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1、第四章第四章 随机数产生原理随机数产生原理 Principle ofRandom Number Generation数学科学学学院数学科学学学院4.1 引言引言4.2 伪随机数产生原理伪随机数产生原理4.3 0，1均匀分布随机数的算法均匀分布随机数的算法4.4 其他分布随机数的产生其他分布随机数的产生4.5 正态分布随机数的产生正态分布随机数的产生4.6 MATLAB统计库中的随机数发生器统计库中的随机数发生器4.7 随机数的检验随机数的检验4.8 案例分析案例分析第四章第四章 随机数的产生原理随机数的产生原理1/30/20232信息统计分析v以以随随机机数数产产生生为为基基础础的的Monte
2、-Carlo方方法法已已成成为为现现代代科科研研的的重重要要手手段段之之一一。其其意意义义早早以以超超出出了了概概率率论论与与数数理理统统计计的的范范畴畴。广广泛泛应应用用于于计计算算方方法法、随随机机数数规规划划、管管理理科科学学、物物理理化化学学中中的的高高分分子子结结构构的的研研究究等等领领域域。我我们来看一些例子。们来看一些例子。1/30/20233信息统计分析1、数值计算的研究、数值计算的研究数数值值计计算算的的研研究究可可以以说说是是一一切切Monte-Carlo应应用用的的基基础础，在在计计算算数数学学领领域域我我们们遇遇到到了了很很多多的的复复杂杂计计算算，一一个个典典型型的的
3、例例子子是是计计算算积积分分。对对于于一一维维、二二维维的的问问题题早早已已获获得得解解决决。但但是是当当遇遇到到高高维维积积分分问问题题时时，我我们们传传统统的的数数值值方方法法都都由由于于计计算算量量太太大大而而陷陷于于了了困困境境。但但是是高高维维积积分分问问题题又又偏偏偏偏是是物物理理、高高分分子子化化学学、运运筹学和最优化问题迫切而必须解决的问题。我们来看一个例子。筹学和最优化问题迫切而必须解决的问题。我们来看一个例子。这里这里1/30/20234信息统计分析这是一个众所周知的积分公式，我们当然也可以把它一般的这是一个众所周知的积分公式，我们当然也可以把它一般的看为是一个高维积分，如
4、果从传统的数值计算方法来看待，看为是一个高维积分，如果从传统的数值计算方法来看待，则高维问题是随着维数的增加计算量成指数增加的，计算很则高维问题是随着维数的增加计算量成指数增加的，计算很快就失去控制。但是如果我们换一个角度来看待这个问题，快就失去控制。但是如果我们换一个角度来看待这个问题，从概率论的角度，它实际是：从概率论的角度，它实际是：即是即是f（x）的均值，对于均值我们有一个很好的估计，即的均值，对于均值我们有一个很好的估计，即1/30/20235信息统计分析【例例4.1.1】用用Monte-Carlo对对积分积分解：将积分区域和值域看成是一个边长为一的正方形。利用均匀分解：将积分区域和
5、值域看成是一个边长为一的正方形。利用均匀分布随机数将点撒在正方形中，计算小于函数的个数并除全部点数。布随机数将点撒在正方形中，计算小于函数的个数并除全部点数。这就是积分的近似值。这就是积分的近似值。%利用利用Monte-Carlo方法计算定积分方法计算定积分x=rand(1,1000);x_2=x.2;JF=mean(x_2)%作作Monte-Carlo积分示意图积分示意图fori=1:1000 xx=rand(1,100);yy=rand(1,100);endx1=linspace(0,1,50);y1=x1.2;plot(xx,yy,.,x1,y1,linewidth,2)axisequa
6、lh=legend(x-y,x2);JF=0.33461/30/20236信息统计分析面积计算结果为：面积计算结果为：s=0.34821/30/20237信息统计分析【例例4.1.2】利用利用Monte-Carlo方法计算定积分。方法计算定积分。解：抽两组随机数，求每组元素的平方代入给定的函数，然后求平解：抽两组随机数，求每组元素的平方代入给定的函数，然后求平均值即得积分的近似值。均值即得积分的近似值。%Monte-Carlo方法积分二重积分并与数值方法的结果进行比较方法积分二重积分并与数值方法的结果进行比较Q=dblquad(sin(x.2+y.2),0,1,0,1)%数值求积分命令数值求积
