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1、计算方法电子教案第二章插值法与数值微分本讲稿第一页，共八十九页求近似函数的方法求近似函数的方法:由实验或测量的方法得到所求函数由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x)在在互异点互异点x0,x1,.,xn 处的值处的值 y0,y1,yn ,构造一个简单函数构造一个简单函数 (x)作为函数作为函数 y=f(x)的近似表达式的近似表达式y=f(x)(x)使使 (x0)=y0,(x1)=y1,(xn)=yn ,(a)这类问题称为这类问题称为插值问题插值问题。f(x)称为称为被插值函数被插值函数，(x)称为称为插值插值函数函数，x0,x1,.,xn 称为称为插值节点插值节点。(a)式称为式称为插值条
2、件插值条件。常用的插值函数是多项式。常用的插值函数是多项式。插值的任务插值的任务就是由已知的观测点就是由已知的观测点,为物理量为物理量(未知量未知量)建立一个建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性在非观测点处的特性。本讲稿第二页，共八十九页 最简单的插值函数是代数多项式最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+anxn,.(1)这时插值问题变为这时插值问题变为:求求n次多项式次多项式Pn(x),使满足插值条件使满足插值条件 pn(xi)=yi,i=0,1,2,，n,(2)只要求出只要求出P
3、n(x)的系数的系数a0,a1,an即可即可,为此由插值条件为此由插值条件(2)(2)知知P Pn n(x)(x)的系数满足下列的系数满足下列n+1n+1个代数方程构成的线性方程组个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 .a0+a1xn+anxnn=yn (3)本讲稿第三页，共八十九页 而而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是的系数行列式是Vandermonde行列式行列式 =(4)由于由于xi互异，所以互异，所以(4)右端不为零，从而方程组右端不为零，从而方程组(3)的解的解 a0,a1,an 存在且唯一。解出存在且唯一。解出ai(
4、i=0,1,2,n),Pn(x)就可构造出就可构造出来了。但遗憾的是方程组来了。但遗憾的是方程组(3)是病态方程组是病态方程组,当阶数当阶数n越高时，越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。插值。本讲稿第四页，共八十九页 2.1 线性插值线性插值 先从最简单的线性插值先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题开始。这时插值问题(2)就是求一次多项式就是求一次多项式P1(x)=a0+a1x 使它满足条件使它满足条件P1(x0)=y0,P1(x1)=y1,令令P1(x)=l0(x
5、)y0+l1(x)y1,由于由于l0(x0)=1,l0(x1)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1.这样这样l0(x)含有因子含有因子x-x1,令令 l0(x)=(x-x1),再利用再利用 l0(x0)=1确定其中的系数，结果确定其中的系数，结果得到得到x-x1 l0(x)=-,x0-x1类似的可得到类似的可得到 x-x0 l1(x)=-,x1-x0这样这样x-x1 x-x0P1(x)=-y0+-y1,x0-x1 x1-x0 l0(x),l1(x)称为以称为以x0,x1 为节点的为节点的插值基函数插值基函数。(x0,y0)(x1,y1)P1(x)f(x)本讲稿第五页，共八十九页Newton
6、插值本讲稿第六页，共八十九页Newton插值把直线方程利用点斜式表示：把直线方程利用点斜式表示：由于函数由于函数f(x)在在xi,xj处一阶均差的定义是处一阶均差的定义是：（）（）本讲稿第七页，共八十九页因此因此,是是f(x)f(x)在在 x x1 1,x,x0 0处的一阶处的一阶均差，均差，利用均差的对称性利用均差的对称性，（）（）式可以表示为：式可以表示为：这种形式的插值叫做牛顿（这种形式的插值叫做牛顿（NewtonNewton）插值插值本讲稿第八页，共八十九页本讲稿第九页，共八十九页本讲稿第十页，共八十九页定理定理2.12.1：设给定 x x0 x1 y y0y1 是过x0,x1的线性插
