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1、测量误差及数据处理方法南京理工大学南京理工大学物理实验中心物理实验中心1.1测量与误差概念测量是物理实验的基础。测量就是用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。1 测量测量依照测量方法的不同可将测量分为两大类：（1）直接测量（2）间接测量问题：我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？哪些是间接测量？1.1测量与误差概念2误差1、误差的定义：测量误差=测量值-真值即N=N测N真这个误差的定义反映了测量值偏离真实值的大小和方向。1.1测量与误差概念2、误差来源1.1测量与误差概念（1）仪器误差（2）环境误差（4）人员误差（3）测量方法误差3误差分类及其消除方法（1）系统误
2、差a.定义：系统误差是指在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。系统误差的特点是其确定性。b.产生原因：测量仪器、测量方法、环境因素1.1测量与误差概念c.减小系统误差的方法：.对测量结果引入修正值；.选择适当的测量方法，使系统误差能够抵消而不会带入测量值中。已定系统误差：必须修正例如电表、螺旋测微计的零位误差；未定系统误差：要估计出分布范围如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等。1.1测量与误差概念注意：多次测量求平均并不能消除系统误差。因为注意：多次测量求平均并不能消除系统误差。因为在测量条件不变时，其有确定的大小和符号。在测量条件不变时，其有确定的大小和符号。
3、1.1测量与误差概念（2）随机误差a.随机误差是指在同一量的多次测量过程中，其大小与符号以不可预知方式变化的测量误差的分量。随机误差的特征是随机性。b.产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化。例如：实验时温度的随机波动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、读数时的视差影响。c.消除方法：使用统计方法随机误差的特点：大量的随机误差服从正态分布。单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大。对称性：多次测量时分布对称，即绝对值相等的正负误差出现的概率相同。因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差。有界性：在一定的测量条件下，误差的绝对值不超过
4、一定的界限。小小大大P01.1测量与误差概念1.1测量与误差概念（3）粗大误差a.定义：明显超出规定条件下预期的误差。b.产生原因：错误读数、仪器有缺陷、环境干扰等。c.应避免出现粗大误差。如出现粗大误差，应分析粗大误差产生的原因。处理数据时，剔除异常数据。l精密度、正确度与准确度（又称精确度）这三个名词分别用来反映随机误差、系统误差和综合误差的大小。1.1测量与误差概念4测量结果表示（1）绝对误差：测量结果：（2）相对误差：1.1测量与误差概念1.2测量结果误差估算及评定方法1.2测量结果误差估算及评定方法对测量结果评定的三种方法：（1）算术平均偏差（2）标准偏差（均方根偏差）（3）不确定度
5、根据统计理论，我们将多次测量的算术平均值作为真值的最佳近似。在对测量结果进行评定时，我们约定系统误差和粗大误差已经消除、修正或可以忽略，只考虑随机误差，其服从正态分布。1.2测量结果误差估算及评定方法1算术平均偏差对某一物理量N进行K次测量，得N1，N2，Ni，Nk，则算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值为算术平均偏差算术平均偏差算术平均偏差算术平均偏差为1.2测量结果误差估算及评定方法2标准偏差（均方根差）l标准偏差是一个描述测量结果离散程度的参量。用它来评定随机误差有以下优点：1）稳定性，值随K变化较小。2）它以平方计值，与个别误差的符号无关，能反映数据的离散程度。3）与最小二乘法吻合
6、。1.2测量结果误差估算及评定方法范范 围围 置信概率置信概率（真值落在确定范围内的概率）68.3%95.4%99.7%通常将称为随机误差的极限误差。1.2测量结果误差估算及评定方法（1）测量列的实验标准差（2）平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差反映了算术平均值在真值附近涨落的大小。1.2测量结果误差估算及评定方法3不确定度3.1定义：它是对测量结果可信赖程度的评定。它表示了被测量的真值以一定概率落在某个量值范围内（，）。1.2测量结果误差估算及评定方法不确定度小，表示误差的可能值小，测量的可信赖程度就高；不确定度大，表示误差的可能值大，测量的可信赖程度降低。3.2不确定度的分类和估算不确定
