《计算机图形学第讲精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机图形学第讲精选文档.ppt（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、计算机图形学第讲本讲稿第一页，共四十七页第7章曲线与曲面曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程；1962年法国雷诺汽车公司的Bzier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前deCasteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的V
2、ersprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline，简称NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。本讲稿第二页，共四十七页q 曲线的表示形式曲线的表示形式7.1 曲线曲面基础曲线曲面基础r(t2)r(t1)OYXZ图7-1空间曲线平面曲线的直角坐标表示形式为：或其参数方程则为：平面上一点的位置可用自原点到该点的矢量表示：上式称为曲
3、线的矢量方程，其坐标分量表示式是曲线的参数方程。三维空间曲线可理解为一个动点的轨迹，位置矢量r随时间t变化的关系就是一条空间曲线。矢量方程为：三维空间曲线的参数方程为：本讲稿第三页，共四十七页法平面密切平面从切面tnbP图7-2曲线特性分析用s表示曲线的弧长，以弧长为参数的曲线方程称为自然参数方程。以弧长为参数的曲线，其切矢为单位矢量，记为t(s)。切矢t t(s)对弧长 s求导，所得导矢dt t(s)/ds与切矢相垂直，称为曲率矢量，如图7-2，其单位矢量称为曲线的单位主法矢，记为n n(s)，其模长称为曲线的曲率，记为k(s)。曲率的倒数称为曲线的曲率半径，记为 与t t和n n相互垂直的
4、单位矢量称为副法矢，记为b b(s)。由t和n张成的平面称为密切平面密切平面；由n和b张成的平面称为法平面法平面；由t和b张成的平面称为从切面从切面。本讲稿第四页，共四十七页q 曲面的表示形式 一般曲面可表示为：或其参数表达式为：曲面的矢量方程为：参数u、v的变化区间常取为单位正方形，即u,v0,1。x，y，z都是u和v二元可微函数。当(u，v)在区间0，1之间变化时，与其对应的点(x，y，z)就在空间形成一张曲面。u映射空间域空间域 参数域参数域v本讲稿第五页，共四十七页rvnruZvv3v2v1v0OuYXr(u,v)图7-3空间曲面r对u和v的一阶偏导数为：一阶偏导数ru(u，v)和rv
5、(u，v)继续对u，v求偏导数，得到四个二阶偏导数ruu、ruv、rvu、rvv：本讲稿第六页，共四十七页 直纹面直纹面 旋转面旋转面“线动成面线动成面线动成面线动成面”双线性插值曲面双线性插值曲面 本讲稿第七页，共四十七页Coons曲面是已知曲面片的四条边界曲线，由两张直纹曲面的和减去一张双线性插值曲面得到的：这种布尔和形式的曲面是Coons于1967年研究的，拼合时，整张曲面C0连续，即位置连续。要达到C1连续，必须考虑跨界切矢的插值。CoonsCoons曲面（麻省理工学院）曲面（麻省理工学院）本讲稿第八页，共四十七页双线性插值曲面，采用了双线性插值曲面，采用了“先定义线，然后线动成面先定
