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1、1第一章第一章 机械振动机械振动章末总结章末总结一、简谐运动的图像如图 1 所示，简谐运动的图像反映的是位移随时间的变化规律，图像不代表质点运动的轨迹.由图像可以获得以下信息：2图 1(1)可以确定振动物体在任一时刻的位移.如图中对应t1、t2时刻的位移分别为x17cm，x25cm.(2)确定振动的振幅.图中最大位移的值等于振幅，由图可以看出振动的振幅是 10cm.(3)确定振动的周期和频率.振动图像上一个完整的正弦(或余弦)函数图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期.由图可知，OD、AE、BF的时间间隔都等于振动周期，T0.2s，频率f 5Hz.1 T(4)确定各时刻质点的振动方向.例如图中的
2、t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动.(5)比较不同时刻质点回复力(或加速度)的大小和方向.例如在图中，t1时刻质点位移x1为正，则回复力(或加速度a1)为负；t2时刻质点位移x2为负，则回复力(或加速度a2)为正，又因为|x1|x2|，所以|F1|F2|(或|a1|a2|).例 1 (多选)一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系图像如图 2 所示，由图可知( )图 2A.频率是 2HzB.振幅是 5cmC.t1.7s 时的加速度为正，速度为负D.t0.5s 时质点的回复力为零E.图中a、b两点速度大小相等、方向相反答案 CDE解析 由题图可知，质
3、点振动的振幅为 5 m，周期为 2 s，由f 得频率为 0.5 Hz，A、B1 T选项错误.t1.7 s 时的位移为负，加速度为正，速度为负，C 选项正确.t0.5 s 时质点在平衡位置，回复力为零，D 选项正确.a、b两点速度大小相等、方向相反，故 E 选项正确.结合图像分析描述简谐运动的物理量的关系，分析的顺序为：3位移x回复力F加速度a速度FkxFma加速度和速度方向之间的关系vEk12mv2动能Ek势能Ep总能量守恒或者按下列顺序分析：二、简谐运动的周期性和对称性1.周期性做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能恢复到原来的状态，因此在处理实际问题中，要注意到多解的可能性.2.对称
4、性(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率.(2)加速度和回复力的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力.(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等.振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等.例 2 物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过 1s 后物体第一次以相同速度v通过B点，再经过 1s 物体紧接着又通过B点，已知物体在 2s 内所走过的总路程为 12cm，则该简谐运动的周期和振幅分别是多大？答案 T4s，A6cm 或T s，A2cm4 3解析 物体通过A点和B点时的速度大小相等，A、B两点一定关于
5、平衡位置O对称.依题意作出物体可能的振动路径图如图甲、乙所示，在图甲中物体从A向右运动到B，即图中从 1 运动到 2，时间为 1 s，从 2 运动到 3，又经过 1 s，从 1 到 3 共经历了 0.5T，即0.5T2 s，T4 s,2A12 cm，A6 cm.在图乙中，物体从A先向左运动，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图中从 1 运动到 2 时，时间为 1 s，从 2 运动到 3，又经过 1 s，同样A、B两点关于O点对称，从图4中可以看出从 1 运动到 3 共经历了 1.5T，即 1.5T2 s，T s,1.54A12 cm，A2 4 3cm.针对训练 某质点做简谐运动，从平衡位置
6、开始计时，经 0.2s 第一次到达M点，如图 3 所示.再经过 0.1s 第二次到达M点，求它再经多长时间第三次到达M点？图 3答案 0.9s 或s7 30解析 第一种情况，质点由O点经过t10.2s 直接到达M，再经过t20.1s，第二次到达M.由对称性可知，质点由点M到达C点所需要的时间与由点C返回M所需要的时间相等，所以质点由M到C的时间为t0.05s.质点由点O到达C的时间为从点O到达M和t2 2从点M到达C的时间之和，这一时间恰好是 ，所以该振动的周期为T4(t1t)T 44(0.20.05) s1s，质点第三次到达M点的时间为t3 2t1 s20.2s0.9s.T 21 2第二种情
7、况，质点由点O向B运动，然后返回到点M，历时t10.2s，再由点M到达点C又返回M的时间为t20.1s.设振动周期为T，由对称性可知t1 ，所以T s，T 4t2 2T 21 3质点第三次到达M点的时间为t3Tt2( 0.1) ss.1 37 30三、单摆周期公式的应用1.单摆的周期公式T2，在单摆最大偏角不大于 5的情况下才成立，该公式提供了l g一种测定重力加速度的方法.2.注意：(1)单摆的周期T只与摆长l和g有关，而与振子的质量及振幅无关.(2)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长.小球在光滑圆周轨道上小角度振动和双线摆也属于单摆， “l”实际为摆球重心到摆动所
8、在圆弧的圆心的距离.(3)g为当地的重力加速度，当单摆处于超重或失重状态时g为等效重力加速度.例 3 有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的 DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系” ，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2l图线，如图 4 甲所示，去北京大学的同学所测实验结果对应的图线是_(填“A”或“B”).另外，在南京大学做探究的同学还利用计算机绘制了两个单摆(位于同一地点)的振动图像(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比5lalb_.图 4答案 B 49解析 纬度越高，重力加速度g越大，由于，所以B图线是在北京大学的同
9、学所T2 l42 g做实验的测量结果.从题图乙中可以看出Ta s，Tb2 s4 3所以 .la lbTa2 Tb24 9例 4 (多选)如图 5 所示，半径为R的光滑圆弧槽固定于水平面上，C为圆弧槽的最低点，O为圆弧槽的圆心位置.O点、圆弧槽上的A点和B点分别放上一个完全相同的小球，已知5.现将三小球同时由静止释放，下列说法正确的是( )图 5A.A处小球比B处小球晚到达O点B.A处小球与B处小球同时到达O点C.O处小球比A处小球早到达C点D.O处小球比B处小球晚到达C点答案 BC解析 依据单摆的周期公式T2，由于lAlBR，A处小球与B处小球同时到达O点，l g故 A 错误，B 正确；O处小球做自由落体运动，所用时间t ，2R g2 4R gT 4所以 O 处小球比 A 处小球(B 处小球)早到达 C 点，故 C 正确，D 错误.