7、分命令x=rand(2,100000);%产生两组随机数产生两组随机数Sin_xy=sin(x(1,:).2+x(2,:).2);%代入函数代入函数JF_Sin_xy=mean(Sin_xy)%用用Monte-Carlo方法求积分值方法求积分值计算结果为：计算结果为：Q=0.5613JF_Sin_xy=0.5612当抽样数很大时结果很接近。我们可以从当抽样数很大时结果很接近。我们可以从Monte-Carlo方法中看出，方法中看出，如果维数增加实际计算难度并不增加，因此是处理高维问题的有效如果维数增加实际计算难度并不增加，因此是处理高维问题的有效方法。方法。1/30/20238信息统计分析这这里
8、里x是是积积分分定定义义域域中中的的均均匀匀分分布布随随机机数数，这这是是革革命命性性的的一一个个视视角角。从从这这个个视视角角，我我们们把把繁繁难难的的积积分分计计算算变变成成了了简简单单的的算算术术平平均均，而而大大量量的的抽抽样样计计算算又又是是计计算算机机的的拿拿手手好好戏戏，更更重重要要的的是是当当维维数数增增加加时时并并不不增增加加计计算算难难度度，从从而而用用Monte-Carlo方方法法研研究究高高维维积积分分问问题题已已是当今计算数学界的热门课题。是当今计算数学界的热门课题。2 2、管理科学的系统仿真研究、管理科学的系统仿真研究管管理理科科学学中中的的系系统统仿仿真真研研究究
9、，如如服服务务系系统统、库库存存系系统统等等。其其共共性性就就是是研研究究的的对对象象是是随随机机数数，如如顾顾客客到到达达时时间间一一般般是是一一个个服服从从指指数数分分布布的的随随机机数数，而而服服务务时时间间也也可可以以看看成成是是服服从从某某种种分分布布的的随随机机数数，当当一一个个系系统统是是多多队队多多服服务务体体系系时时，问问题题就就变变的的相相当当复复杂杂了了。我我们们很很难难用用数数学学的的解解析析式式来来表表达达。这这时时Monte-Carlo方方法法也也是是有有利利的的武武器器。对对于于 这这 个个 领领 域域 的的 已已 有有 各各 种种 比比 较较 成成 熟熟 的的
10、专专 用用 软软 件件 如如 GPSS、SIMULATION等可以使用等可以使用。1/30/20239信息统计分析3.物理化学中的分子领域物理化学中的分子领域50年年代代科科学学家家已已经经在在高高分分子子领领域域使使用用Monte-Carlo方方法法了了。这这一一领领域域所所研研究究的的问问题题更更加加复复杂杂，计计算算量量非非常常之之大大。高高分分子子材材料料是是由由几几乎乎是是无无穷穷的的高高分分子子链链组组成成，而而每每一一个个链链的的长长度度又又是是10的的好好几几次次方方。而而链链的的构构象象又又是是千千差差万万别别，而而且且是是随随机机游游动动的的。如如何何在在中中微微观观上上几
11、几乎乎是是无无规规律律的的现现象象中中去去判判断断其其宏宏观观的的性性质质？用用数数学学的的解解析析式式来来说说明明这这样样的的现现象象是是苍苍白白无无力力的的。Monte-Carlo方方法法是是一一个个很很好好的的工工具具，它它使使得得科科学学家家用用Monte-Carlo方方法法去去探探索索高高分分子子运运动动的的规规律律。一一个个典典型型的的例例子子是是：对对于于高高分分子子多多链链体体的的研研究究这这是是一一个个很很复复杂杂的的问问题题，直直到到标标度度理理论论和和重重正正化化群群理理论论方方法法的的引引入入，才才使使得得单单链链构构象象统统计问题得到了较好的解决。计问题得到了较好的解
12、决。1/30/202310信息统计分析4.1 引言引言4.2 伪随机数产生原理伪随机数产生原理4.3 0，1均匀分布随机数的算法均匀分布随机数的算法4.4 其他分布随机数的产生其他分布随机数的产生4.5 正态分布随机数的产生正态分布随机数的产生4.6 MATLAB统计库中的随机数发生器统计库中的随机数发生器4.7 随机数的检验随机数的检验4.8 案例分析案例分析第四章第四章 随机数的产生原理随机数的产生原理1/30/202311信息统计分析v前前面面Monte-Carlo方方法法的的例例子子是是以以高高质质量量的的随随机机数数为为基基础的。通过完全的随机抽样或调查可以产生随机序列础的。通过完全