6、义线，然后线动成面”的思想。张量积曲面也的思想。张量积曲面也是采用是采用“线动成面线动成面”的思想，是的思想，是CAGD中应用最广泛的一类曲面生成方法中应用最广泛的一类曲面生成方法 参数参数u u的分割：的分割：及其上的及调配函数及其上的及调配函数参数参数v v的分割：的分割：及其上的及调配函数及其上的及调配函数定定义义在在uv uv 平平面面的的矩矩形形区区域域上上的的这这张张曲曲面面称为张量积曲面。称为张量积曲面。张张量量积积曲曲面面的的特特点点是是将将曲曲面面问问题题化化解解为为简简单单的的曲曲线线问问题题来来处处理理，适适用用于于拓拓扑扑上上呈呈矩矩形的曲面形状。形的曲面形状。映射空间
7、域空间域 参数域参数域vu 张量积曲面张量积曲面本讲稿第九页，共四十七页切矢方向与模：切矢方向与模：方向相同，模不同，方向相同，模不同，G G1 1连续；连续；方向相同，模相同，方向相同，模相同，CC1 1连续；连续；已知曲线r1(u)的末端和曲线r2(v)的首端相连，其不同阶次连续性的要求如下：位置连续位置连续位置连续位置连续(C(C(C(C0 0 0 0)：曲线段r1(u)的末端与曲线段r2(v)的首端达到位置连续的条件为：r1(1)r2(0)斜率连续斜率连续斜率连续斜率连续(C(C1 1):曲线段r1(u)的末端与曲线段r2(v)的首端达到斜率连续的条件为：若k=1，说明曲线段r1(u1
8、)的末端切矢与曲线段r2(u2)的首端切矢方向相同、模长相等，称为C1连续。若k1，则说明两段曲线在公共连接点处切矢方向相同，但模长不相等，这种情况是几何连续的，称为G1连续，也称视觉连续。曲率连续曲率连续曲率连续曲率连续(C(C2 2):两曲线段曲率连续应满足：(1)位置连续；(2)斜率连续；(3)曲率相等且主法线方向一致。对于曲面片，若两个曲面片在公共连接线上处处满足上述各类连续性条件，则两个曲面片之间有同样的结论。G2连续满足条件:几何意义是：曲线段几何意义是：曲线段r r r r2 2(u)(u)首端的二阶导矢应首端的二阶导矢应处在由曲线段处在由曲线段r r r r1 1(v)(v)末
9、端的二阶导矢和一阶末端的二阶导矢和一阶导矢所张成的平面内。导矢所张成的平面内。C2连续满足条件:q 曲线曲面的光滑连接曲线曲面的光滑连接本讲稿第十页，共四十七页q 曲线设计基础 插值曲线和逼近曲线（插值曲线和逼近曲线（InterpolationcurveandApproximationcurveInterpolationcurveandApproximationcurve）（拟合曲线）（拟合曲线 FitnessCurveFitnessCurve）原始数据点精确原始数据点不精确XYXY由一组基函数及相联系的系数矢量来表示：由一组基函数及相联系的系数矢量来表示：采用不同的基函数，曲线的数学表示方法
10、就不同。基函数一旦确定，系数矢量就完全定采用不同的基函数，曲线的数学表示方法就不同。基函数一旦确定，系数矢量就完全定义了曲线。义了曲线。计算机辅助几何设计计算机辅助几何设计(CAGD)(CAGD)中的曲线的一般表示形式中的曲线的一般表示形式规规范范基基表表示示具具有有几几几几何何何何不不不不变变变变性性性性。即即同同样样的的点点在在不不同同坐坐标标系系中中生生成成的的曲曲线线相相同同。抛抛物物线线方方程程不具有几何不变性。不具有几何不变性。若若称为规范基。称为规范基。本讲稿第十一页，共四十七页n次多项式的全体构成n次多项式空间，在其中任选一组线性无关的多项式都可以作为基。幂基ui，i=0，1，
11、n是最简单的多项式基，相应的参数多项式曲线方程为：对于给定的n+1个数据点Pi，i=0,1,2,n，欲构造其插值曲线或逼近曲线，必先得到对应于各数据点Pi的参数值ui，ui是一个严格递增的序列U：u0u1un采用不同的参数化，得到的曲线也不同。常用的参数化方法：(1)均匀参数化(等距参数化)(2)积累弦长参数化(3)向心参数化(4)修正弦长参数化对给定数据点实行参数化，将参数值ui代入上述方程，使之满足插值条件：，i=0,1,n 得一组线性方程组：参数多项式曲线参数多项式曲线本讲稿第十二页，共四十七页解线性方程组，可得唯一解。幂基多项式曲线方程中的系数矢量几何意义不明确，构造曲线时，需解线性方
