入信号而变化的，这样当系统的 ，确定后，便可根据式（6-4）求出最小拍随动系统的数字控制的脉冲传递函数 ，继而可设计出相应的数字控制器。Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.2.2最小拍随动系统数字控制器分析在自动控制系统中，典型的输入信号有：单位阶跃输入单位速度输入 单位加速度输入所以
6、，典型输入的Z变换具有 的形式。式（6-5）中的m为正整数，即m1，2，3(6-5)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University显然，随动系统的调节时间，就是系统的误差达到恒定值或趋于零的时间，根据Z变换定义，知由式（6-6）便可求出 ，各值。最小拍系统在典型信号作用下，当 ，为恒定值或 等于零时，N必定是可能小的正整数，这样，由式（6-3）及式（6-5）得(6-6)(6-7)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang Univer
7、sity要满足最小拍的要求，式（6-7）中必须尽可能为有限项，故应合理地选择 ，可按式（6-8）进行选择，当选择Mm，且F（z）=1时，不仅可使数字控制器结构简单，阶数降低；而且可使 的项数最少，调节时间最短。上述三种典型输入时，闭环误差脉冲传递函数分别选择为单位阶跃输入时，选择单位速度输入时，选择单位加速度输入时，选择(6-8)(6-9)(6-10)(6-11)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University 根据上述分析，可得不同输入时的误差序列如下：1)单位阶跃输入时 由Z变换定义可得误差序列为 误差
8、及输出序列如图6-2所示。由图6-2知：单位阶跃输入时，最小拍随动系统的调节时间为 ，是系统采样周期。(6-12)(6-13)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University误差及输出序列如图6-3所示，由图6-3知，单位速度输入时，最小拍随动系统的调节时间为 。图6-2单位阶跃输入时误差及输出序列图图6-3单位速度输入时误差及输出序列图(6-14)(6-15)2)单位速度输入时误差序列Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang Uni
9、versity3)单位加速度输入时及误差序列为(6-16)(6-17)图 6-4 单位加速度时误差及输出序列Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University误差及输出序列如图6-4所示。由图6-4知，单位加速度输入时，最小拍随动系统的调节时间为 。综上所述，对于不同典型输入，合理地选择误差脉冲传递函数 ，才能获得较佳的最小拍响应。选定 后，根据广义对象 的特性，按式（6-4）可求得最小拍数字控制器 。三种典型输入最小拍系统的调节时间分别为T，2T和3T。表61（教材P251）三种典型输入的最小拍系统Inst
10、itute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.3.1最小拍随动系统数字控制器设计 设计最小拍随动系统数字控制器的方法步骤如下：设计最小拍随动系统数字控制器的方法步骤如下：（1）根据被控对象的数学模型求出广义对象的脉冲传递函 数 。（2）根据输入信号类型，查表6-1确定误差脉冲传递函数 。（3）将 、代入式（6-4），进行Z变换运算，即可求出数字控制器的脉冲传递函数 。（4）根据结果，利用6.2.2节知识分析结其控制结果，求出输出序列及画出其响应曲线等。Institute of Advanced Manufac
11、ture Engineering of ZheJiang University例1:已知被控对象的传递函数为 设采样周期为 试设计单位阶跃输入的最小拍数字控制器 。解：当用零阶保持器沟通数字控制器与被控对象间联系时，该系统的广义对象的脉冲传递函数 为Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University计算结果 中含有 因子，并有单位圆外的零点z-1.4815，因此，闭环脉冲传递函数 中应包含有 项及 的因子。当把 的单位圆外零点及 因子作为被控制对象的零点和因子，同时考虑到误差脉冲传递函数应选为以及 、应该是同
12、阶次的多项式后，应有上述方程中a、b为待定系数，且有比较等式两边后，有求解后，得待定系数a、b为a0.403 b0.597Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University将待定系数代入方程组后，得将所得结果代入式后，求得最小拍随动数字控制器得脉冲传递函数为单位阶跃输入时，其输出响应为单位阶跃输入时，其输出响应为Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University系统输出相应如下图所示，因为闭环脉冲传递函数中含有单位圆外零点，
13、故其调节时间延长得到两拍。图6-5 随动系统输出相应曲线Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University例2：如图6-6所示，已知被控对象传递函数为 设采样周期为 ，试设计一在单位速度输入时的数字控制器 。解：当用零阶保持器沟通数字控制器与被控对象间联系时，该系统的广义对象的脉冲传递函数 为Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University系统输入为 ，查表6-1知误差脉冲传递函数选定为于是将 、代入式（6-4），可求得数
14、字控制器的脉冲传递函数为 Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University从表6-1知，单位速度输入时系统的闭环脉冲传递函数为这样，可得系统输出序列的Z变换为上式中各项系数就是 在各个采样时刻的输出数值，即系统输出相应曲线如图6-7所示。图6-7 单位速度输入时最小拍随动系统输出相应曲线Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.3.2 最小拍无波纹数字控制器的设计 设计要求：设计要求：系统在典型信号的作用下，经
15、过尽可能少的节拍（一般为1-3个采样周期）后，系统应达到稳定状态，且采样点之间没有波纹。对于二拍系统有按最小拍无波纹设计，当KN时，应保持恒定值或为零。因此，在上式 中，若选定 是 的有限多项式，在确定输入的作用下，经过有限节拍，能达到某恒定值或为零，并能保证系统输出响应没有波纹。Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University实质上，为了使 是有限拍，应使 是 的有限多项式，便有如下的关系：在上式中，分别是 的极点和零点。从该式可看出：的极点 不会影响 成为 的有限多项式，而 的零点 却有可能使 成为 的