7、度分为两类。不确定度分为两类。A类分量：用统计方法求出，即类分量：用统计方法求出，即(N)或(N)。B类分量：用其他方法得出。物理实验中通常使类分量：用其他方法得出。物理实验中通常使用仪器的用仪器的极限误差极限误差除以相应的置信系数除以相应的置信系数K。注意：在我们的实验中一般取注意：在我们的实验中一般取K1，即即1.2测量结果误差估算及评定方法不确定度的合成（方和根合成法）不确定度的合成（方和根合成法）1.2测量结果误差估算及评定方法请记住这一公式请记住这一公式3.3用不确定度表示测量结果相对不确定度测量结果约定：在我们的实验中约定：在我们的实验中u取一位有效数字。取一位有效数字。注意：注意
8、：的末位和的末位和u对齐。对齐。例：例：1.2测量结果误差估算及评定方法1.3直接测量结果误差估算及评定如果对某一物理量只测量一次，则常以测量仪器误差来评定测量结果的误差。例1：用直尺测桌子长度，L1200.00.5mm例2：用50分度游标卡尺测工件长度，L10.000.02mm例3：用10A电流表，单次测量某一电流3.10A，则jI10A0.50.05A1单次测量误差估算及评定1.3直接测量结果误差估算及评定方法有以上例题可见，仪器误差一般用如下方法确定：1）仪器已经标明了误差，如千分尺。2）未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度的一半作为单次测量的允许误差，如例1。3）电学仪器1.3直接测量结
9、果误差估算及评定方法2多次测量结果的误差估算及评定处理步骤：1、求平均值。2、求和u。3、表示结果：1.3直接测量结果误差估算及评定方法1.4间接测量结果误差的估算及评定1一般的误差传递公式若N=f(x,y,z)，则若对若对N=f(x,y,z)取对数，则可得到1.4间接测量结果误差估算及评定2标准偏差的传递公式1.4间接测量结果误差估算及评定3不确定度的传递公式1.4间接测量结果误差估算及评定以上两公式应牢记，并注意应用技巧以上两公式应牢记，并注意应用技巧4间接测量结果和不确定度评定的基本步骤（1）计算各直接测量物理量的值和它们的不确定度；即Nf(x,y,z)中的x,y,z和ux,uy,uz。
10、（2）根据不确定度的传递公式计算间接测量量的不确定度。uN或uN/N，保留1位。（3）求出间接测量量Nf(x,y,z)，N的末位与不确定度所在位对齐；（4）写出结果1.4间接测量结果误差估算及评定1.5有效数字及其运算1有效数字的含义有效数字是由准确数字（若干位）和可疑数字（一位）构成，这样就能够正确而有效地表示测量结果。1.5有效数字及其运算注意：l表示小数位数的“0”不是有效数字；数字中间和尾部的“0”是有效数字；l数字尾部的“0”不能随意舍弃或添加；l有效数字位数与十进制单位的变换无关；l推荐用科学记数法：K10n，1K10。1.5有效数字及其运算2有效数字运算规则、加减运算尾数对齐：在
11、小数点后所应保留的位数与诸量中小数点后位数最少的一个相同。1.5有效数字及其运算例：例：33.2+3.22=36.4 12.567-1.23=11.341.2345+5.11-2.141=4.20、乘除运算位数取齐：诸量相乘除，结果的有效数字位数，一般与各个量中有效数字位数最少的一个相同。1.5有效数字及其运算例：例：1.112.0=2.2 3.248 1.61=2.02 3、某些常见函数运算的有效位数（1）对数函数y=lnx,y=logx计算结果尾数的位数取得与真数的位数相同；（2）指数函数y=ax 结果的有效数字，可与指数的小数点后的位数相同；（3）三角函数按角度的有效位数来定；（4）常数
12、的有效位数可以认为是无限的，运算中应多取1位；1.5有效数字及其运算4、混合运算规则当进行加减乘除混合运算时，应按加减规则、乘除规则和函数运算规则逐步计算，最后得到计算结果。1.5有效数字及其运算3 不确定度和测量结果的数字化整规则（1）不确定度的有效位数12位本书约定不确定度只保留1位。相对不确定度12位。尾数采用四舍六入五凑偶（2）最佳值或测量值末位与不确定度对齐。1.5有效数字及其运算1.6常用数据处理方法1.列表法2.作图法3.数学方法（逐差法、最小二乘法等）1.6数据处理方法数据处理是一个对数据进行加工的过程。常用的数据处理方法有以下三类：列表法列表法1.6数据处理方法例：用读书显微
13、镜测量圆环直径测量圆环直径D仪器：读数显微镜ins=0.004mm测量次序i左读数/mm右读数/mm直径Di/mm112.76418.7625.998210.84316.8385.995311.98717.9785.996411.58817.5845.996512.34618.3385.992611.01517.0105.994712.34118.3355.994直径平均值D/mm5.995标题：说明表标题：说明表格内容格内容附加说明：实附加说明：实验仪器、条件验仪器、条件等等各个栏目标明各个栏目标明名称和单位名称和单位原始数据原始数据注意数据纪录注意数据纪录的顺序的顺序计算的中间结计算的中间
14、结果数据果数据例题：伏安法测电阻实验数据表1.6数据处理方法作图法作图法优点：能形象直观地显示物理量之间的函数关系优点：能形象直观地显示物理量之间的函数关系1.6数据处理方法8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00I(mA)U(V)1.选择合适的坐选择合适的坐标纸标纸3.标实验点标实验点4.连成图线连成图线5.标出图名及注解标出图名及注解电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线作图法步骤：作图法步骤：一般选用直角坐标纸。选择图纸时以不损失实验数据的有效位数并能包括