7、值函数，a,b是包含(x0,x1)的任一区间，并设 在a,b上存在，则对任意给定 ,总存在一点 使 且可以证明：本讲稿第十一页，共八十九页roll定理如果函数f(x)满足：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点(ab)，使得 f()=0 本讲稿第十二页，共八十九页 2.2 二次插值二次插值 线性插值是用两点 和 来构造y=f(x)的插值函数，下面用三个点 来构造y=f(x)过三点的插值函数。（过三点可以作一条抛物线）。本讲稿第十三页，共八十九页 构造l0(x):由于l0(x)有x1和x2二个零点，因此有因子(
8、x-x1)(x-x2)，又因有l0(x）是一个次数不高于二次的多项式，所以，还可能相差一个常数因子，于是把l0(x）写成：当当互异时方程组的解唯一互异时方程组的解唯一为了确定系数将三点代入方程得：本讲稿第十四页，共八十九页x0 x1x2 f(x)f(x)抛物插值抛物插值本讲稿第十五页，共八十九页利用条件 ，可求得：那么x0点的二次插值基函数为：同理构造 为：本讲稿第十六页，共八十九页插值函数：牛顿二次插值多项式：假设过 的二次插值多项式具有下面的形式：确定系数A,B,C：利用 我们有：本讲稿第十七页，共八十九页再利用 有：B=最后 确定C：（为一阶均差的均差）其中 本讲稿第十八页，共八十九页f
9、 xi,xj,xk 为f(x)在点xi,xj,xk处的二阶差商一般的称为f(x)在点x0,x1,xn处的n阶差商。于是得到二次牛顿插值多项式：本讲稿第十九页，共八十九页 三、三、三、三、例题：例题：例例1:已给已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。的值并估计截断误差。解：解：由题意取由题意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。用线性插值及抛物插值计算，取用
10、线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34,又由公式又由公式得得 本讲稿第二十页，共八十九页其截断误差为其截断误差为其中其中 ，因，因 f(x)=sinx，f/(x)=-sinx，可取可取，于是，于是 R1(0.3367)=sin 0.3367 P1(0.3367)1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92 105，若取若取x1=0.34，x2=0.36为节点，则线性插值为为节点，则线性插值为，本讲稿第二十一页，共八十九页其截断误差为其截断误差为，其中其中于是于是 用抛物插值计算用抛物插值计算 sin0.3367时，可得时，可得本讲稿第二十二页，共八十
11、九页这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得用二次插值精度已相当高了。其截断误差得其中其中于是于是本讲稿第二十三页，共八十九页例例2:2:已测得某地大气压强随高度变化的一组数据已测得某地大气压强随高度变化的一组数据高度高度(m)0 100 300 1000 1500 2000 .压强压强(kgf/m2)0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法求试用二次插值法求1200米处的压强值米处的压强值.1/27/2023本讲稿第二十四页，
12、共八十九页解：设x为高度，y为大气压强的值，选取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三点构造二次插值多项式 (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)p2(x)=-y0+-y1+-y2 (x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)代入已知的数值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200-2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500
13、)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980所以 y(1200)p2(1200)=0.82980(kgf/m2)本讲稿第二十五页，共八十九页例3.取节点x0=0,x1=1和对建立线性插值多项式和二次插值多项式。解：先构造x0=0,x1=1两点的线性插值多项式。x01 y1e-1（1）拉格朗日插值多项式先选过(0,1)和(1,e-1)的一次插值函数本讲稿第二十六页，共八十九页这样：=(2)牛顿型插值多项式：因为 ，所以本讲稿第二十七页，