12、程组，n较大时，不可取。其它多项式插值曲线如Lagrange、Newton、Hermite等较之幂基多项式曲线在计算性能等方面有较大改进，但总体上多项式曲线存在两个问题：l次数增高时，出现多余的拐点；l整体计算，一个数据点的微小改动，可能引起曲线整体大的波动。本讲稿第十三页，共四十七页由于高次多项式曲线存在缺陷，单一低次多项式曲线又难以描述复杂形状的曲线。由于高次多项式曲线存在缺陷，单一低次多项式曲线又难以描述复杂形状的曲线。所以采用所以采用低次多项式按分段的方式低次多项式按分段的方式低次多项式按分段的方式低次多项式按分段的方式在一定连续条件下拼接复杂的组合曲线是唯一在一定连续条件下拼接复杂的
13、组合曲线是唯一的选择。的选择。q 低次多项式组合曲线低次多项式组合曲线y y1 1(x)=a(x)=a1 1+b+b1 1x+cx+c1 1x x2 2+d+d1 1x x3 3y y2 2(x)=a(x)=a2 2+b+b2 2x+cx+c2 2x x2 2+d+d2 2x x3 3y y3 3(x)=a(x)=a3 3+b+b3 3x+cx+c3 3x x2 2+d+d3 3x x3 3以三次多项式为例：以三次多项式为例：“线动成面”如何选择基函数使系数具有几何意义，且操作方便，易于修改是曲线曲面设计方法的发展方向。本讲稿第十四页，共四十七页q q 三次样条函数（三次样条函数（Spline
14、Spline）Schoenberg于1946年提出,国外60年代广泛研究,国内70年代开始。R(x)R(x)梁的曲率半径梁的曲率半径梁的曲率半径梁的曲率半径 M(x)M(x)作用在梁上的弯矩作用在梁上的弯矩作用在梁上的弯矩作用在梁上的弯矩E E 材料的弹性模量材料的弹性模量材料的弹性模量材料的弹性模量I I 梁横截面的惯性矩梁横截面的惯性矩梁横截面的惯性矩梁横截面的惯性矩在梁弯曲不大的情况下，y1,简化为：y(x)M(x)y(x)是x的三次多项式，这就是插值三次样条函数的物理背景。q q 样条曲线的物理背景样条曲线的物理背景样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞
15、机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线y(x)。7.2三次样条曲线曲面本讲稿第十五页，共四十七页（1 1）样条是物质连续的，相当于函数）样条是物质连续的，相当于函数C C0 0连续；连续；（2 2）样条在压铁两侧斜率相同，相当于函数）样条在压铁两侧斜率相同，相当于函数C C1 1连续；连续；（3 3）样条在压铁两侧曲率相同，相当于函数）样条在压铁两侧曲率相同，相当于函数C C2 2连续；连续；q q 三次样条函数的数学描述三次样条函数的数学描述在区间在区间a,ba,b上给定一个分割上给定一个分割：a=xa=x1 1xx2 2 xxn n=b,=
16、b,则称在区间则称在区间a,ba,b上满足下列条件的函数上满足下列条件的函数S(x)S(x)为三次样条函数：为三次样条函数：（1 1）给定一组型值点）给定一组型值点（x xi i,y,yi i)(i=1,2,(i=1,2,n,n）,S(x),S(x)满足满足S(xS(xi i)y yi i，（2 2）在每个子区间）在每个子区间xxi-1i-1,x,xi i（i=1,2,i=1,2,n,n）上为三次多项式）上为三次多项式;（3 3）在整个区间）在整个区间a,ba,b上具有直到二阶连续的导数，即在内节点上具有直到二阶连续的导数，即在内节点x xi i处，处，i=2,3,i=2,3,n-1,k=0,