13、的随机抽样或调查可以产生随机序列。当我们用当我们用Monte-Carlo方法研究一个实际问题时，我们需方法研究一个实际问题时，我们需要快速地获得大量的随机数。用计算机产生这样的随机数要快速地获得大量的随机数。用计算机产生这样的随机数是非常方便的，用数学方法在计算机上产生的随机数称为是非常方便的，用数学方法在计算机上产生的随机数称为伪随机数。伪随机数。1/30/202312信息统计分析基本定理：基本定理：如果随机变量如果随机变量X的分布函数的分布函数F（x）连续，则连续，则R=F（x）是是0，1上的均匀分布的随机变量。上的均匀分布的随机变量。以以表示随机变量表示随机变量R的分布函数，则有的分布函
14、数，则有(4.2.1)证：因为分布函数证：因为分布函数F（x）是在（）是在（0，1）上取值单调递增的连续）上取值单调递增的连续函数，所以当函数，所以当X在在（，x）内取值时，随机变量）内取值时，随机变量R则在（则在（0，F(x)）上取值，且对应于（）上取值，且对应于（0，1）上的一个）上的一个R值，至少有一个值，至少有一个x满足，见图满足，见图4.2.11/30/202313信息统计分析=证毕证毕图图4.2.1(4.2.2)1/30/202314信息统计分析基本定理给出了任一随机变量和均匀分布基本定理给出了任一随机变量和均匀分布R之间的关系。而有之间的关系。而有些随机变量可以通过分布函数的逆变
15、换来获得，因此如果我们些随机变量可以通过分布函数的逆变换来获得，因此如果我们可以产生高质量的均匀分布，我们就可以通过变换获得高质量可以产生高质量的均匀分布，我们就可以通过变换获得高质量的其他分布。见公式的其他分布。见公式(4.2.3)(4.2.3)例例4.2.1求指数分布的随机数。令求指数分布的随机数。令从从而而我我们们用用服服从从0，1上上的的随随机机数数R，通通过过上上面面的的公公式式就就可可以以得到指数分布的随机数了。得到指数分布的随机数了。1/30/202315信息统计分析例例4.2.1产生产生1000个均匀分布随机数，利用变换产生个均匀分布随机数，利用变换产生=6的指数的指数分布并进
16、行拟合优度检验。分布并进行拟合优度检验。clc,clearx=linspace(0,20,100);R=rand(1,1000);%产生产生1000个（个（0，1）均匀随机数）均匀随机数ex=-6*log(1-R);%变换为指数分布随机数变换为指数分布随机数ex=ex;m=mean(ex)v=var(ex)subplot(1,2,1),cdfplot(ex)subplot(1,2,2),hist(ex)kstest(ex,exexpcdf(ex,6)%拟合优度检验拟合优度检验结果为：结果为：H=0,接受原假设，变换后的确为接受原假设，变换后的确为=6的指数分布的指数分布1/30/202316信
17、息统计分析1/30/202317信息统计分析4.1 引言引言4.2 伪随机数产生原理伪随机数产生原理4.3 0，1均匀分布随机数的算法均匀分布随机数的算法4.4 其他分布随机数的产生其他分布随机数的产生4.5 正态分布随机数的产生正态分布随机数的产生4.6 MATLAB统计库中的随机数发生器统计库中的随机数发生器4.7 随机数的检验随机数的检验4.8 案例分析案例分析第四章第四章 随机数的产生原理随机数的产生原理1/30/202318信息统计分析算法要求算法要求产生的数值序列要具有均匀总体简单子样的一些概率统计产生的数值序列要具有均匀总体简单子样的一些概率统计特性，通常包括分布的均匀性，抽样的
18、随机性，试验的独特性，通常包括分布的均匀性，抽样的随机性，试验的独立性和前后的一致性。立性和前后的一致性。产生的随机数要有足够长的周期。产生的随机数要有足够长的周期。产生随机数速度快，占用内存小。产生随机数速度快，占用内存小。1/30/202319信息统计分析为了达到快速的要求，一般采用递推公式为了达到快速的要求，一般采用递推公式（4.3.1)目前最常用的方法是上述方法的一个特例：目前最常用的方法是上述方法的一个特例：混合同余法混合同余法(4.3.2)其中其中a，b，M 以及初值以及初值y都是正整数，其中都是正整数，其中modM运算定义运算定义为：任一整数为：任一整数y可唯一表示为公式可唯一表
19、示为公式则则容易看出容易看出 x 满足满足0 x1。1/30/202320信息统计分析乘同余法乘同余法当当 b=0时，有时，有(4.3.4)加同余法加同余法以下形式的同余法称为加同余法以下形式的同余法称为加同余法(3.4.5)1/30/202321信息统计分析例例4.3.1历史上比较有名的称为历史上比较有名的称为“菲波那西菲波那西”数列为加同余法数列为加同余法的特例。的特例。(4.3.6)当当M=8时，取初值得时，取初值得“菲波那西菲波那西”数列。数列。0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，253对上述数列取模得：对上述数列取模得：0，1，1，2，3，5，0，5，5