14、共八十九页构造过的二次插值函数，因为(1)拉格朗日二次插值函数。构造过 的二次插值基函数本讲稿第二十八页，共八十九页因此 =因此（2）牛顿型二次插值函因为：本讲稿第二十九页，共八十九页2.3 n次插值设给定函数表 xx0 x1xn yy0y1yn要求构造一个插值多项式 满足条件：（1）是次数不高于n的多项式（2）把插值多项表示成本讲稿第三十页，共八十九页写成方程组形式：其中系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式当互异时方程组的解存在而且唯一，这说明过n+1个点的n次插值多项式存在而且唯一，本讲稿第三十一页，共八十九页拉格朗日型n次插值多项式：（1）先构造n+1个插值节点x0,x1,
15、xn上的n次插值基函数li(x)（2）li(x)的数值表：x0 x1 ,xn l0(x)1 0 ,0 l1(x)0 1 ,0 ln(x)0 0 ,1（3）确定li(x)的零点，构造li(x):本讲稿第三十二页，共八十九页（4）利用 得：（5）这就是拉格朗日型这就是拉格朗日型n次插值多项式的一般形式次插值多项式的一般形式本讲稿第三十三页，共八十九页为了得到为了得到n次牛顿型插值多项式次牛顿型插值多项式：（1）构造均差表：）构造均差表：这里这里 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商 四阶差商四阶差商 本讲稿第三十四页，共八十九页（2）Newton-n次插值形式逐次线性插值（3）本讲
16、稿第三十五页，共八十九页N次插值表见教材表次插值表见教材表2.7本讲稿第三十六页，共八十九页 例例1:给定数据表f(x)=lnx数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00f(xi)0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.098611.构造差商表2.用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值3.写出四次Newton差商插值多项式N4(x)解解:差商表本讲稿第三十七页，共八十九页N2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60)f(2.65)N2(2.65)N4(x)=0.7
17、8846 +0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)本讲稿第三十八页，共八十九页 插值函数，插值节点插值函数，插值节点n次插值基函数次插值基函数拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值多项式插值余项插值余项本讲稿第三十九页，共八十九页 用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了对代数插值来说，问题的提
18、法是这样的，当给出了n+1个点上的个点上的一张函数表后，要构造一个多项式一张函数表后，要构造一个多项式(x)，满足下面两个条件：满足下面两个条件：(1)(x)是一个不超过是一个不超过 n 次的多项式；次的多项式；(2)在给定的点在给定的点xi(I=0,1,n)上与上与 f(xi)取相同值，即取相同值，即 (xi)=yi (I=0,1,n)。我们称我们称(x)为为 f(x)的的插值函数插值函数插值函数插值函数，点，点 xi 为为插值节点插值节点插值节点插值节点。插值函数是计算方法的基本工具。插值函数是计算方法的基本工具。返回返回返回返回本讲稿第四十页，共八十九页若 n 次多项式 lj(x)(j=
19、0,1,.,n)在n+1个节点 x0 x1.xn上满足条件就称这n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点x0，x1，,xn上的n 次插值基函数次插值基函数。返回返回返回返回本讲稿第四十一页，共八十九页 插值余项插值余项：若在：若在a，b上用上用Pn(x)近似近似 f（x）,则截断误差为则截断误差为 Rn(x)=f(x)-Pn(x),也称为插值多项也称为插值多项式的式的余项余项。返回返回返回返回本讲稿第四十二页，共八十九页形如形如的插值多项式的插值多项式Pn(x)称为称为拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值多项式。返回返回返回返回本讲稿第四十三页，共八十九页2.4