17、1,2,n-1,k=0,1,2则称则称S(x)S(x)为插值三次样条函数；为插值三次样条函数；(xi-1,yi-1)(xi,yi)t ti-1i-1ti S(x)=ai+bix+cix2+di x3 i=1,2,n S(xi-1)=yi-1 S(xi)=yi S(xi-1)=ti-1 S(xi)=tiqq 物理样条的性质物理样条的性质本讲稿第十六页，共四十七页qq用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数mm关系式关系式关系式关系式 插值三次样条函数有两种常用的表达方式，一种是
18、用型值点处的一阶导数表示的mm关系式关系式；一种是用型值点处二阶导数表示的MM关系式关系式。本书重点介绍m关系式。给定一组型值点(xi,yi)(i=1,2,n)，mi为(xi,yi)处的斜率。第i段样条函数可表示为：该段曲线的首端通过(xi1,yi1)，斜率为mi1，末端通过(xi,yi)，斜率为mi，样条连续条件可表达为：将yi(x)代入，得：yi(x)=ai+bix+cix2+dix3(xi-1,yi-1)(xi,yi)mi-1mi(x0,y0)(xn,yn)mnm0图7-4型值点和斜率(xi+1,yi+1)mi+1yi+1(x)=ai+1+bi+1x+ci+1x2+di+1x3本讲稿第十
19、七页，共四十七页将所求系数代入样条函数表达式，得：本讲稿第十八页，共四十七页式中xi-1xxi(i=1,2,n)上述公式为。只要求解出型值点处的斜率mi(i=0,1,2,n),就可以应用上述公式计算插值三次样条函数的函数值、一阶导数和二阶导数。以(xi-1+hi)代替xi，代入yi(x)的表达式，并按(x-xi-1)的幂次整理成如下矩阵表达式：插值三次样条函数的基本公式插值三次样条函数的基本公式插值三次样条函数的基本公式插值三次样条函数的基本公式本讲稿第十九页，共四十七页qq 插值三次样条函数的矩阵表达式：插值三次样条函数的矩阵表达式：插值三次样条函数的矩阵表达式：插值三次样条函数的矩阵表达式
20、：式中xi-1xxi(i=1,2,n)若令若令hi=1，t=x-xi-1,0t1,则得到则得到均匀参数插值三次样条均匀参数插值三次样条均匀参数插值三次样条均匀参数插值三次样条。1963年美国波音公司的年美国波音公司的Ferguson用于飞机设计的参数三次方程即是均匀参数插值三次样条曲线用于飞机设计的参数三次方程即是均匀参数插值三次样条曲线:其中P(t)表示位置矢量，P(t)表示切矢由上述样条函数公式可以看出，构造插值三次样条时除已经给定的型值点外，由上述样条函数公式可以看出，构造插值三次样条时除已经给定的型值点外，还必须得到型值点处的切矢。为了计算型值点处的切矢还必须得到型值点处的切矢。为了计
21、算型值点处的切矢mi(i=0,1,2,n)，可以，可以利用前、后二曲线段在型值点处的二阶导数连续的条件：利用前、后二曲线段在型值点处的二阶导数连续的条件：本讲稿第二十页，共四十七页q 三次样条函数的三次样条函数的mm连续性方程连续性方程 代入样条函数二阶导数表达式，整理得：三次样条函数的m连续性方程(xi-1,yi-1)(xi,yi)(xi+1,yi+1)计入首末点的切矢，共有计入首末点的切矢，共有n+1个未知量个未知量mi(i=0,1,2,n)，但只有，但只有n-1个方程，需要补充两个方个方程，需要补充两个方程才能求解。指定整条曲线的首末点的端点条件，即可以用追赶法求解三对角方程组得到各型值
22、程才能求解。指定整条曲线的首末点的端点条件，即可以用追赶法求解三对角方程组得到各型值点出的切矢点出的切矢（详见（详见（详见（详见P.185-186P.185-186）。本讲稿第二十一页，共四十七页qq 三次样条函数的计算步骤三次样条函数的计算步骤（1）给定一组型值点Pi(xi,yi,zi)，i=0，1，n，构造三个关于参数u的插值三次样条函数：（2）计算各数据点Pi的参数值ui，参数u有多种选择，采用累加弧长是最直观的。但由于在得到曲线之前，无法计算弧长。实际应用中多采用累加弦长作为参数构造样条曲线，并称其为累加弦长参数样条曲线，简称参数样条曲线。ui的计算公式如下：所得ui是一个严格递增的序
