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1、高中数学导数的综高中数学导数的综合应用合应用本讲稿第一页，共五十页1通通常常求求利利润润最最大大、用用料料最最省省、效效率率最最高高等等问问题题称称为为_问问题题，一一般般地地，对对于于实实际际问问题题，若若函函数数在在给给定定的的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点优化优化本讲稿第二页，共五十页2生活中的优化问题生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：解决优化问题的基本思路：本讲稿第三页，共五十页1函数的极大值一定比极小值大吗？函数的极大值一定比极小值大吗？【提提示示】极极值值是是一一个个局局部部概概念念，极极值值的的大大小小关关系系是是不不确
2、确定定的的，即即极极大大值值不不一一定定比比极极小小值值大大，极极小小值值也也不不一一定定比比极极大值小大值小本讲稿第四页，共五十页2如何求实际问题中的最值问题？如何求实际问题中的最值问题？【提提示示】有有关关函函数数最最大大值值、最最小小值值的的实实际际问问题题，一一般般指指的的是是单单峰峰函函数数，也也就就是是说说在在实实际际问问题题中中，如如果果遇遇到到函函数数在在区区间间内内只只有有一一个个极极值值点点，那那么么不不与与区区间间端端点点比比较较，就就可可以以知知道这个极值点就是最大道这个极值点就是最大(小小)值点值点本讲稿第五页，共五十页【解析解析】f(x)3ax21，依题意依题意f(
3、x)3ax21有两个实根，有两个实根，a0.【答案答案】D本讲稿第六页，共五十页【解解析析】yx281(x0)，令令y0，即即x2810得得x9，当当x(0，9)时，时，y0，当，当x(9，)时，时，y0.函数在函数在(0，9)上单调递增，在上单调递增，在(9，)上单调递减，上单调递减，当当x9时，函数取得最大值，故选时，函数取得最大值，故选C.【答案答案】C本讲稿第七页，共五十页本讲稿第八页，共五十页【解解析析】由由yf(x)的的图图象象知知，函函数数f(x)在在(，0)上上单单调调递递增增，在在(0，)上上单单调调递递减减，且且f(2)1，f(3)1，则不等式则不等式f(x26)1可转化为
4、可转化为2x263，解得：解得：2x3或或3x2，故选，故选A.【答案答案】A本讲稿第九页，共五十页4已已知知f(x)1xsin x，试试比比较较f(2)，f(3)，f()的的大大小为小为_【解析解析】f(x)1cos x，当，当x(0，时，时，f(x)0.f(x)在在(0，上是增函数，上是增函数，f()f(3)f(2)【答案答案】f()f(3)f(2)本讲稿第十页，共五十页5(2013大大连连模模拟拟)已已知知函函数数f(x)ex2xa有有零零点点，则则a的取值范围是的取值范围是_【解解析析】函函数数f(x)ex2xa有有零零点点，即即方方程程ex2xa0有有实实根根，即即函函数数g(x)2
5、xex，ya有有交交点点，而而g(x)2ex，易易知知函函数数g(x)2xex在在(，ln 2)上上递递增增，在在(ln 2，)上上递递减减，因因而而g(x)2xex的的值值域域为为(，2ln 22，所所以以要要使使函函数数g(x)2xex，ya有有交交点点，只只需需a2ln 22即可即可【答案答案】(，2ln 22本讲稿第十一页，共五十页(2013海海淀淀模模拟拟)已已知知函函数数f(x)ex(x2axa)，其其中中a是是常数常数(1)当当a1时，求曲线时，求曲线yf(x)在点在点(1，f(1)处的切线方程；处的切线方程；(2)若若存存在在实实数数k，使使得得关关于于x的的方方程程f(x)k
6、在在0，)上上有两个不相等的实数根，求有两个不相等的实数根，求k的取值范围的取值范围本讲稿第十二页，共五十页【思路点拨思路点拨】(1)先求切点、切线斜率，再求切线方程；先求切点、切线斜率，再求切线方程；(2)利利用用导导数数判判断断函函数数f(x)在在0，)上上的的变变化化情情况况，数数形结合求解形结合求解【尝试解答尝试解答】(1)由由f(x)ex(x2axa)可得可得f(x)ex x2(a2)x当当a1时，时，f(1)e，f(1)4e.所所以以曲曲线线yf(x)在在点点(1，f(1)处处的的切切线线方方程程为为ye4e(x1)，即，即y4ex3e.本讲稿第十三页，共五十页(2)令令f(x)e
7、xx2(a2)x0，解得解得x(a2)或或x0.当当(a2)0，即即a2时时，在在区区间间0，)上上，f(x)0，所以所以f(x)是是0，)上的增函数，上的增函数，所所以以方方程程f(x)k在在0，)上上不不可可能能有有两两个个不不相相等等的的实实数根数根当当(a2)0，即即a2时时，f(x)，f(x)随随x的的变变化化情情况况如下表：如下表：本讲稿第十四页，共五十页本讲稿第十五页，共五十页本讲稿第十六页，共五十页1在在解解答答本本题题(2)时时应应判判断断f(x)f(0)是是否否成成立立，这这是是容容易忽视的地方易忽视的地方2该该类类问问题题的的求求解解，一一般般利利用用导导数数研研究究函函
