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1、哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学 张学如张学如Email: 密码：123456上课班级：上课班级：09121010912101，102102，201,202201,202上课时间：周三、五上课时间：周三、五 1-21-2节，正心节，正心14 1-1914 1-19周，周，2020周周五考试周周五考试教材购买：正心教材购买：正心5325321第第14章章振振动动 14.1 简谐振动简谐振动 14.2 阻尼振动阻尼振动 14.3 受迫振动受迫振动 14.4 简谐运动的合成简谐运动的合成2振动的狭义定义（机械振动）：振动的狭义定义（机械振动）：物体在某一确定位置做往物体在某一确定位置做往复运动。例复运动
2、。例:钟摆钟摆,发声体。发声体。振动的广义定义：振动的广义定义：任何物理量（位移、速度、电流、电场强任何物理量（位移、速度、电流、电场强度等），围绕某一定值做周期性变化，都称为振动。度等），围绕某一定值做周期性变化，都称为振动。一切物体都在不停的运动一切物体都在不停的运动运动分类：运动分类：周期性运动周期性运动 无序运动（气体分子的热运动）无序运动（气体分子的热运动）有序运动：平动有序运动：平动+转动转动+振动是一种重要的周期性运动形式。振动是一种重要的周期性运动形式。周期性运动：周期性运动：物体或系统或物理量经过一个周期后又回到物体或系统或物理量经过一个周期后又回到 原来状态的运动。原来状态
3、的运动。不同的振动有相同的描述方法。不同的振动有相同的描述方法。研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。314.114.1简简谐谐振振动动一、简谐振动一、简谐振动 表达式表达式 特点特点 (1)(1)等幅振动等幅振动 (2)(2)周期振动周期振动 物体离开平衡位置的位移按物体离开平衡位置的位移按余弦余弦（或正弦）规（或正弦）规律随律随 t t 往复变化往复变化-简谐振动（运动）简谐振动（运动）xOA-AtxT 描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量周期：周期：频率、角频
4、率频率、角频率 振幅：振幅：最大位移的绝对值最大位移的绝对值 相位：相位：描述状态描述状态4相位相位(1)(1)(t t+0 0 )是是 t t 时刻的相位时刻的相位 (2)2)0 0 是是t t=0=0时刻的相位时刻的相位 初相初相相位是描述振动系统相位是描述振动系统状态状态的物理量的物理量OA-AtxTxA A、0三三个个特特征征量量分分别别由由谁决定？谁决定？速度和加速度速度和加速度5二、二、简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法1.1.解析法解析法已知表达式已知表达式 A A、T T、0 0 已知已知A A、T T、0 0 表达式表达式已知已知求求A与与 代入初值条件代入初值条件62.2
5、.曲线法曲线法oxmx0=0 0=/2OA-AtxT 问题：问题：已知曲线已知曲线 A、T、0 或或 已知已知 A、T、0 曲线曲线由由x x-t t曲线可知初相及任意时刻的相位曲线可知初相及任意时刻的相位若若A=0.1m,T=2s 0=?t=0,x0=0 x0=Acos(0)=00=-A sin(0)0（曲线（曲线+定义）定义）73.3.旋转矢量法旋转矢量法 0 t+0oxxt=tt=0 x=A cos(t+0)以旋转矢量在以旋转矢量在x x轴上投影轴上投影 代表谐振动代表谐振动旋转矢量旋转矢量谐振动谐振动矢量端点处质点在半径为矢量端点处质点在半径为A A的圆周上做匀速圆周运动的圆周上做匀速
6、圆周运动圆运动速率圆运动速率投影投影向心加速度向心加速度投影投影 t+0-振振动动的的相相；矢量与矢量与x轴夹角轴夹角已知已知t t=0=0时时位移和速度位移和速度求初相位求初相位 0 0由速度方向确定状态由速度方向确定状态8三、三、相位差相位差 =B-A=(t+2)-(t+1)对两同频率的谐振动对两同频率的谐振动 =2-1初相差初相差 同相和反相同相和反相当当 =2k ,(k=0,1,2,),两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相xA=A1 cos(t+1)xB=A2 cos(t+2)相位可以唯一地确定振动状态（位移、速度）相位可以唯一地确定振动状态（位移、速度）相差相差当当 =(2k+