20、，7，1，1(4.3.7)再除以模再除以模M我们可得到我们可得到(0,1)之间的序列之间的序列。1/30/202322信息统计分析我们知道对于一个来自均匀分布的随机序列，应该满足独立性、我们知道对于一个来自均匀分布的随机序列，应该满足独立性、均匀性等统计特性，但伪随机数往往有一些缺陷，例如均匀性等统计特性，但伪随机数往往有一些缺陷，例如(4.3.7)序列到一定长度后，又开始重复下面的序列，这称为序列到一定长度后，又开始重复下面的序列，这称为周期性是一种明显的规律，与随机性矛盾。通常我们只能选用周期性是一种明显的规律，与随机性矛盾。通常我们只能选用一个周期内的序列作为我们的伪随机数。因此研究一种
21、算法，一个周期内的序列作为我们的伪随机数。因此研究一种算法，使得其产生的随机序列的周期尽可能长，我们可以通过调节使得其产生的随机序列的周期尽可能长，我们可以通过调节（4.3.1）的参数来实现。）的参数来实现。因此如何来获得一个周期比较长的序列，就成了我们研究的一因此如何来获得一个周期比较长的序列，就成了我们研究的一个内容：有关伪随机数序列的周期有如下的一些结论：个内容：有关伪随机数序列的周期有如下的一些结论：1/30/202323信息统计分析定理定理4.3.1混合同余法产生序列达最大周期混合同余法产生序列达最大周期M的充要条件：的充要条件：（1）b与与M互素互素（2）对于对于M的任意素因子的任
22、意素因子p，有有（3）如果如果4是是M的因子，则的因子，则显然乘同余法产生的序列达不到周期显然乘同余法产生的序列达不到周期M（不满足（不满足（1）。当）。当取取（k为任意整数）时，因为为任意整数）时，因为M只有一个素因子只有一个素因子2，且且4是是M的因子，则由条件（的因子，则由条件（2）、（）、（3）有）有，从而混合同余发生器达到最大周期的算法为：从而混合同余发生器达到最大周期的算法为：（3.4.8)1/30/202324信息统计分析其中其中c，d为任意整数。混合同余发生器是否达到最大周期为任意整数。混合同余发生器是否达到最大周期M与与初始值无关。初始值无关。对于乘同余发生器，由同余运算的定
23、义，知其由如下性质对于乘同余发生器，由同余运算的定义，知其由如下性质(1)如果如果则有：则有：（2）如果）如果则则其中（其中（c，M）是）是c，M的最大公约数。的最大公约数。1/30/202325信息统计分析利用这些性质可得到以下定理。利用这些性质可得到以下定理。定理定理4.3.2对乘同余发生器，若对乘同余发生器，若，则使，则使成立得最小正整数成立得最小正整数V就是此发生器得周期。就是此发生器得周期。在数论中称在数论中称V 为为a关于关于M的阶数，对于乘同余发生器，若种的阶数，对于乘同余发生器，若种子与子与M 互素，则其周期就是关于互素，则其周期就是关于M 的阶数。这样一来，寻找的阶数。这样一
24、来，寻找达到最大周期的同余发生器的问题就转化为数论方面寻求达到最大周期的同余发生器的问题就转化为数论方面寻求M达达到最大阶数到最大阶数a的问题了。的问题了。Knuth对这一问题的研究作了总结。对这一问题的研究作了总结。1/30/202326信息统计分析从算法上我们知道公式是递推的，因此一般的随机发生器程从算法上我们知道公式是递推的，因此一般的随机发生器程序都要预先赋初值，这种初值为种（序都要预先赋初值，这种初值为种（Seed），），有些统计软件有些统计软件如如SPSS要求用户给出要求用户给出Seed.以以均均匀匀分分布布（0，1）随随机机变变量量R变变换换成成的的随随机机变变量量。以以r,u,
25、分分别别表表示示(0,1)均均匀匀分分布布,指指数数分分布布，N(0,1)标标准准正正态态分分布布。其他常见的分布如卡方分布、其他常见的分布如卡方分布、F分布等的抽样方法见表分布等的抽样方法见表4.3.1。1/30/202327信息统计分析1/30/202328信息统计分析4.1 引言引言4.2 伪随机数产生原理伪随机数产生原理4.3 0，1均匀分布随机数的算法均匀分布随机数的算法4.4 其他分布随机数的产生其他分布随机数的产生4.5 正态分布随机数的产生正态分布随机数的产生4.6 MATLAB统计库中的随机数发生器统计库中的随机数发生器4.7 随机数的检验随机数的检验4.8 案例分析案例分析
