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1、第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律一一 质点对定点质点对定点 O 的角动量的角动量 质点作质点作圆周运动时圆周运动时，相对，相对圆心的角动量圆心的角动量 质量为质量为m的质点以速度的质点以速度大小大小 的方向：右手螺旋法则的方向：右手螺旋法则.单位：单位：kgm2/s或或 J s。在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量定义为点的角动量定义为1第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律一一 质点的角动量质点的角动量二二 刚体
2、定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量O质元的角动量质元的角动量作圆周运动作圆周运动2第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律三三 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率。刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率。二二 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量将角动量式两边对时间导数将角动量式两边对时间导数微分式微分式 刚体定轴转动时，作用在刚体上的冲量矩等于角动刚体定轴转动时，作用在刚体上的冲量矩等于角动量的增量。量的增
3、量。积分式积分式3第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 冲量矩（角冲量）：冲量矩（角冲量）：则则若若 如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。作用，物体的角动量保持不变。角动量守恒定律角动量守恒定律三三 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理四四 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 对于非刚体：对于非刚体：或或4第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律(4)角动量守恒定律是自然界的一个基本
4、定律，不仅适角动量守恒定律是自然界的一个基本定律，不仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。用于宏观体系，也适用于微观系统。(2)内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.(1)守恒条件守恒条件 M=0若若 J 不变，不变，不变；若不变；若 J 变，变，也变，但也变，但 L=J不变不变.，则，则若若说明说明(3)在冲击等问题中在冲击等问题中L常量。常量。四四 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律5第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律(5)由由可能情况有可能情况有 F0 和和 F0。其中有一种情况是合力为其中有一种情况是
5、合力为有心力有心力(质点在运动过程质点在运动过程中所受到的合力总是指向一个给定点中所受到的合力总是指向一个给定点力心力心O)。有心力对力心有心力对力心O的力矩总是零。的力矩总是零。推论：推论：在有心力作用下，质点对力心的角动量都是守恒在有心力作用下，质点对力心的角动量都是守恒的。的。，则，则若若四四 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律说明说明6第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律推论：在有心力作用下，质点对力心的角动量都是守恒推论：在有心力作用下，质点对力心的角动量都是守恒的。的。例如：质点作匀速率圆周运动时，作用于质点
6、的合力是指例如：质点作匀速率圆周运动时，作用于质点的合力是指向圆心的有心力，故此时质点对圆心的角动量是守恒的。向圆心的有心力，故此时质点对圆心的角动量是守恒的。又如太阳位于行星椭圆轨道的两个焦点之一，太阳作用又如太阳位于行星椭圆轨道的两个焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点点O，则行星的角动量也是守恒的。，则行星的角动量也是守恒的。(6)动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律。动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律。如行星运动如行星运动动量不守恒动量不守恒角动量守恒角动量守恒恒矢量恒矢量,或或7第四章第四章 刚体转
7、动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统不守恒不守恒.守恒；守恒；不守恒；不守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统守恒；守恒；角动量角动量:不守恒不守恒.圆锥摆系统圆锥摆系统不守恒；不守恒；守恒；守恒；守恒守恒.讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计系统的动量、角动量和机械能是否守恒？系统的动量、角动量和机械能是否守恒？动量动量:守恒；守恒；机械能机械能:8第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 有许多现象都可以用角动量守恒来说明
8、有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水运动员跳水跳水播放教学资料片播放教学资料片CD1角动量守恒角动量守恒陀螺的定轴性陀螺的定轴性CD2旋进旋进9第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律飞轮飞轮航天器调姿航天器调姿10第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺）角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 播放教学资料片被中香炉播放教学资料片被中香炉11第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量
9、角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律近近日日点点远远日日点点解：解：在彗星绕太阳轨在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受道运转过程中，只受万有引力作用，万有万有引力作用，万有引力不产生力矩，系引力不产生力矩，系统角动量守恒。统角动量守恒。由质点的角动量定义：由质点的角动量定义：即即补充例补充例1 1：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？12第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律