7、1),(k=0,1,2,),两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相 。Oxx A 1B 2A1A2OA2A1O9x2TxoA1-A1A2-A2x1t 超前和落后超前和落后领先、落后以领先、落后以 0,则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大,称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。10 x(cm)0.25-0.50 t(s)2求：振动方程（振动表达式）解：由图可知初始条件：对吗？初始条件v00例：(cm)0 xAA/2/3-/3Av011例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数的质点和劲度系数 为为k 的弹簧组成的弹簧谐振的弹簧组成的弹簧谐振 子。子。t=0时，质点过平
8、衡位时，质点过平衡位 置且向正方向运动置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振求：物体运动到负的二分之一振 幅处时所用的幅处时所用的最短时间最短时间例：作简谐振动质点的例：作简谐振动质点的x x t t 曲线如图，求质点的运动方程曲线如图，求质点的运动方程解：解：12四、简谐振动的动力学方程四、简谐振动的动力学方程1.1.水平弹簧振子水平弹簧振子:放置在光滑桌面上放置在光滑桌面上由牛顿定律由牛顿定律：令令（弹簧振子的圆频率、固有弹簧振子的圆频率、固有）（振动动力学方程）（振动动力学方程）m m 所受合外力所受合外力：其解其解-恢复力（正比恢复力（正比x x且反向）且反向）FmXk0 x13
9、2.2.单摆（不计阻力）单摆（不计阻力）m+L转转动动正正方方向向mgT法向力提供圆周运动向心力法向力提供圆周运动向心力切向力提供往复运动切向力提供往复运动很小很小-恢复力（正比恢复力（正比且反向）且反向）动力学方程动力学方程由牛顿定律：由牛顿定律：令令其解其解14五、简谐振动五、简谐振动的例子的例子1 1、概念、概念:物理摆物理摆2 2、运动方程、运动方程（逆时针为正方向）（逆时针为正方向）重力矩重力矩转动定律转动定律3 3、周期与频率、周期与频率4 4、应用、应用测重力加速度测重力加速度 测转动惯量测转动惯量15六、简谐振动六、简谐振动的能量的能量(1)动能动能(2)势能势能(3)机械能机
10、械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒-无阻尼无阻尼 由起始能量求振幅由起始能量求振幅161.1.动力学判据动力学判据2.2.运动学判据运动学判据3.3.能量判据能量判据七、简谐振动七、简谐振动的判据的判据受正比而反向的恢复力作用受正比而反向的恢复力作用振动系统机械能守恒振动系统机械能守恒积分积分1714.2-314.2-3阻尼阻尼振动振动受迫受迫振动振动一、阻尼振动一、阻尼振动物体在运动过程中总要受到阻力作用，不断克物体在运动过程中总要受到阻力作用，不断克服阻力做功则振动系统的能量及振幅逐渐减少服阻力做功则振动系统的能量及振幅逐渐减少阻尼力阻尼力弹性力弹性力振动的动力学方程振动的动
11、力学方程令令（阻尼因子阻尼因子）1.1.欠阻尼欠阻尼方程的解为方程的解为：特点特点:振幅呈指数衰减的准周期运动振幅呈指数衰减的准周期运动18tx过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼特点特点:完成一次振动前完成一次振动前,能量完全损失能量完全损失,以以非周期运动非周期运动方式回复方式回复特点特点:刚好以刚好以非周期运动非周期运动方式回复到平衡位置，需时最短方式回复到平衡位置，需时最短2.2.过阻尼过阻尼3.3.临界阻尼临界阻尼19在外来周期性策动力作用下的振动在外来周期性策动力作用下的振动1.系统受力系统受力 弹性力弹性力2.2.振动方程振动方程阻尼力阻尼力 周期性策动力周期性策动力令令二、
12、受迫振动二、受迫振动方程的解为方程的解为：暂态解暂态解稳态解稳态解受迫振动达稳定状态时的等幅振动受迫振动达稳定状态时的等幅振动20稳态时的受迫振动按稳态时的受迫振动按简谐振动简谐振动的规律变化的规律变化(1)频率频率:等于策动力的频率等于策动力的频率 d(2)振幅振幅:(3)初相初相:与初态无关与初态无关3.3.稳态解特点稳态解特点4.4.共振共振在一定条件下在一定条件下,振幅出现极大值振幅出现极大值,振动剧烈的现象振动剧烈的现象(1)共振频率共振频率:位移共振位移共振(2)共振振幅共振振幅:21速度共振速度共振一定条件下一定条件下,速度幅速度幅 A极大的现象极大的现象(1)共振频率共振频率:
