《球函数方程与球函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球函数方程与球函数.ppt（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、球函数方程与球函数球函数方程与球函数本节将介绍由球形区域上三维热传导方程或本节将介绍由球形区域上三维热传导方程或波动方程分离变量法导出的波动方程分离变量法导出的Helmholtz 方方程求解过程中得到的球函数的性质程求解过程中得到的球函数的性质1球函数方程与球函数球函数方程与球函数以热传导方程为例，导出以热传导方程为例，导出Helmholtz方程方程分离出时间变量与空间变量：设分离出时间变量与空间变量：设代入以上方程并化简得：代入以上方程并化简得：Helmholtz 方程加上齐次边界条件可构成方程加上齐次边界条件可构成固有值问题。固有值问题。2球函数方程与球函数球函数方程与球函数一维一维Hel
2、mholtz方程方程:二维二维Helmholtz方程：方程：现在来研究球域上的三维现在来研究球域上的三维Helmholtz方程。方程。在球坐标系下在球坐标系下Helmholtz方程可表达为方程可表达为3球函数方程与球函数球函数方程与球函数用分离变量法求解用分离变量法求解(1)，先分离出，先分离出r:设设程。若程。若 令令 ，则，则 可化为关于可化为关于 的的Bessel方程：方程：方程方程 称为球函数方程；若称为球函数方程；若 则则 为欧拉方为欧拉方4球函数方程与球函数球函数方程与球函数从而有：从而有：其中其中5球函数方程与球函数球函数方程与球函数对于对于 ，由实际意义得：，由实际意义得：用分
3、离变量法求解用分离变量法求解(3):设设6球函数方程与球函数球函数方程与球函数对于对于(6)，记，记 (6)化为化为则则7球函数方程与球函数球函数方程与球函数令令则则8球函数方程与球函数球函数方程与球函数若记若记则以上球函数方程在自然边界条件和周期性则以上球函数方程在自然边界条件和周期性条件下可构成固有值问题，其固有值和固有条件下可构成固有值问题，其固有值和固有函数为函数为称函数称函数 为为n阶球函数。阶球函数。9球函数方程与球函数球函数方程与球函数球函数系具有如下正交性：球函数系具有如下正交性：证明证明 其证明其实很简单：若记其证明其实很简单：若记则则10球函数方程与球函数球函数方程与球函数11球函数方程与球函数球函数方程与球函数展开定理展开定理 若若 在区域在区域 上满上满足狄利克雷条件，则在连续点足狄利克雷条件，则在连续点 处，处，可可以展开成广义以展开成广义Fourier级数级数12