26、第四章第四章 随机数的产生原理随机数的产生原理1/30/202329信息统计分析v直接抽样法由基本定理我们知道，对于有些随机变量可以建立与由基本定理我们知道，对于有些随机变量可以建立与R的函数的函数关系，因此只需对关系，因此只需对R进行抽样，利用函数的映射关系我们就可以进行抽样，利用函数的映射关系我们就可以方便地得到该随机变量的抽样了。如前面的指数分布随机数。方便地得到该随机变量的抽样了。如前面的指数分布随机数。v变换抽样产生随机变量的变换抽样方法，是讨论均匀分布的不同函数分产生随机变量的变换抽样方法，是讨论均匀分布的不同函数分布，为随机变量抽样提供一些简单可行的算法。在概率论中，从布，为随机
27、变量抽样提供一些简单可行的算法。在概率论中，从不同的角度出发，对随机变量函数进行了讨论，以下列出一些结不同的角度出发，对随机变量函数进行了讨论，以下列出一些结果。果。1/30/202330信息统计分析设随机变量设随机变量X具有密度函数具有密度函数，是对随，是对随机变量机变量X的变换，且的变换，且的逆函数存在，记为的逆函数存在，记为有一阶连续导数，则随机变量的密度函数有一阶连续导数，则随机变量的密度函数，（4.4.1)例例4.4.1R，1-R均为（均为（0，1）上的均匀分布随机变量，设随）上的均匀分布随机变量，设随机向量（机向量（X，Y）具有二维联合密度。对于随机变量具有二维联合密度。对于随机变
28、量X，Y进行进行函数变换函数变换1/30/202331信息统计分析其中，函数其中，函数，的逆变换存在，记为的逆变换存在，记为且存在一阶偏导数，设且存在一阶偏导数，设J为为Jacobi变换变换则随机变量的二维联合密度为则随机变量的二维联合密度为(4.4.2)1/30/202332信息统计分析例例4.4.2用变换抽样产生标准正态分布的随机变量用变换抽样产生标准正态分布的随机变量U随机变量随机变量U的密度函数为的密度函数为:取随机数取随机数，则则相互独立、服从相互独立、服从N（0，1）分布。解上面的两个方程，得逆变分布。解上面的两个方程，得逆变换公式换公式1/30/202333信息统计分析由由(4.
29、4.2)，随机变量，随机变量的密度函数的密度函数从而我们知道是两个独立的标准正态分布。从而我们知道是两个独立的标准正态分布。下面还有几个常用的二维函数的变换结果。下面还有几个常用的二维函数的变换结果。1）随机变量和随机变量和的密度函数的密度函数（4.4.3)2)随机变量的积随机变量的积的密度函数的密度函数(4.4.4)1/30/202334信息统计分析3)随机变量的商随机变量的商X/Y(4.4.5)3、值序抽样、值序抽样值序统计量值序统计量，通常称为值序量。是随机向量，通常称为值序量。是随机向量的一个函数，取其一个实现的一个函数，取其一个实现并排序得并排序得其中的第其中的第 l 个个值为函数值
30、。显然这是一个统计量值为函数值。显然这是一个统计量1/30/202335信息统计分析若随机变量若随机变量的各个分量独立且同分布，则值序统计量的各个分量独立且同分布，则值序统计量的密度函数的密度函数和分布函数分别为：和分布函数分别为：这里，这里，F(x),f(x)分别为随机变量在分布函数和密度函数。分别为随机变量在分布函数和密度函数。1/30/202336信息统计分析特别当随机变量特别当随机变量为为0，1上的均匀分布时，上的均匀分布时，得密度函数为：得密度函数为：这是这是分布的密度函数分布的密度函数因此我们可以很容易地产生特殊的因此我们可以很容易地产生特殊的分布的随机数。分布的随机数。1/30/
31、202337信息统计分析例例4.4.3产生服从产生服从分布的随机数分布的随机数若随机变量若随机变量的密度函数为：的密度函数为：利用（利用（0，1）均匀分布随机数我们可以如下产生特殊）均匀分布随机数我们可以如下产生特殊随随机数机数（1）（2）（3）（4）1/30/202338信息统计分析我们来验证（我们来验证（2），即是否服从），即是否服从a=1，b=5的贝塔分布，按公式抽的贝塔分布，按公式抽5个均匀分布的随机数，取其中最小的为一个样本，共取个均匀分布的随机数，取其中最小的为一个样本，共取1000个，个，然后用分布的然后用分布的Kolmogorov-Smirnov拟合优度检验，程序如下：拟合优度