23、列：u0u1un（3）依据参数及型值点的数据表,分别构造插值样条函数x=x(u),y=y(u),z=z(u)，得到分段三次多项式函数组合的参数样条曲线。uu0 u1 u2 unxx0 x1 x2 xnyy0 y1 y2 ynzz0 z1 z2 zn本讲稿第二十二页，共四十七页实际应用中很难给出数据点处的切矢。采用不同的方法计算切矢，生成的曲线不相同。这实际应用中很难给出数据点处的切矢。采用不同的方法计算切矢，生成的曲线不相同。这说明这种方法还不是纯几何的方法，根据给定的数据点，不能唯一地确定曲线。说明这种方法还不是纯几何的方法，根据给定的数据点，不能唯一地确定曲线。绘图过程中几何意义不够明显。
24、绘图过程中几何意义不够明显。切矢计算是整体求解，改变一点，所有切矢计算结果都发生变化，不局部局部修改性。切矢计算是整体求解，改变一点，所有切矢计算结果都发生变化，不局部局部修改性。对于均匀参数三次样条曲线，当相邻弦长相差悬殊时，弦长短的曲线段因两端切矢模长与对于均匀参数三次样条曲线，当相邻弦长相差悬殊时，弦长短的曲线段因两端切矢模长与弦长相比过大而出现尖点或纽结。弦长相比过大而出现尖点或纽结。当型值点分布不匀称时，不适宜构造参数样条曲面。当型值点分布不匀称时，不适宜构造参数样条曲面。q 三次样条函数的特点三次样条函数的特点 图7-5 型值点分布匀称情形 图7-6 型值点分布不匀称情形本讲稿第二
25、十三页，共四十七页19631963年首先在飞机设计中使用。年首先在飞机设计中使用。根据如下的张量积曲面公式根据如下的张量积曲面公式,一张曲面可以表示一张曲面可以表示成成:根据根据“线动成面线动成面”的思想，的思想，Furgeson曲面的矩阵表示如下：曲面的矩阵表示如下：用上述用上述Furgeson曲面片组合的曲面在连接处满足位置连续和导矢连续，曲面片组合的曲面在连接处满足位置连续和导矢连续，即即C1连续。其关键在于曲面片角点导矢的计算连续。其关键在于曲面片角点导矢的计算。qFurgesonFurgeson曲面曲面(三次均匀参数样条曲面三次均匀参数样条曲面)*)*(可选讲)本讲稿第二十四页，共四
26、十七页Bzier曲曲线线是是法法国国雷雷诺诺汽汽车车公公司司的的工工程程师师Bzier于于1962年年提提出出。1972年年在在UNISURF系系统统中中正正式式投投入入使使用用。Bzier曲曲线线采采用用一一组组特特殊殊的的基基函函数数，使使得得基基函函数的系数具有明确的几何意义。其曲线方程：数的系数具有明确的几何意义。其曲线方程：0t1其中从其中从a0到到an首尾相连的折线称为首尾相连的折线称为Bzier控制多边形。控制多边形。i=0,1,n当n=3时:7.3 Bzier曲线和曲面曲线和曲面a0a1a2a3(注：注：Bzier本人也不能解释该公式的来源本人也不能解释该公式的来源)f0(t)
27、f1(t)f2(t)f3(t)110ai为相对位置矢量本讲稿第二十五页，共四十七页英国的英国的英国的英国的ForestForest于于于于19721972年将上述年将上述年将上述年将上述BzierBzier曲线中的控制多边形顶点改为绝对位置矢量的曲线中的控制多边形顶点改为绝对位置矢量的曲线中的控制多边形顶点改为绝对位置矢量的曲线中的控制多边形顶点改为绝对位置矢量的BernsteinBernstein基表示形式：基表示形式：基表示形式：基表示形式：0t10t1i=0,1,i=0,1,n,n当当n=3时时:B B0,30,3(t)(t)B B2,32,3(t)(t)B B1,31,3(t)(t)B
