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1、第二章 联立线性方程组联立线性方程组在本章中，我们将介绍联立线性方程组，介绍其定义并且详细介绍其求解方法，分齐次和非齐次两种情形加以介绍，而在最后介绍方程个数和求解变量个数相同时的特殊情形。第一节 定义定义定义 元（）线性方程是 其中 和 是常数（给定实数）。例 注意：（i）在线性方程中所有的变量都是一次的。（ii）我们会关注 个这样的 元线性方程。其中 将此系统写作：其中所有 和 都是常数而 为变量。在矩阵标记方法里，记为：例 有注意：下面的运算不会影响解：（i）方程之间两两交换。交换 两行的初等行变换。（ii）在一个方程两边同时乘上一个非零系数 将 中一行乘上一个非零系数的初等行变换。（i
2、ii）将一个方程的倍数加到另一个方程上 将 中一行的倍数加到另一行的初等行变换。注意注意 的梯阵式中每步下方都为零。如果 为 的梯阵式，那么：就很容易求解了，如果解存在的话，就跟 具有相同的解。在下面就利用这一性质求线性方程组的解。第二节 齐次情形 齐次情形的两个性质：（i）总是存在平凡解，令 ，则 。（ii）如果存在一个非平凡解，则存在无穷多个非平凡解，如果 是解，那么 也是解。非平凡解是否存在取决于 。前面说过 ，因此 同时 矩阵 梯阵式 中非零行向量的个数。情形1：此时，具有 个非零向量，意味着 个 元方程而 。可以将 个变量设置为任意值，具有无穷多个解。例 解 此时，在矩阵标记法中，有
3、 对 施行初等行变换将其简化至其梯阵式。有 和 上述方程和原方程具有相同的解。有 令 ，为任意实数。那么 为方程组的解，其代表了无穷多的解。情形情形2：此时，有 个非零行向量。只有平凡解的存在。例例 解 令 因此 ，并且 其解和原方程一样，明显 小结小结 令 为 矩阵。如果 ，其中 为变量的个数，那么线性方程组 具有非平凡解。在这种情况下存在无穷多个解。注意注意 如果 ，方程的个数小于变量的个数；则 ，总是存在无穷多个解。第三节 非齐次情形 定义定义 如果解不存在，我们称该方程组不相容不相容。相容性检验相容性检验 定理 如果 ，方程组不相容。方程组相容的情形 定理 假设 有一个特解 ，而 具有
4、一个通解 。那么 的所有解都可以写作：小结 （i）如果 ，方程组不相容，无解。（ii）如果 ，只有一个解。（iii）如果 ，存在无穷多个解。例 方程组 在此方程组中，而且 因此，从而该方程组是相容的，另 和原方程具有相同的解，对此齐次方程组的一个特解是 而 的通解由如下方程组给出：其通解为 ，为任意实数从而该非齐次方程组的通解为 第四节 特殊情形 考虑 的情形，此时 从而有 也就是说，为该方程组的唯一解 注意注意 由于 ，该唯一解可以写作：例 求解 在此而 ，故 存在，有唯一解：则该唯一解为：表示符号表示符号 令 =的第 行 =的第 列 这样就可以将该唯一解的第 个元素写作 克拉默法则克拉默法则 解的第 个元素可写作 （2.1）在（2.1）式计算时将 的第 列用向量 代替，然后计算行列式。例 解方程组 在我们的标记法下，有 从而 存在唯一解，为 理由克拉默法则，有