15、所有实验点为限度。2.确定坐标轴，确定坐标轴，选择合适的坐标选择合适的坐标分度值分度值注意：坐标分度时，忌用3、7等进行分度；坐标分度可不从零开始；尽可能使图线充满图纸。注意：连线时应该使用相应的工具；通常连线是平滑的；要注意剔除错误的数据点；直线尽量通过（x,y）这一点。图解法利用已做好的图线，我们可以定量地求利用已做好的图线，我们可以定量地求得待测量或得到经验公式。得待测量或得到经验公式。1.6数据处理方法从图中取两点可以计算出直线的斜率和截距，从而也就可以得到经验公式。如本例，由图上如本例，由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：I(mA)U(V)8.004.0020.00
16、16.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)1.6数据处理方法由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：不当图例展示：不当图例展示：1.6数据处理方法n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图曲线太粗，不曲线太粗，不均匀，不光滑均匀，不光滑。应该用直尺、曲应该用直尺、曲线板
17、等工具把实线板等工具把实验点连成光滑、验点连成光滑、均匀的细实线。均匀的细实线。1.6数据处理方法n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图改正为改正为：1.6数据处理方法I(mA)U(V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取横轴坐标分度选取不当。不当。横轴以横轴以3 cm 代代表表1 V，使作图和读图都使作图和读图都很困难。实际在选择坐标
18、很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和数字的要求又便于作图和读图，读图，一般以一般以1 mm 代代表的量值是表的量值是10的整数的整数次幂或是其次幂或是其2倍或倍或5倍。倍。1.6数据处理方法I(mA)U(V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线改正为：改正为：1.6数据处理方法定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.0
19、0100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当图纸使用不当。实际作图时，实际作图时，坐标原点的读坐标原点的读数可以不从零数可以不从零开始开始。1.6数据处理方法定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正为：改正为：1.6数据处理方法逐差法逐差法 逐差法是逐差法是对等间距测量的有序数据对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔相减得到，进行逐项或相等间隔相减得到结果。它计算简便，并可结果。它计算简便，并可充分
20、利用数据充分利用数据，及时发现差错，总结规律，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。是物理实验中常用的一种数据处理方法。使用条件：使用条件：（1）自变量）自变量x是等间距变化是等间距变化（2）被测物理量之间函数形式可以写成）被测物理量之间函数形式可以写成x的多项式：的多项式：分类：逐差法分类：逐差法逐项逐差（用于验证被测量之间是否存在多项式逐项逐差（用于验证被测量之间是否存在多项式函数关系）函数关系）分组逐差（用于求多项式的系数）分组逐差（用于求多项式的系数）应用举例（拉伸法测弹簧的倔强系数）应用举例（拉伸法测弹簧的倔强系数）设实验中，等间隔的在弹簧下加砝码（如每次加一克
21、），共加设实验中，等间隔的在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9次，分别记下对应的弹簧下端点的位置次，分别记下对应的弹簧下端点的位置L0 L1 L2 L9，则可则可用逐差法进行以下处理用逐差法进行以下处理（1）验证函数形式是线性关系）验证函数形式是线性关系 看看L1 L2 L9是否基本相等是否基本相等.当当Li基本相等时基本相等时,就验就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即F=k L用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须用逐项逐差用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须用逐项逐差（1.61）把所得的数据逐项相减把所得的数据