8、数数的的单单调调性性、极极值值等等性性质质，并并借借助助函函数数图图象象，根根据据零零点点或或图图象象的的交交点点情情况况，建建立立含含参参数数的的方方程程(或或不不等等式式)组组求求解解，实实现现形形与与数数的的和和谐谐统统一一本讲稿第十七页，共五十页本讲稿第十八页，共五十页当当x变化时，变化时，f(x)与与f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：本讲稿第十九页，共五十页本讲稿第二十页，共五十页本讲稿第二十一页，共五十页 (2013大大连连模模拟拟)设设a为为实实数数，函函数数f(x)ex2x2a，xR.(1)求求f(x)的单调区间与极值；的单调区间与极值；(2)求证：当求证：当aln
9、21且且x0时，时，exx22ax1.【思思路路点点拨拨】(1)令令f(x)0，求求极极值值点点，然然后后讨讨论论在在各个区间上的单调性各个区间上的单调性(2)构构造造函函数数g(x)exx22ax1(xR)，注注意意到到g(0)0，只需证明，只需证明g(x)在在(0，)上是增函数，可利用导数求解上是增函数，可利用导数求解本讲稿第二十二页，共五十页【尝尝试试解解答答】(1)由由f(x)ex2x2a，xR，f(x)ex2，xR.令令f(x)0，得，得xln 2.于是当于是当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：故故f(x)的的单单调调递递减减区区间间是是(，ln
10、 2)，单单调调递递增增区区间间是是(ln 2，)，f(x)在在xln 2处处取取得得极极小小值值，极极小小值值为为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)本讲稿第二十三页，共五十页(2)设设g(x)exx22ax1，xR.于于是是g(x)ex2x2a，xR.由由(1)知知当当aln 21时时，g(x)最最小小值值为为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意于是对任意xR，都有，都有g(x)0，所以所以g(x)在在R内单调递增内单调递增于于是是当当aln 21时时，对对任任意意x(0，)，都都有有g(x)g(0)又又g(0)0，从而对任意，从而对任意x(0，)，g(x)0
11、.即即exx22ax10，故，故exx22ax1.本讲稿第二十四页，共五十页1本本题题常常见见的的错错误误有有两两点点：(1)基基础础知知识识不不过过关关，求求错错导导数数；(2)不不等等式式证证明明思思路路不不清清晰晰，不不会会构构造造函函数数g(x)，发发现现不了不了g(x)与与f(x)的关系，导致不能运用第的关系，导致不能运用第(1)问的结论问的结论2对对于于该该类类问问题题，可可从从不不等等式式的的结结构构特特点点出出发发，构构造造函函数数，借借助助导导数数确确定定函函数数的的性性质质，借借助助单单调调性性或或最最值值实实现现转转化化本讲稿第二十五页，共五十页(2013杭州模拟杭州模拟
12、)设函数设函数f(x)a2ln xx2ax，a0.(1)求求f(x)的单调区间；的单调区间；(2)求求所所有有的的实实数数a，使使e1f(x)e2对对x1，e恒恒成成立立(其中，其中，e为自然对数的底数为自然对数的底数)本讲稿第二十六页，共五十页本讲稿第二十七页，共五十页(2013南南京京模模拟拟)请请你你设设计计一一个个包包装装盒盒如如图图2122所所示示，ABCD是是边边长长为为60 cm的的正正方方形形硬硬纸纸片片，切切去去阴阴影影部部分分所所示示的的四四个个全全等等的的等等腰腰直直角角三三角角形形，再再沿沿虚虚线线折折起起，使使得得A，B，C，D四四个个点点重重合合于于图图中中的的点点
13、P，正正好好形形成成一一个个正正四四棱棱柱柱形形状状的的包包装装盒盒E、F在在AB上上，是是被被切切去去的的一一个个等等腰腰直直角角三角形斜边的两个端点设三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)本讲稿第二十八页，共五十页(1)若若广广告告商商要要求求包包装装盒盒的的侧侧面面积积S(cm2)最最大大，试试问问x应应取何值？取何值？(2)某某厂厂商商要要求求包包装装盒盒的的容容积积V(cm3)最最大大，试试问问x应应取取何何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【思思路路点点拨拨】用用x表表示示包包装装盒盒的的高高度度和和底底面面边边长长，则则(1)包包装
