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1、数学物理中的近代分析方法第三章第三章 加权残值法加权残值法 3.1 加权残值法的基本概念加权残值法的基本概念设某一具体的工程定解问题：Luf=0（在域V内）（3.1.1）Gug=0（在边界S上）（3.1.2）这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域内和边界上的已知项。3.1 加权残值法的基本概念加权残值法的基本概念一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的试函数：（3.1.3）其中Ci为待定系数，vi为试函数项。将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一
2、般不会精确满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS，即：3.1 加权残值法的基本概念加权残值法的基本概念为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在域内和边界上的积分为零，即：据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，N）的代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（3.1.3）。（3.1.4）（3.1.5）（3.1.6）（3.1.7）按试函数是否满足控制方程和边界条件试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法分为三类：内部法内部法 边界法边界法 混合法混合法 3.1 加权
3、残值法的基本概念加权残值法的基本概念3.2 加权残值法的基本方法加权残值法的基本方法 据权函数的形式权函数的形式分类，主要有以下五种方法：（1）最小二乘法（）最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的残值平方积分：（3.2.1）最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：3.2 加权残值法的基本方法加权残值法的基本方法（3.2.2）即可得到最小二乘法的基本方程：（3.2.3）可见，最小二乘法就是将权函数取作 。式（3.2.3）将给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，2，N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。（i=1，
4、2，N）（i=1，2，N）（2）配点法（）配点法（Collocation Method）3.2 加权残值法的基本方法加权残值法的基本方法 如果选用狄拉克函数（Dirac Delta Function）作为权函数，即：（3.2.4）就得到了配点法。配点法的基本方程为：（3.2.6）（i=1，2，N）（2）配点法（）配点法（Collocation Method）3.2 加权残值法的基本方法加权残值法的基本方法 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：（i=1，2，N）（3.2.7）由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi）处为零。得到N个代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，N）。配
5、点法是加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。3.2 加权残值法的基本方法加权残值法的基本方法（3）子域法（）子域法（Subdomain Method）如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域Vi（i=1，2，N），并定义此时的权函数为：（3.2.8）于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：（i=1，2，N）（3.2.9）3.2 加权残值法的基本方法加权残值法的基本方法（3）子域法（）子域法（Subdomain Method）这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数Ci（i=1，2，N）。需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同，也可以不同。若各子域的试函
6、数互不相同时，则必须考虑各子域间的连接条件。3.2 加权残值法的基本方法加权残值法的基本方法（4）伽辽金法（）伽辽金法（Galerkin Method）伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名的方法。伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：Wi=vi，（i=1，2，N）（3.2.10）（i=1，2，N）（3.2.11）由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。3.2 加权残值法的基本方法加权残值法的基本方法（5）矩量法（）矩量法（Method of Moment）当权函数选取为xi（i=0，1，N1）时，就得到了矩量法的基本方程为：（i=0，1，N1）（3.2.12）由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，N）。（1）最小二乘法（）最小二乘法（Least Square Method）（2）配点法（）配点法（Collocation Method）例例2：简支梁的弯曲问题：简支梁的弯曲问题（3）子域法（）子域法（Subdomain Method）（4）伽辽金法（）伽辽金法（Galerkin Method）（5）矩量法（）矩量法（Method of Moment）