28、 B3,33,3(t)(t)三次三次三次三次BzierBzier曲线的矩阵表示形式为：曲线的矩阵表示形式为：曲线的矩阵表示形式为：曲线的矩阵表示形式为：d0d1d2d3di为绝对位置矢量本讲稿第二十六页，共四十七页 单一单一单一单一BzierBzier曲线不能满足描述复杂形状的要求，必须采用组合曲线不能满足描述复杂形状的要求，必须采用组合曲线不能满足描述复杂形状的要求，必须采用组合曲线不能满足描述复杂形状的要求，必须采用组合BzierBzier曲线。曲线。曲线。曲线。参参参参数数数数连连连连续续续续是是是是对对对对曲曲曲曲线线线线光光光光顺顺顺顺性性性性的的的的过过过过分分分分要要要要求求求求
29、，在在在在组组组组合合合合曲曲曲曲线线线线的的的的连连连连接接接接点点点点处处处处，参参参参数数数数连连连连续续续续不不不不仅仅仅仅要要要要求求求求切切切切矢矢矢矢具有共同的切矢方向，而且要求切矢模长相等。具有共同的切矢方向，而且要求切矢模长相等。具有共同的切矢方向，而且要求切矢模长相等。具有共同的切矢方向，而且要求切矢模长相等。几几几几何何何何连连连连续续续续只只只只要要要要求求求求在在在在连连连连接接接接点点点点处处处处切切切切矢矢矢矢方方方方向向向向相相相相同同同同，切切切切矢矢矢矢模模模模长长长长可可可可以以以以不不不不相相相相等等等等，由由由由此此此此产产产产生生生生了了了了不不不不
30、同同同同控控控控制制制制手手手手段段段段的的的的多多多多种种种种曲曲曲曲线线线线，如如如如Gamma(Gamma()样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线、Beta(Beta()样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线等等等等，给给给给曲曲曲曲线线线线设设设设计计计计提提提提供供供供了了了了极大的灵活性。极大的灵活性。极大的灵活性。极大的灵活性。若若若若要要要要组组组组合合合合BzierBzier曲曲曲曲线线线线在在在在连连连连接接接接点点点点处处处处具具具具有有有有一一一一定定定定的的的的连连连连续续续续性性性性，构构构构成成成成曲曲曲曲线线线线的的的的位位位位置置置置点点点点矢矢矢矢量量量量之之之之间间
31、间间存存存存在在在在约约约约束束束束条条条条件件件件，可用可用可用可用BzierBzier曲线方程的一阶、二阶导数推导。曲线方程的一阶、二阶导数推导。曲线方程的一阶、二阶导数推导。曲线方程的一阶、二阶导数推导。BzierBzier曲曲曲曲线线线线的的的的优优优优点点点点是是是是具具具具有有有有明明明明确确确确的的的的几几几几何何何何意意意意义义义义，给给给给定定定定数数数数据据据据点点点点的的的的控控控控制制制制多多多多边边边边形形形形确确确确定定定定曲曲曲曲线线线线的的的的形状，在设计过程中具有很强的可操作性。形状，在设计过程中具有很强的可操作性。形状，在设计过程中具有很强的可操作性。形状，
32、在设计过程中具有很强的可操作性。对对对对于于于于局局局局部部部部参参参参数数数数的的的的BzierBzier曲曲曲曲线线线线，当当当当弦弦弦弦长长长长差差差差异异异异较较较较大大大大时时时时，弦弦弦弦长长长长较较较较长长长长的的的的那那那那段段段段曲曲曲曲线线线线过过过过分分分分平平平平坦坦坦坦，弦弦弦弦长较短的那段曲线则臌得厉害。长较短的那段曲线则臌得厉害。长较短的那段曲线则臌得厉害。长较短的那段曲线则臌得厉害。d0d1d2d3组合组合BzierBzier曲线示意图曲线示意图qq Bzier Bzier曲线的特点曲线的特点曲线的特点曲线的特点本讲稿第二十七页，共四十七页给定空间给定空间16个