32、检验，程序如下：%例例4.4.3验证验证(2)%抽抽5个均匀分布随机数，产生一个服从个均匀分布随机数，产生一个服从bata分布的随机数分布的随机数fori=1:1000B(i)=min(rand(1,5);endB=B;%转置为列向量转置为列向量h=kstest(B,Bbetacdf(B,1,5)%检验服从检验服从bata分布吗？分布吗？计算结果为：计算结果为：h=0接受原假设，服从接受原假设，服从a=1，b=5的贝塔分布。学习者可以验证其余的的贝塔分布。学习者可以验证其余的抽样公式。抽样公式。1/30/202339信息统计分析4.1 引言引言4.2 伪随机数产生原理伪随机数产生原理4.3 0
33、，1均匀分布随机数的算法均匀分布随机数的算法4.4 其他分布随机数的产生其他分布随机数的产生4.5 正态分布随机数的产生正态分布随机数的产生4.6 MATLAB统计库中的随机数发生器统计库中的随机数发生器4.7 随机数的检验随机数的检验4.8 案例分析案例分析第四章第四章 随机数的产生原理随机数的产生原理1/30/202340信息统计分析v正态分布在数理统计中具有基础性的作用，因此产生高质量的正态分布有重要的意义，这一节我们将介绍几种数值方法求正态分布，利用中心极限定理产生正态分布的随机数。1/30/202341信息统计分析1）利用中心极限定理产生随机数利用中心极限定理产生随机数中心极限定理：
34、中心极限定理：设设服从均值为服从均值为，方差为方差为2 2 的某一分布，令的某一分布，令（4.5.1)则当则当n充分大时，充分大时，渐近地服从标准正态分布渐近地服从标准正态分布N（0，1）注意，这个定理没有指出随机变量注意，这个定理没有指出随机变量x是服从什么分布的。这是服从什么分布的。这正是该定理的神奇之处。我们现在已经能产生正是该定理的神奇之处。我们现在已经能产生0，1均匀分均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。分布的随机数。1/30/202342信息统计分析现在我们产生现在我们产生n个个0，1均匀分布随
35、机数，均匀分布随机数，由公式（由公式（4.5.1）我们有：）我们有：为编程方便，我们特别选为编程方便，我们特别选 n=12，则则这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。1/30/202343信息统计分析例例4.5.1利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验%example4.5.1clc,clearfori=1:1000R=rand(1,12);X(i)=sum(R)-6;endX=X;m=mean(X)v=var(X)subplot(1,2,1),cdfplot(X)subplot(1
36、,2,2),histfit(X)h=kstest(X,Xnormcdf(X,0,1)结果为：结果为：H=0,接受原假设，变换后的确为标准正态分布。接受原假设，变换后的确为标准正态分布。1/30/202344信息统计分析1/30/202345信息统计分析4.1 引言引言4.2 伪随机数产生原理伪随机数产生原理4.3 0，1均匀分布随机数的算法均匀分布随机数的算法4.4 其他分布随机数的产生其他分布随机数的产生4.5 正态分布随机数的产生正态分布随机数的产生4.6 MATLAB统计工具箱中的随机数发生器统计工具箱中的随机数发生器4.7 随机数的检验随机数的检验4.8 案例分析案例分析第四章第四章
37、随机数的产生原理随机数的产生原理1/30/202346信息统计分析随机数发生器随机数发生器在在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序，我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。发生器程序，我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。1/30/202347信息统计分析betarnd贝塔分布随机数发生器chi2rnd卡方分布随机数发生器evrnd极值随机数发生器exprnd指数分布随机数发生器frndF分布随机数发生器gamrnd伽马分布随机数发生器geornd几何分布随机数发生器hygernd超几何分布随机数发生器lognrn