22、逐项相减(2)求物理量数值求物理量数值现计算每加一克砝码现计算每加一克砝码 时弹簧的平均伸长量时弹簧的平均伸长量从上式可看出用逐项逐差，中间的测量值全部抵消了，只有始末从上式可看出用逐项逐差，中间的测量值全部抵消了，只有始末二次测量起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。二次测量起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。若用逐项逐差（若用逐项逐差（1.61）得到：）得到：再求平均再求平均 为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作些组合，仍能为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作些组合，仍能达到多次测量减小误差的目的。所以我们采用分组逐差。达到多次测量减小误差的目的。所以我们采用分组
23、逐差。通常可将等间隔所测的值分成前后两组，前一组为通常可将等间隔所测的值分成前后两组，前一组为L0 L1 L2 L3 L4 后一组为后一组为L5 L6 L7 L8 L9 前前后后两两组组对对应应项项相相减减再再取取平平均均值值由此可见，分组逐差和逐项逐差不同，这时每个数据都用上了，有利于由此可见，分组逐差和逐项逐差不同，这时每个数据都用上了，有利于减小误差。但注意：这里的减小误差。但注意：这里的 是增加五克时弹簧的平均伸长量。是增加五克时弹簧的平均伸长量。1.6数据处理方法数据的直线拟合数据的直线拟合(最小二乘法最小二乘法)用作图法进行拟合带有相当大的主观随意性，用作图法进行拟合带有相当大的主
24、观随意性，用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。最小二乘法的原理：最小二乘法的原理：如果能找到一条最佳的拟合直线，那么这如果能找到一条最佳的拟合直线，那么这条拟合直线上各个相应点的值与测量值之差条拟合直线上各个相应点的值与测量值之差的平方和在所有拟合直线中是最小的。的平方和在所有拟合直线中是最小的。最佳经验公式最佳经验公式最佳经验公式最佳经验公式 y=ay=a0 0+a+a1 1 x x 中中中中a a0 0 、a a1 1的的的的求解求解求解求解:通过实验，通过实验，等精度等精度地测得一组互相独立的实验数据（地测得一组互相独立的实验数据（xi，yi，i=1，
25、2k），设此两物理量），设此两物理量 x、y 满足线性关系，且假定实验误差主满足线性关系，且假定实验误差主要出现在要出现在yi上，设拟合直线公式为上，设拟合直线公式为 y=f(x)=a0+a1 x。则测量值和最则测量值和最佳值（回归直线上对应坐标）的偏差佳值（回归直线上对应坐标）的偏差1.6数据处理方法按最小二乘法原理，应使下式最小按最小二乘法原理，应使下式最小S取极小值必要的条件是取极小值必要的条件是即即:整理后得整理后得:解得：解得：式中式中:1.6数据处理方法相关系数相关系数相关系数相关系数r ：最最小小二二乘乘法法处处理理数数据据除除给给出出 a、b 外外，还还应应给给出出相相关关系系
26、数数 r，r 定义为定义为 r 表表示示两两变变量量之之间间的的函函数数关关系系与与线线性性的的符符合合程程度度，r-1，1。|r|1，x、y 间间线线性性关关系系好好，|r|0，x、y 间间无无线线性性关关系系，拟拟合合无意义。无意义。物理实验中一般要求物理实验中一般要求 r 绝对值达到绝对值达到0.9990.999以上以上以上以上(3个个9以上以上)。其中其中知识点总结（1）测量与误差关系）测量与误差关系直接测量、间接测量、误差定义、随机误差、系统误差、粗大误差、误差表示方法、误差消除方法、测量结果表示方法（2）测量结果误差估算及评定方法）测量结果误差估算及评定方法最佳值、标准偏差、不确定
27、度（3）直接测量结果误差及评定方法）直接测量结果误差及评定方法单次测量、多次测量、不确定度表示测量结果（4）间接测量结果误差及评定）间接测量结果误差及评定误差传递、间接测量式、不确定度表示测量结果（5）有效数字及其运算）有效数字及其运算有效数字、加减法、乘除法、有效数位约定（6）常用数据处理方法）常用数据处理方法列表法、作图法、逐差法、最小二乘法、直线拟合1.直接测量量（原始数据）的读数应直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度反映仪器的准确度游标类器具游标类器具（游标卡尺、游标卡尺、分光计度盘、分光计度盘、大气压计等大气压计等）一般读至游标一般读至游标最小分度的整最小分度的整数倍，即不
28、需数倍，即不需估读。估读。1.直接测量量（原始数据）的读数应直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度反映仪器的准确度数显仪表及有数显仪表及有十进步式标度十进步式标度盘的仪表盘的仪表（电电阻箱、电桥、电阻箱、电桥、电位差计、数字电位差计、数字电压表等压表等）一般应）一般应直接读取仪表的直接读取仪表的示值。示值。直接读数注意事项直接读数注意事项注意指针指注意指针指在整刻度线在整刻度线上时读数的上时读数的有效位数。有效位数。系统误差与随机误差的关系1）二者同时存在，有时是难以区分的。2）随着人类认知水平和科技的发展，二者会发生转化。1.1测量与误差概念进行误差处理时，分三种情况：（1）系统误差影响远大于随机误差。（2）系统误差已改正或小得可以忽略。（3）二者对结果影响相近。