14、装盒盒的的侧侧面面积积S是是关关于于x的的二二次次函函数数，可可通通过过配配方方求求最最值值；(2)包包装装盒盒的的容容积积V是是关关于于x的的三三次次函函数数，可可通通过过导导数数求求最最大大值值本讲稿第二十九页，共五十页本讲稿第三十页，共五十页利用导数解决生活中优化问题的一般步骤利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分分析析实实际际问问题题中中各各量量之之间间的的关关系系，构构造造出出实实际际问问题题的的数数学学模模型型，写写出出实实际际问问题题中中变变量量之之间间的的函函数数关关系系yf(x)，并并根据实际意义确定定义域；根据实际意义确定定义域；(2)求求函函数数yf(x)的的导导数
15、数f(x)，解解方方程程f(x)0得得出出定定义义域域内的实根，确定极值点；内的实根，确定极值点；(3)比比较较函函数数在在区区间间端端点点和和极极值值点点处处的的函函数数值值大大小小，获获得得所求的最大所求的最大(小小)值；值；(4)还原到实际问题中作答还原到实际问题中作答本讲稿第三十一页，共五十页本讲稿第三十二页，共五十页本讲稿第三十三页，共五十页本讲稿第三十四页，共五十页把把所所求求问问题题通通过过构构造造函函数数，转转化化为为可可用用导导数数解解决决的的问问题题，这是用导数解决问题时常用的方法这是用导数解决问题时常用的方法利利用用导导数数解解决决与与方方程程、函函数数零零点点、不不等等
16、式式等等问问题题时时，常常用到数形结合及转化与化归的数学思想用到数形结合及转化与化归的数学思想本讲稿第三十五页，共五十页1.注意实际问题中函数定义域的确定注意实际问题中函数定义域的确定2在在实实际际问问题题中中，如如果果函函数数在在区区间间内内只只有有一一个个极极值值点点，那那么么只只要要根根据据实实际际意意义义判判定定是是最最大大值值还还是是最最小小值值即即可可，不不必必再与端点的函数值比较再与端点的函数值比较本讲稿第三十六页，共五十页从从近近两两年年高高考考试试题题看看，导导数数与与方方程程、函函数数零零点点、不不等等式式的的交交汇汇综综合合，以以及及利利用用导导数数研研究究生生活活中中的
17、的优优化化问问题题，是是考考查查的的热热点点，并并且且常常考考常常新新题题型型以以解解答答题题为为主主，综综合合考考查查学学生生分析问题、解决问题的能力分析问题、解决问题的能力本讲稿第三十七页，共五十页规范解答之三构建函数模型证明不等式恒成立问题规范解答之三构建函数模型证明不等式恒成立问题本讲稿第三十八页，共五十页本讲稿第三十九页，共五十页本讲稿第四十页，共五十页本讲稿第四十一页，共五十页【解题程序解题程序】第一步：利用导数的几何意义求第一步：利用导数的几何意义求k的值；的值；第二步：求第二步：求f(x)，构造函数，构造函数h(x)；第第三三步步：通通过过判判断断h(x)的的正正负负，得得到到
18、f(x)的的正正负负，从从而而求出单调区间；求出单调区间；第四步：写出第四步：写出g(x)，判断，判断h(x)在在(0，)上的单调性；上的单调性；第第五五步步：求求出出h(x)的的最最大大值值，从从而而得得到到欲欲证证明明的的不不等等式式本讲稿第四十二页，共五十页易易错错提提示示：(1)解解答答第第(2)题题时时，因因无无法法解解方方程程f(x)0，从而导致无法求解从而导致无法求解(2)求解第求解第(3)题时，因不会构造函数而导致解题失误题时，因不会构造函数而导致解题失误防防范范措措施施：(1)当当方方程程f(x)0无无法法用用常常规规方方法法求求解解时时，可用可用“试算试算”的方法寻找方程的
19、根的方法寻找方程的根(2)在在用用导导数数证证明明不不等等式式时时，若若构构造造的的函函数数比比较较复复杂杂(求求导导后后无无法法确确定定极极值值点点)，可可把把函函数数写写成成两两项项积积的的形形式式(其其中中一一个个因因式式符符号号确确定定，另另一一个个因因式式符符号号不不定定)，进进而而讨讨论论符符号号不不定定的因式的因式本讲稿第四十三页，共五十页1(2012福福建建高高考考)已已知知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是()ABCD本讲稿第四十四页，共五十页【解解析析】f(x)3x212x93(x1)(x3
20、)，由由f(x)0，得得1x0，得，得x3，f(x)在在区区间间(1，3)上上是是减减函函数数，在在区区间间(，1)，(3，)上上是是增增函函数数又又ab0，y极极小小值值f(3)abc0，0abc4.本讲稿第四十五页，共五十页a，b，c均均大大于于零零，或或者者a0，b0.又又x1，x3为为函函数数f(x)的的极极值值点点，后后一一种种情情况况不不可可能能成成立立，如如图图f(0)0，f(0)f(1)0，正正确确结结论论的的序序号号是是.【答案答案】C本讲稿第四十六页，共五十页本讲稿第四十七页，共五十页本讲稿第四十八页，共五十页课后作业（十五）课后作业（十五）本讲稿第四十九页，共五十页本讲稿第五十页，共五十页