38、d对数正态分布随机数发生器mvnrnd多元正态分布随机数发生器mvtrnd多元t分布随机数发生器nbinrnd负二项分布随机数发生器ncfrnd非中心F分布随机数发生器1/30/202348信息统计分析nctrnd非中心t分布随机数发生器ncx2rnd非中心卡方分布随机数发生器normrnd正态分布随机数发生器poissrnd泊松分布随机数发生器trndt分布随机数发生器unidrnd离散均匀分布随机数发生器unifrnd连续均匀分布随机数发生器wblrnd威布尔分布随机数发生器1/30/202349信息统计分析例例4.6.1设正态二维分布的密度函数为：设正态二维分布的密度函数为：作二维分布的
39、散点图和直方图作二维分布的散点图和直方图%例例4.6.1二维独立正态分布的散点图和直方图二维独立正态分布的散点图和直方图mu=00;sigma=10;01;r=mvnrnd(mu,sigma,1000);subplot(1,2,1),plot(r(:,1),r(:,2),+)subplot(1,2,2),hist3(r,1010)1/30/202350信息统计分析1/30/202351信息统计分析4.1 引言引言4.2 伪随机数产生原理伪随机数产生原理4.3 0，1均匀分布随机数的算法均匀分布随机数的算法4.4 其他分布随机数的产生其他分布随机数的产生4.5 正态分布随机数的产生正态分布随机数
40、的产生4.6 MATLAB统计工具箱中的随机数发生器统计工具箱中的随机数发生器4.7 随机数的检验随机数的检验4.8 案例分析案例分析第四章第四章 随机数的产生原理随机数的产生原理1/30/202352信息统计分析v我们已经基本清楚伪随机数的产生原理，由于并不是真正的随机数，很自然的问题是，它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性，均匀性等等。v设：随机数具有连续的分布函数F（X），则随机变量R=（X）是均匀分布（0，1）的随机变量，因此如果R通过统计检验随机变量 X也可以通过。因此我们以下着重讨论均匀分布R的检验问题，再简单地讨论正态随机数检验问题。1/30/202353信息统
41、计分析1、统计检验中两类常用统计量的构造检验方法统计检验中两类常用统计量的构造检验方法（1）设随机变量）设随机变量X具有数学期望具有数学期望E（X）=，和有限方差和有限方差D（X）=，我们抽我们抽N次样本。次样本。X1，X2，XN，当，当N充充分大时，统计量分大时，统计量(4.6.1)以以N（0，1）为极限分布，取显著水平为极限分布，取显著水平=0.05,则拒绝为则拒绝为（，1.96），（），（1.96，）。）。当当1.96，则认为差异显著，拒绝假设，则认为差异显著，拒绝假设E（X）=1/30/202354信息统计分析（2）将样本）将样本X1，X2，NN，按一定规则分为不相交的按一定规则分为不
42、相交的K组，记组，记i组的观测频数为组的观测频数为ni（i=1,，k），），若随机变量若随机变量X落于弟落于弟i组的概率为组的概率为Pi，则得理论频数则得理论频数mi=NPi，由，由ni，mi构造统计量。构造统计量。=(4.6.2)渐近服从自由度为渐近服从自由度为的分布，简记的分布，简记这里，这里，l 是确定概率是确定概率P时，由子样时，由子样X中给出的约束条件数。为有效地进行中给出的约束条件数。为有效地进行统计检验，一般要求（统计检验，一般要求（4.6.2）的样本数）的样本数N30；在（在（4.6.2）中）中k5，mi5。1/30/202355信息统计分析当统计量的自由度当统计量的自由度时，
43、时，U=渐近服从渐近服从N（0，1）分布。分布。服从柯尔莫格洛夫服从柯尔莫格洛夫斯米尔诺夫的统计量斯米尔诺夫的统计量取显著性水平取显著性水平=0.05,=0.05,可拒绝原假设。可拒绝原假设。我们可以用这种方法进行独立性，及拟合优度检验。我们可以用这种方法进行独立性，及拟合优度检验。1/30/202356信息统计分析2、随机数的统计性质检验随机数的统计性质检验设均匀分布的随机样本为：设均匀分布的随机样本为：（4.6.34.6.3）是一组需要检验的是一组需要检验的0，1均匀分布随机数，利用均匀分布随机数，利用(4.6.1)，(4.6.2)我们构造统计量来对常用的参数进行统计检验。我们构造统计量来
44、对常用的参数进行统计检验。1/30/202357信息统计分析1）参数检验）参数检验参数检验是检验参数估计值与理论值的差异是否显著的方法，参数检验是检验参数估计值与理论值的差异是否显著的方法，设我们有设我们有0，1均匀分布样本均匀分布样本R1，R2，RN（4.6.44.6.4）我们可以构造以下统计量（参数估计量）我们可以构造以下统计量（参数估计量）1/30/202358信息统计分析即随机变量即随机变量R的一阶距，二阶距和方差这些参数的估计量。根的一阶距，二阶距和方差这些参数的估计量。根据随机变量据随机变量R的理论分布，不难计算的理论分布，不难计算1/30/202359信息统计分析现在我们可以应用