16、无限多项式。因此，最小拍无波纹系统的设计，要求 的零点包含 的全部零点，这就是最小拍无波纹设计与最小拍有波纹设计唯一的不同之处。如前述曾指出过，在最小拍有波纹设计中，只要求 的零点包含 在单位圆上 和在单位圆外的零点。例64例656.3.2 最小拍无波纹数字控制器的设计 Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.4 纯滞后控制技术大林算法在工业过程控制中经常涉及到纯滞后调节系统的设计，它们共同的特点是滞后的时间较长，在设计这些系统时，往往允许系统存在适当的超调量，而尽可能地缩短调节时间。实践表明，
17、用一般的随动系统的设计方法或PID控制算法，去处理这类系统的过程控制时，其效果均难满足系统的要求。针对这类系统，1968年IBM公司大林（Dahlin）提出了一种设想：其设计目标就是设计一个数字控制器，使整个闭环系统的传递函数 相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节。即式（6-20）中，为对象时间常数；为对象的纯延时时间，N为方便起见设为正整数，即延时时间 为采样周期T的整数倍。考虑被控对象与零阶保持器相串联后，相对应的闭环脉冲传递函数为(6-20)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University （621）将
18、式（6-21）代入式（6-2）后，得 (6-22)式（6-22）就是大林算法得基本形式，D（z）就是要设计的数字控制器。纯滞后惯性系统，因允许它存在适当的超调量，当系统参数设置不合适或不匹配时，可能使数字控制器的输出接近1/2采样频率的、大幅度上下摆动的序列，这种现象称为振铃现象。几种典型振铃输出序列如图6-14所示（教材P261）。Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.4.1 一阶惯性环节的大林算法基本形式当被控对象为纯滞后一阶惯性环节时，即其脉冲传递函数为(6-27)(6-28)Insti
19、tute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University将式（6-28）代入式（6-22）后，可得含纯滞后的一阶惯性环节的大林算法的基本算式为式中：式（6-29）就是被控对象为一阶惯性环节的大林算法 基本形式。例66（教材P263）(6-29)T采样周期被控对象时间常数闭环系统时间常数Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.4.2 二阶惯性环节的大林算法基本形式当被控对象为纯滞后二阶惯性环节时，即其脉冲传递函数为(6-30)I
20、nstitute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University式（6-31）中，将式（6-31）代入式（6-22）后，可得含纯滞后的一阶惯性环节的大林算法的基本算式为式（6-33）中：式（6-33）就是被控对象为二阶惯性环节的大林算法 基本形式。(6-32)(6-33)T采样周期；被控对象时间常数；闭环系统时间常数Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.5 数字控制器D(Z)的实现数字控制器 的设计方法很多，前几节仅论述了其
21、中一小部分。但是，在完成了 的设计后，更重要的任务是采用什么途径，在控制系统上去实现 的算法。有两种实现数字控制器 的算法，一种是采用硬件模拟电路去实现，另一种是采用计算机软件去实现。然而，从 算式的复杂性和控制系统的灵活性出发，采用计算机软件的方法去实现更适宜。本节将从 算式的三种主要表示形式出发，简述它们的设计方法Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.5.1直接程序设计法数字控制器 通常可表示为式（6-34）中，mn，和 分别为数字控制器 的输入序列和输出序列的Z变换。由式（6-34）可求
22、得将式（6-35）进行Z反变换，写成差分方程的形式(6-34)(6-35)(6-36)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University这样，式（6-36）为我们直接用计算机软件编制程序，去实现 算法的表达式，因此，称这种实现 算法为直接程序设计算法。按式（8-36）和编制计算机程序，便可求出 值。根据式（6-35）可直接画出实现 原理框图如图6-15所示。Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.5.2串行程序
23、设计法若数字控制器的脉冲传递函数的零点和极点均为已知，即 可写成形式时，根据迭代原理，若令(6-37)(6-38)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University则有即可以把 看成由 ，等n个子脉冲传递函数 串联组成的，其中 ，如图6-18所示。因此称这种分析方法为串行程序设计法，因它是以迭代原理为基础的，固又称为迭代程序设计法。为了求出 的 ，可分别先求出 的各个脉冲传递函数 的 ，最后求出 。以求 的 为例，对 表示式分子、分母各乘以 ，得将式（6-40）两边交叉相乘，得(6-39)(6-40)Inst
24、itute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University再进行逆Z变换，得整理后得 的差分方程 为同理，可求出 的n个迭代表示式或 的差分方程组为这样，按式（6-42）和编制计算机程序，便可求出值 。(6-41)(6-42)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University6.5.3 并行程序设计法若数字控制器的脉冲传递函数 可写成部分分式形式，即同样，把式（6-43）中右边各部分分式看是 的子脉冲传递函数 ，时，则有显然，式（6-44）
25、表明，从原理结构上看 是各子脉冲传递函数 ，并联组成的，如图6-21所示。(6-43)(6-44)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University并行程序设计原理图Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University各子脉冲传递函数可表述如下(6-45)：与串行程序设计法证明过程相似，各子脉冲传递函数经过交叉相乘和反变换后，可求得它们响应的差分方程组为(6-46)(6-45)(6-46)Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University按式（6-46）分别求出 ，之后，便可计算出数字控制器的 值，即同样，按式（6-46）和式（6-47）编制计算机程序，便可求出 值。Institute of Advanced Manufacture Engineering of ZheJiang University欢迎提出意见和建议！欢迎提出意见和建议！谢谢大家谢谢大家！