20、 2.4 分段线性插值分段线性插值问题：从余项分析看，插值多项式与被插值多项式逼近的程度是同分点的数目及位置有关的，能否说，分点越多，插值多项式对函数的逼近程度越好呢？答案是否定的。例 给定函数 取等距插值节点 试建立插值多项式 ,并研究它的误差.本讲稿第四十四页，共八十九页例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)分段分段低次低次插值插值本讲稿第四十五页，共八十九页在每个区间在每个区间 上，用
21、上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):记记 ，易证：当，易证：当 时，时，一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。yxoy=f(x)y=p(x)本讲稿第四十六页，共八十九页分段线性插值函数分段线性插值函数：设在区间a,b上，给定n+1个插值节点和相应的函数值 求一个插值函数，具有下面性质：(1)（2）在每个小区间 上是线性函数，插值函数 叫做区间a,b上对数据 的分段线性插值函数。构造 数值表：需满足的条件：本讲稿第四十七页，共八十九页本讲稿第四十八页，共八十九页图示本讲稿第四十九页，共八十九页分段插值函数的形式：取等距插值节点，作分段线性插值函数 ,并计算 的值
22、。解解 给出区间-1,0上的函数表。X -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0Y 0.03846 0.05882 0.10000 0.20000 0.50000 0.0000例例3 给定函数本讲稿第五十页，共八十九页在0,1区间上的函数值可利用对称性得到，先构造各点的基函数：根据公式有：本讲稿第五十一页，共八十九页那么分段线性插值函数是计算当x=-0.9的值：与前面的计算相比，显然分段插值函数计算的结果是比较满意的。与前面的计算相比，显然分段插值函数计算的结果是比较满意的。定理定理2.4 设给定节点及相应的函数值在a,b上存在，是a,b上由数据 构成的分段分段线性插值函数.本讲稿第五
23、十二页，共八十九页则:证明证明：根据插值余项定理（2.1）在每个小区间上 有由于其中 本讲稿第五十三页，共八十九页由于由于定理得证定理得证.本讲稿第五十四页，共八十九页2.5 Hermite2.5 Hermite插值插值假设函数假设函数y=f(x)是是 在在a,b上有一定光滑性的函数上有一定光滑性的函数,在在xoxn上有上有n+1个异点个异点,f(x)在这些点上取值在这些点上取值yo.yn.求一个确定的函数求一个确定的函数p(x)在上面在上面n+1个点上满足个点上满足p(xi)=yi i=0,1,n.这是最简单的插值问题这是最简单的插值问题,如果除了知道如果除了知道f(x)在插值基点上的取值外
24、在插值基点上的取值外,还知道还知道f(x)在插值基点上的其在插值基点上的其他描述他描述(如知道如知道f(x)在插值基点上的导数值在插值基点上的导数值)。如何来。如何来构造插值函数呢构造插值函数呢?Hermite插值也叫带插值也叫带指定微商值的插值指定微商值的插值,它要构造它要构造一个插值函数一个插值函数,不但在给定节点上取函数值不但在给定节点上取函数值,而且取已而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好。本讲稿第五十五页，共八十九页设给定x0,x1和相应的函数y0,y1以及微商m0,m1,构造插值函数H(x),要求H(x)满足条件:(1)H
25、(x),是不超过三次多项式,(2)H(x0)=y0,H(x1)=y1,因为在 除函数值为零外，微商值也是零，所以有 另外，最多是一个三次多项式，因此可表示为：其中：利用 得a=1,在此应有 保证 为了确定b对 求微商：本讲稿第五十六页，共八十九页把x=x0代入后：（解出b）利用有：本讲稿第五十七页，共八十九页于是有：，此外 是一个不超过三次的多项式，于是函数可表示为：同理构造：下面构造，因 在上函数值为零,在 上微商值为零，故有因子 本讲稿第五十八页，共八十九页同理插值多项式可以写成：本讲稿第五十九页，共八十九页2.6 分段三次分段三次Hermite插值插值给定给定a,b上的一串分点上的一串分