45、中心极限定理及（现在我们可以应用中心极限定理及（4.5.1）来构造统计量了）来构造统计量了渐近服从渐近服从N（0，1）分布，从而可以推断样本估计值与理论参分布，从而可以推断样本估计值与理论参数的差异。我们还可以利用同样的方法去构造三阶矩、四阶矩，数的差异。我们还可以利用同样的方法去构造三阶矩、四阶矩，对随机变量的偏度和峰度进行参数检验。对随机变量的偏度和峰度进行参数检验。1/30/202360信息统计分析例例4.7.1对随机数发生器对随机数发生器unifrnd产生的产生的1000个随机数进行均值、个随机数进行均值、方差、偏度和峰度等的参数的检验。方差、偏度和峰度等的参数的检验。偏度计算方法为：
46、偏度计算方法为：u3=mean(R-R_mean)/R_std).3)*0.408248*sqrt(n);峰度计算方法为：峰度计算方法为：uu=mean(R-0.5)/sqrt(1/12).4)-1.75u4=uu*0.204124*sqrt(n);functions1,s2,s3,s4=moment_test(R)%对（对（0，1)均匀分布随机数进行矩检验均匀分布随机数进行矩检验n=length(R);R_mean=mean(R);R_var=var(R);R_std=std(R);u1=sqrt(12*n)*(R_mean-0.5);ifabs(u1)1.96s1=pass;elses1=
47、*;end1/30/202361信息统计分析%对方差进行检验对方差进行检验var(R)u2=sqrt(180*n)*(R_var-1/12)ifabs(u2)1.96s2=pass;elses2=*;end%对偏度进行检验对偏度进行检验u3=mean(R-R_mean)/R_std).3)*0.408248*sqrt(n);ifabs(u3)1.96s3=pass;elses3=*;end1/30/202362信息统计分析%对偏度进行检验对偏度进行检验uu=mean(R-0.5)/sqrt(1/12).4)-1.75u4=uu*0.204124*sqrt(n);ifabs(u4)1.96s4=
48、pass;elses4=*;end调用该函数的主程序为：调用该函数的主程序为：R=rand(1,1000);s1,s2,s3,s4=moment_test(R);S1%显示对均值的推断，显示对均值的推断，pass为接受，为接受，*拒绝拒绝S2%显示对方差的推断，显示对方差的推断，pass为接受，为接受，*拒绝拒绝S3%显示对偏度的推断，显示对偏度的推断，pass为接受，为接受，*拒绝拒绝S4%显示对偏度的推断，显示对偏度的推断，pass为接受，为接受，*拒绝拒绝1/30/202363信息统计分析计算结果为：计算结果为：s1=passs2=passs3=passs4=pass2)均匀性检验或称分
49、布的拟合优度检验均匀性检验或称分布的拟合优度检验均匀性检验，又称频率检验，检验它的经验分布频率和理论频率的均匀性检验，又称频率检验，检验它的经验分布频率和理论频率的差异是否显著。把差异是否显著。把0，1区间分为区间分为k个等区间，按个等区间，按ri取值的大小把取值的大小把（4.6.3）分为）分为k 组，设有组，设有ni个随机数属于个随机数属于i组，即共有个满足不等组，即共有个满足不等式（式（i1）/kri/k。根据均匀性假设，满足在每个小区间的概。根据均匀性假设，满足在每个小区间的概率为率为Pi=1/k，mi=N/k由（由（4.6.2）得统计量）得统计量1/30/202364信息统计分析渐近服
50、从渐近服从分布，而统计量分布，而统计量(4.6.8)理论频数理论频数nimi1/30/202365信息统计分析为累积频率检验，渐近服从柯莫洛戈洛夫为累积频率检验，渐近服从柯莫洛戈洛夫斯米尔诺夫分布斯米尔诺夫分布取显著水平取显著水平 =0.05，当，当DN1.35时拒绝均匀性假设。时拒绝均匀性假设。（4.6.9)1/30/202366信息统计分析例例4.7.2对分布的拟合优度进行检验。对分布的拟合优度进行检验。（1）渐近服从柯莫洛戈洛夫渐近服从柯莫洛戈洛夫斯米尔诺夫检验斯米尔诺夫检验R=unifrnd(0,1,1000,1);h=kstest(R,Runifcdf(R,0,1)结果为：结果为：h