10、即即近日点近日点 r 小小 v 大，大，远日点远日点 r 大大 v 小，小，这这就就是是为为什什么么彗彗星星运运转转周周期期为为几几十十年年，而而经经过过太太阳阳时时只只有有很很短短的的几几周周时时间间。彗彗星星接接近近太太阳阳时时势势能能转转换换成成动动能，而远离太阳时，动能转换成势能。能，而远离太阳时，动能转换成势能。解：解：近近日日点点远远日日点点13第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律比较比较 动量动量 角动量角动量 形式上完全相同，所以记忆上就可简化。形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的从动量
11、定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。量变换一下，名称上改变一下。（趣称（趣称 头上长角头上长角 尾部添矩尾部添矩）14第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律比较比较 动量动量 角动量角动量力力力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量 或或动量矩动量矩力的力的冲量冲量力矩的冲量力矩的冲量或或冲量矩冲量矩15第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律解解:系统角动量守恒系统角动量守恒P103例例1 两个转动惯量分别为两个转动惯量分别为 J1 和和 J2 的圆盘的圆盘 A和和 B
12、.A 是机器上的飞轮是机器上的飞轮,B 是用以改变飞轮转速的离合器圆盘是用以改变飞轮转速的离合器圆盘.开始时开始时,他们分别以角速度他们分别以角速度1 和和2 绕水平轴转动绕水平轴转动.然然后后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合为一体啮合为一体,其其角速度为角速度为,求求齿轮啮合后两圆盘的角速度齿轮啮合后两圆盘的角速度.16第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律解解:P103例例2 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的
13、演员并把跷板另一端的演员 N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的,长度为长度为 l,质量为质量为m，跷板可绕中部跷板可绕中部支撑点支撑点 C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为 m.假定假定演员演员 M 落在跷板上落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员 N 可弹起多高可弹起多高?(2)碰撞过程碰撞过程;过程分析过程分析:ll/2CABMNhh(1)M下落过程下落过程;(3)N上升过程上升过程.17第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律解解:(2)碰撞过程碰撞过程
14、,角动角动量守恒量守恒.ll/2CABMNhh(1)M下落过程下落过程;以顺时针方向为正以顺时针方向为正,有有18第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律演员演员 N 达到的高度达到的高度ll/2CABMNhh(3)N上升过程上升过程.19第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律P104例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于当细杆静止于水平位置时水平位置时,有一只小虫以
15、速率有一只小虫以速率v0 垂直落在距点垂直落在距点 O 为 l/4 处处,并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点 A 爬行爬行.设小虫与细设小虫与细杆的质量均为杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行小虫应以多大速率向细杆端点爬行?碰撞前后系统角动量守恒碰撞前后系统角动量守恒解解:20第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律由角动量定理（由角动量定理（恒定）恒定）考虑到考虑到21第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律本节小结：
16、本节小结：本节小结：本节小结：一一.角动量角动量：大小大小Lrmv sin；方向：右手法则；方向：右手法则 若若质质点点作作圆圆周周上上运运动动，则则质质点点对对圆圆心心O的的角角动动量量L大大小为小为Lrmv mr2J（Jmr2为质点对为质点对O点的转动惯量）点的转动惯量）m质点的角动量：质点的角动量：刚体绕定轴转动的角动量定义刚体绕定轴转动的角动量定义22第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律对质点，力矩对质点，力矩M和角动量和角动量L必须是对同一参考点的；必须是对同一参考点的；对刚体，对刚体，M和和L必须是对同一转轴的。必须是对同一转轴的
17、。对质点，有对质点，有二二.角动量定理角动量定理作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。三三.角动量守恒定律：角动量守恒定律：当作用于物体的合外力矩当作用于物体的合外力矩M0，则角动量守恒。则角动量守恒。对刚体及刚体系，有对刚体及刚体系，有在有心力作用下，质点对力心的角动量都是守恒的。在有心力作用下，质点对力心的角动量都是守恒的。本节本节结束结束23第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律补充例补充例2 一根长一根长 l ,质量为质量为 M 的均匀直棒，其一端挂在的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖
18、直位置。今有一子弹，质一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一子弹，质量为量为m，以水平速度，以水平速度 v0 射入棒的下端而不复出。求棒射入棒的下端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。和子弹开始一起运动时的角速度。解解:把子弹和棒看作一个系统把子弹和棒看作一个系统.子弹射子弹射入棒的过程系统角动量守恒入棒的过程系统角动量守恒 注注:子弹射入棒的过程子弹射入棒的过程系统动量不守恒。系统动量不守恒。24第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律补充例补充例3 一个质量为一个质量为M，半径为，半径为R的水平均匀圆盘可绕的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站着一个质通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站着一个质量为量为m的人，二者最初都相对地面静止。当人在盘上沿的人，二者最初都相对地面静止。当人在盘上沿盘边走一周时，盘对地面转过的角度多大？盘边走一周时，盘对地面转过的角度多大？解解:系统：盘和人。人走动时，系统系统：盘和人。人走动时，系统受到的外力矩为零，角动量守恒受到的外力矩为零，角动量守恒 得得:即即 积分积分25第四章第四章 刚体转动刚体转动4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 人在盘上走一周时人在盘上走一周时 得得26