26、点作一个分段三次Hermite插值函数，H（x），要求满足条件：(1),(2)在每个小区间 上是三次多项式。构造基函数：及f(x)在分点上的函数值和微商值 本讲稿第六十页，共八十九页本讲稿第六十一页，共八十九页本讲稿第六十二页，共八十九页分段三次Hermite插值函数本讲稿第六十三页，共八十九页样条插值函数（样条插值函数（Spline）样条：这一名词来源于工程中的样条曲线，绘图员为了将样条：这一名词来源于工程中的样条曲线，绘图员为了将 一些指定一些指定点联结成一条光滑曲线，往往用细长的木条，把相近的点联接在一点联结成一条光滑曲线，往往用细长的木条，把相近的点联接在一起，使之形成一条光滑的曲线。
27、它的连接点处具有连续的曲率。起，使之形成一条光滑的曲线。它的连接点处具有连续的曲率。设在区间设在区间a,b上取上取n+1个节点个节点.给定这些点上的函数值 ,现在要求构造一个三次样条函数S（x），使得满足下列条件：(1)(2)在每个小区间 上是一个三次多项式；(3).本讲稿第六十四页，共八十九页构造函数：假设在区间 上三次样条函数 存在，并用 来表示 在点xi处的微商值。由于曲线通过点 ,并且在每一个小区间 上满足条件：故可利用Hermite插值公式写出小区间 上的三次样条函数 的计算公式：本讲稿第六十五页，共八十九页求样点 上微商值 ，在样点 上对x求微商，并令 得：本讲稿第六十六页，共八十
28、九页由于二阶微商连续，因此 即本讲稿第六十七页，共八十九页整理：方程两边同时除以2得：本讲稿第六十八页，共八十九页将方程两端同时乘以 得：左端：其中：令本讲稿第六十九页，共八十九页右端：本讲稿第七十页，共八十九页建立的方程组为：（*）这是一个n+1个未知量 的n+1个线性方程组，方程组有无穷多个解，为了确定唯一解，补充两个边界条件。常见的边界条件有：（1）曲线在两端点x0,xn处的切线斜率已知，即 已知，那么由 构成的n-1个方程的方程组解唯一。（2）函数在两端点x0和xn处二阶微商的零，即 或，由我们推得 的方程得：本讲稿第七十一页，共八十九页于（*）式联立，也可唯一解出未知数 ,利用 的条
29、件有：利用 的条件有：本讲稿第七十二页，共八十九页解三对角方程组的求解过程其中 方程组写为：本讲稿第七十三页，共八十九页求递推公式：将 代入上列方程组，并加以整理得：记作以此类推得到：其中 这样，就可以逐个解出mi。本讲稿第七十四页，共八十九页计算三次样条的步骤：（1）根据给定点 及相应的边界条件计算方程组及边界条件系数 。（2）在给定的边界条件下解方程组，计算 。（3）由求得的 ，求出小区间 上的样条函数 。（4）计算区间上的样条插值函数 。*应当指出，样条函数不一定必须是逐段三次多项式，也可以逐段是一个简单的函数，且连续点保持足够的光滑。但三次多项式计算简单，且满足一般实际问题的要求，故用
30、得最多。本讲稿第七十五页，共八十九页本讲稿第七十六页，共八十九页算法算法（1）i=1,2,nhi=xi xi-1 （2）i=1,2,n（3）解n 1阶三对角方程组，得M1,M2,Mn-1 代入端点条件计算M0,Mn本讲稿第七十七页，共八十九页本讲稿第七十八页，共八十九页 在实际问题中，往往会遇到某函数f(x)是用表格表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他方法近似求导。插值法是我们找到的一个最简单的方法.因为用f(x)的代数插值函数p(x)来代替它，提醒我们用p(x)的导数来代替f(x)导数作近似计算。本讲稿第七十九页，共八十九页插值型求导公式插值型求导公式设设 n(x)是是f(x)的
31、过点的过点x0，x1，x2，xn a，b的的 n 次次插值多项式，由插值多项式，由Lagrange插值余项插值余项,对任意给对任意给定的定的x a，b，总存在如下关系式总存在如下关系式:若取数值微分公式若取数值微分公式误差为误差为:本讲稿第八十页，共八十九页因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值本讲稿第八十一页，共八十九页常用的数值微分公式是常用的数值微分公式是n=1,2,3的插值型微分公式的插值型微分公式,如如:当当n=1时时,有有当当n=2时时,有有本讲稿第八十二页，共八十九页综 合 练 习本讲稿第八十三页，共八十九页本讲稿第八十四页，共八十九页本讲稿第八十五页，共八十九页本讲稿第八十六页，共八十九页 四、例题四、例题 例1 已知函数f(x）的数值表如下：x 2 4 6 f(x)3 7 13 f(x)1 -1 试求f(x)在2,6上的三次样条插值函数及求f(3)解：这是第一类边界条件的问题，n=2,hi=2,由公式 本讲稿第八十七页，共八十九页 得方程组 M0 =1 0.5 M0 +2M1 +0.5 M2=15/2 M2=-1解得 M0 =1 ,M1 =15/4 M2=-1本讲稿第八十八页，共八十九页 本讲稿第八十九页，共八十九页