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1、平行公设是欧式几何的家丑。达朗贝尔“过直线外一点有且仅有一条平行线。”这是我们在初中就学过的公理。别小看它，它曾经花费了数学家们2000多年的时间来研究它，甚至于还有个几何学的“家丑”的名声。欧几里得的几何原本提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论
2、了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？欧几里得的几何原本共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在几何原本里了。因此长期以来，人们都认为几何原本是两千多年来传播几何知识的标准教
3、科书。属于几何原本内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。几何原本最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。几何原本第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。这些定义、公理、公设就是几何原本全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；
4、综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。而第五公设的证明，直到1733年萨凯里才做出值得注意的成果。萨凯里没有象其他人那样试图从正面进攻平行公设，而是应用他所喜欢的反证法。这种证明方法的基本思想是：保持欧几里德的其他公设不变，假设第五公设不真，由此进行逻辑推演。如果推导出逻辑矛盾来，就反驳了第五公设不真的假设，从而也就间接证得第五公设。他考虑了一个看起来象矩形的图形ABCD，其中AD=BC，且A=B=90，不用平行公设，可
5、以证明C=D。这个图形有三个可能：（1）直角假设，C，D是直角；（2）钝角假设，C，D是钝角；（3）锐角假设，C，D是锐角；如果利用平行公设，就能证明C，D是直角，即直角假设成立，相反，由直角假设，也能证明平行公设，因此平行公设与直角假设等价。而与欧式平行公设对立的公设有：（V）过直线外一点没有直线与给定的直线平行；（V）过直线外一点至少有两条直线与给定的直线平行。这两个命题分别能证明钝角假设，锐角假设，同样（V）与钝角假设等价，（V）与锐角假设等价。如果我们保留欧几里德几何中不依赖平行公设的命题，然后把平行公设替换为（V）或（V），就能得到新的几何体系。分别叫做椭圆几何、双曲几何，它们都是非
6、欧几何。非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。萨凯里本想通过逻辑证明来排除钝角和锐角两种情况，从而间接证明转角假设为真，即平行公设为真。结果他却得到了一个没有矛盾的新几何体系双曲几何。但他却以“结论不合情理”而否认了，并在书末写到“欧式几何无懈可击”。为什么呢？有两种说法。有人说，因为欧式几何有2000年的传统，对人们的影响根深蒂固，萨凯里无法突破思想上的束缚。还有人说：萨凯里完成自己的研究后，教会做出了
7、没收、充公的暗示。萨凯里也许自始至终认为在锐角下找不到矛盾，只不过为了让他的著作能通过教会的审查，才毫无诚意地做了个不可能愚弄数学家的谬论。萨凯里走到了一个新奇世界的门口，但是他没有继续下去，否则他的研究将成为几何学史上最伟大的发现，他本人也将成为新学科非欧几何的创立者。另一个对新几何的产生做出重要贡献的是瑞士数学家兰贝特他继承了萨凯里的方法，从考察一个三个角都是直角的四边形出发，研究其第四个角是直角、钝角和锐角的可能性兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论他没有像萨凯里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存在的想法，这是观念上的一个重要冲破但他未能对这种几何的现实性提出任何见解，因而也就未能再向前迈出一步