13、(2)共振振幅共振振幅:共振的危害及其应用共振的危害及其应用应用应用防止防止钢琴等乐器利用共振提高音响效果钢琴等乐器利用共振提高音响效果收音机利用电磁共振选台；收音机利用电磁共振选台；核内的核磁共振被用来进行物质核内的核磁共振被用来进行物质 结构的研究和医疗诊断等。结构的研究和医疗诊断等。改变系统的固有频率或外力改变系统的固有频率或外力 的频率；的频率；破坏外力的周期性；破坏外力的周期性；增大系统的阻尼；增大系统的阻尼；对精密仪器使用减振台。对精密仪器使用减振台。2214.414.4简简谐谐运运动动的的合合成成一、同方向同频率的简谐振动的合成一、同方向同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动 x
14、1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)2.合振动合振动:x=x1+x2 x=A cos(t+)合振动是简谐振动合振动是简谐振动,其频率仍为其频率仍为 x02A2Ax1A1一个质点同时参与两个同向同频谐振动一个质点同时参与两个同向同频谐振动x=x1+x2振幅不仅与分振幅有关，振幅不仅与分振幅有关，还与二者相差相关还与二者相差相关 233.两种特殊情况两种特殊情况(1)(1)若两分振动同相若两分振动同相如如 A1=A2,则则 A=0则则A A=A A1 1+A A2 2=A Amaxmax,两分振动相互加强两分振动相互加强则则A=|A1-A2|=Amin,两分振动相互减弱两分振动相互减
15、弱通常通常|A1-A2|AA1+A2 推广：推广：n n个同向同频振动的迭加个同向同频振动的迭加旋转矢量合成方法更形象易解旋转矢量合成方法更形象易解(2)(2)若两分振动反相若两分振动反相24特别：特别：等振幅各分振动之初相依次相差为等振幅各分振动之初相依次相差为.xo 矢量相加形成正多边形一部分，其外接圆圆心为矢量相加形成正多边形一部分，其外接圆圆心为C，各矢量所张圆心角为各矢量所张圆心角为=，合成振幅对应圆心角为合成振幅对应圆心角为 n c25例：三个同方向，同频率的简谐振动的合振动例：三个同方向，同频率的简谐振动的合振动26 2.合振动合振动合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动当当 2
16、1时时 2-1 2+1随随缓变缓变随随快变快变合振动为振幅缓慢变化角频率为合振动为振幅缓慢变化角频率为(1+2)/2的的准准简谐振动简谐振动x=x1+x21.分振动分振动 x1=Acos 1 t x2=Acos 2t一个质点同时参与两个一个质点同时参与两个同向不同频谐振动同向不同频谐振动二、同方向不同频率的简谐振动的合成二、同方向不同频率的简谐振动的合成273.拍拍拍频拍频 :单位时间内振动强弱变化的次数单位时间内振动强弱变化的次数 xtx2tx1t合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象合振动为振幅缓慢变化角频率为合振动为振幅缓慢变化角频率为(1+2)/2的的准准简谐振动简谐振动是振幅变化频
17、率的是振幅变化频率的2 2倍倍281.分振动分振动x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)2.合运动合运动(1)合运动一般是在合运动一般是在 2A1(x向向)、2A2(y向向)范围内的一个椭圆范围内的一个椭圆(2)椭圆的性质椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 )在在 A1、A2确定之后确定之后,主要决定于主要决定于 =2-1 一个质点同时参与两个互相垂直方向同频谐振动一个质点同时参与两个互相垂直方向同频谐振动质点轨迹方程质点轨迹方程三、垂直方向同频率简谐振动的合成三、垂直方向同频率简谐振动的合成29=5/4=3/2=7/4=0=/2=3/4Q=/4P .任何一直线谐
18、振动，椭圆（圆）振动均可分解为两任何一直线谐振动，椭圆（圆）振动均可分解为两互相垂直同频率的谐振动互相垂直同频率的谐振动30 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 =(2-1)t+(2-1)可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2-1随随缓慢变化缓慢变化 合运动轨迹将按上页图合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形 x y=3 2 yxA1A2o-A2-A1 两振动的频率成两振动的频率成简单整数比简单整数比合成振动轨迹是稳定的闭合曲线合成振动轨迹是稳定的闭合曲线测未知频率测未知频率一空间振动总可认为是三个互相垂直振动的合成一空间振动总可认为是三个互相垂直振动的合成四、垂直方向不同频率简谐振动的合成四、垂直方向不同频率简谐振动的合成31