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1、第一章 计数原理 1.2.1 排 列探究探究 在在1.1节的例节的例9中我们看到中我们看到,用分步用分步乘法计数原理解决这个问题时乘法计数原理解决这个问题时,因做因做了一些重复性工作而显得繁琐了一些重复性工作而显得繁琐,能否能否对这一类计数问题给出一种简捷的对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢方法呢?(1分钟讨论分钟讨论)探究：探究：问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？问题问题2：从从1，2，3
2、，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？上面两个问题有什么共同特征？可以用上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画怎样的数学模型来刻画探究：探究：问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？分析：分析：把题目转化为把题目转化为从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，名，按照参加上午的
3、活动在前，参加下午的活动在后的按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3 3名中任名中任 选选1 1名，有名，有3 3种选法种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2 2种方法种方法根据分步计数原理：根据分步计数原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6种方法。种方法。把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是
4、问题就可以叙述为：题就可以叙述为：从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题问题2 2从从1 1，2 2，3 3，4 4这这4 4个数字中，每次取出个数字中，每次取出3 3个排成一个三位数，共可得到多少个不同个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？的三位数？第步，确定百位上的数字，有第步，确定百位上的数字，有4 4种方法种方法第步，确定十位上的数字，有第步，确定十位上的数字，有3 3种方法种方法第步，确定个位上的数字，有
5、第步，确定个位上的数字，有2 2种方法种方法根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有 43243224 24 种不同种不同的排法。如下图所示的排法。如下图所示有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：从个不同的元素从个不同的元素a a，b b，c c，d d中任取个，中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少然后按照一定的顺序排成一列，共有
6、多少种不同的排列方法？种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.思考？上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？思考？上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？(1)有顺序的有顺序的(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等，不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等，推广到一般推广到一般排列：一般的，从个不同的元素中取出排列：一般的，从个不同的元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，）个元素，按照一定的顺序排成
7、一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。排列问题实际包含两个过程：排列问题实际包含两个过程：（1）先从）先从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个不同的元素。个不同的元素。（2）再把这）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。个不同元素按照一定的顺序排成一列。注意：注意：1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能重复。个中也不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当
8、这两个排列中的元素完全相同，两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。而且元素的排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫时的排列叫选排列，选排列，m mn n时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图树形图”。例例1 1、下列问题中哪些是排列问题？、下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,
9、7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5 5）2020位同学互通一次电话位同学互通一次电话（6 6）2020位同学互通一封信位同学互通一封信（7 7）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦（8 8）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另一个点的个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线射线（9 9）有）有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？（1010）安排）安排5 5个学生为班里的个学生为班里的5 5个班干部，每人一个职位个班干部
10、，每人一个职位？哪些是全排列？2、排列数：、排列数：从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和联系？系？排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取个元素的所以符号只表示“一个排列”是指：从个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素 问题中是求从个不同元素中取出个问题中是求从个不同元素中取出
11、个元素的排列数，记为元素的排列数，记为 ,问题问题2 2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元个元素的排列数，记为，已经算出素的排列数，记为，已经算出探究：从个不同元素中取出个元探究：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少？，素的排列数是多少？，又各是多少？又各是多少？第第1 1位位第第2 2位位nn-1第第1 1位位第第2 2位位第第3 3位位n-2nn-1 第第1 1位位第第2 2位位第第3 3位位第第m m位位nn-1n-2n-(m-1)（1）第一个因数是第一个因数是n，后面每一个因数比它后面每一个因数比它前面一个因数少前面一个因数少1（2）最后一个因数是最后一个因数是
12、nm1（3）共有共有m个因数个因数观察观察排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：就是说，个不同元素全部取出的排列数，就是说，个不同元素全部取出的排列数，等于正整数到的连乘积，等于正整数到的连乘积，正整数到的连乘积，叫做正整数到的连乘积，叫做的阶乘的阶乘，用用!表示，表示，所以个不同元素的全排列数公式可以写成所以个不同元素的全排列数公式可以写成个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中的，即有素的一个全排列，这时公式中的，即有另外，我们规定另外，我们规定0!1排列数公式（排列数公式（2 2）：）：说明：说明：1 1、排列数、排列数公式
13、公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。例例2 2、计算：、计算：（1 1）（2 2）（3 3）例例2 2、解方程：、解方程：例例3 3、求证：、求证：例例5 5、求、求 的值的值.例例4 4若，则 ，1计算：（1）（2）课堂练习课堂练习2从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有种不同的种植方法？4信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（）3从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比
14、赛，并排定他们的出场顺序，有种不同的方法？排列问题，是取出排列问题，是取出m m个元素后，还要按一个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的定的顺序排成一列，取出同样的m m个元素，只个元素，只要要排列顺序不同排列顺序不同，就视为完成这件事的两种，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）不同的方法（两个不同的排列）小结小结 由排列的定义可知，由排列的定义可知，排列与元素的顺序有排列与元素的顺序有关关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列写出所有的排列 例
15、例3 3、某年全国足球甲级、某年全国足球甲级A A组联赛共有组联赛共有1414个队参加，个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？进行多少场比赛？解：解：14个队中任意两队进行个队中任意两队进行1次主场比赛与次主场比赛与1次次客场比赛，对应于从客场比赛，对应于从14个元素中任取个元素中任取2个元素的个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是一个排列，因此，比赛的总场次是例 4(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？=54
16、3=60=543=60被选元素可重复选取，不是排列问题！被选元素可重复选取，不是排列问题！555=125555=125“从从5个不同元素中选出个不同元素中选出3并按顺序排列并按顺序排列”【例例5】用用0到到9这这10个数字可以组成多少个没有重个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？特殊位置“百位”，特殊元素“0”百位十位个位法1：法2：百位百位 十位十位 个位个位0百位百位 十位十位 个位个位0百位百位 十位十位 个位个位法3：对于有限制条件有限制条件的排列问题，必须遵循“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”，并注意“合理分类，准确分步合理分类，准确分步”，做到“不重不重不漏，步骤完整不漏，步骤完整”，适当考虑“正难则反”。百位十位个位千位万位变式：由数字变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位组成没有重复数字的五位数，其中小于数，其中小于50000的偶数共有多少个？的偶数共有多少个？有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题百位十位个位千位万位变式：由数字变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位组成没有重复数字的五位数，其中小于数，其中小于50000的偶数共有多少个？的偶数共有多少个？有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题