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1、第七节 常高斯曲率的曲面7.1 常高斯曲率的曲面 设曲面 S：r=r(u,v)的高斯曲率为常数，在曲面上任取点 P 和过 P 点的任意测地线(C),把(C)作为坐标曲线u=0,即v线中的一条，且从P 点起的弧长为v，取与（C）正交的测地线簇为u线，取这簇测地线的正交轨线（包含（C）为v线，则得到一半测地坐标网，因此曲面的第一基本形式可写为 由假设 v 为曲线的弧长，所以由第五节习题知，对于半测地坐标网，根据初始条件这个微方程的通解可按高斯曲率的符号分为三种情况：以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：（1）正常数高斯曲率（K0）的曲面，方程的通解为这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由
2、初始条件可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为例：球心在原点，半径为 R 的球面。（2）K=0，则微方程的通解为 ，由初始条件得 因此与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。（3）K0 时，曲面与球面等距，K=0 时与平面等距，K0 时与伪球面等距。4、命题：若通过伪球面的第一基本形式把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于园心在 x 轴上的园。要证明这个命题，先作保角变换：与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线：现在代入测地线方程有 K=1时，K=2时，所以测地线方程为由第一式由第二式积分之除以 得积分整理得这
3、是 xoy 平面上园心在 x 轴上的园的方程，命题得到证明。下面考虑 xoy 平面上在 x 轴上方的半平面，我们称之为罗氏平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在 x 轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平面上任两点P1 到P2 正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们。7、3 罗氏几何1、罗氏平面上的距离 设 是罗氏平面上的两点，通过保角变换，它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把这两对应点之间的测地线的弧长定义为 P1 到P2 的罗氏距离。由得积分沿着P1 和P2对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行
4、，注意到测地线的方程为作坐标变换 设罗氏直线P1 P2与 x 轴的交点为P0和P，由于这四点在一园周上，我们定义它们的非调和比 ，在园上取一点S，因此罗氏距离公式为定义 当 或 时，交比 ，所以可以认为 x 轴上的点 或 是罗氏直线上的“无穷远点”，也就是说，x 轴是罗氏平面上的“无穷远线”。2、罗氏平面上的平行线 罗氏平面上的直线 l 就是园心在 x 轴上的上半园，它交 x 轴于P0和P两点。设 P 是罗氏平面上在直线 l 外的任一点，则过 P 和P0有一条罗氏直线 l0，过P和P有一条罗氏直线 l，直线 l 与直线 l0交于“无穷远点”P0，因此可以认为直线 l 与直线 l0 是平行的，同理直线 l,l 也是平行的。见图 因此在罗氏平面上，过直线l外一点P可以作两条直线 l0 和 l 平行于于直线 l，因而在罗氏平面上欧氏几何的平行公理不成立。3、罗氏平面上的运动 把定义了笛卡尔直角坐标(x,y)的平面看成复平面，平面上的点(x,y)对应一个复数 z=x+iy，罗氏平面对应于 y0 的上半复平面，在复平面上作线性变换其中 p,q,r,s 是实数，且 ，由复函知，这是复平面上的保角变换，它使上半复平面变为上半复平面。现在证明这个变换就是罗氏平面上的等距变换。即有由线性变换得所以即第二章第二章 总总 结结