33、位置点个位置点rij，可以确定一张三次，可以确定一张三次Bezier曲面片。曲面片。首先生成四条首先生成四条v向的三次向的三次Bezier曲线：曲线：根据根据“线动成面线动成面”的思想，按设定间隔取的思想，按设定间隔取 ，在四条，在四条v v线上取点，沿线上取点，沿u u向生成三次向生成三次BezierBezier曲曲线：线：qBzier曲面片rijuvuvV*uv将u,v向曲线方程合并得：本讲稿第二十八页，共四十七页qq B Bzier曲面片的矩阵表达式rijuv本讲稿第二十九页，共四十七页用用Bzier曲曲面面片片组组合合曲曲面面时时,曲曲面面拼拼合合处处位位置置连连续续,要求要求:r1(
34、1,v)=r2(0,v)1 1 1 1AM1AT=1 0 0 0AM2AT 即即:,:,上图即为两张上图即为两张C C0 0连续的连续的B Bzierzier曲面片曲面片.qC0 0连续的连续的BzierBzier组合曲面组合曲面(位置连续位置连续)曲面片1曲面片2本讲稿第三十页，共四十七页若要得到跨界一阶导矢的连续性若要得到跨界一阶导矢的连续性,对于对于0v1,0v1,曲面片曲面片1 1在在u=1u=1的切平面和曲面片的切平面和曲面片2 2在在u=0u=0处的切平面重合处的切平面重合,曲面的法矢在跨界处曲面的法矢在跨界处连续连续,即即:其中其中()()是考虑法矢模长的不连续是考虑法矢模长的不
35、连续.组合曲面所有等组合曲面所有等v v线的梯度连续用矩阵表示为线的梯度连续用矩阵表示为:表明跨界的四对棱边必须共线。表明跨界的四对棱边必须共线。取取()=()=，因为因为令令qqCC1 1连续的Bzier组合曲面(导矢连续)曲面片1曲面片2本讲稿第三十一页，共四十七页BB样条曲线是样条曲线是SchocenbergSchocenberg于于19461946年提出的，年提出的，19721972年年deBoordeBoor和和CoxCox分别给出分别给出B B样条的标准算法。作为样条的标准算法。作为CAGDCAGD的一种形状描述的数学方法是的一种形状描述的数学方法是GordonGordon和和Ri
36、esenfeldRiesenfeld于于19741974年在研究年在研究BzierBzier曲线的基础上给出的曲线的基础上给出的44。BB样样条曲线方程为：条曲线方程为：其中其中d di i，i i0 0，1 1，.，n n为控制顶点为控制顶点KK次规范次规范次规范次规范B B样条基函数样条基函数样条基函数样条基函数N Ni,Ki,K(u)(u)（i i0 0，1 1，n n）定义如下：）定义如下：）定义如下：）定义如下：i i i i（i=0i=0i=0i=0，1 1 1 1，n n n n）是对应于给定数据点的节点参数。）是对应于给定数据点的节点参数。）是对应于给定数据点的节点参数。）是对
37、应于给定数据点的节点参数。7.4 B样条曲线和曲面样条曲线和曲面本讲稿第三十二页，共四十七页当当K3，且采用均匀参数化时，得到三次均匀，且采用均匀参数化时，得到三次均匀B样条曲线：样条曲线：0t0t 1 1，i i0,1,0,1,n-3,n-3 在分段连接点处在分段连接点处B B样条曲线的值和导矢量为：样条曲线的值和导矢量为：q 均匀均匀B B样条曲线样条曲线本讲稿第三十三页，共四十七页对对于于三三次次均均匀匀B样样条条曲曲线线，计计算算对对应应于于参参数数ui,ui+1这这段段曲曲线线上上的的一一点点，要要用用到到Ni-3,3(u)、Ni-2,3(u)、Ni-1,3(u)、Ni,3(u)四四
38、个个基基函函数数，涉涉及及ui-3到到ui+4共共8个个节节点点的的参参数数值。值。B样样条条曲曲线线的的基基函函数数是是局局部部支支撑撑的的，修修改改一一个个数数据据点点，在在修修改改处处影影响响最最大大，对对其其两两侧侧的的影影响响快快速速衰衰减减，其其影影响响范范围围只只有有前前后后各各K段段曲曲线线，对对曲曲线线的的其其它它部部分分没没有有影影响响。这这是是计计算算机机辅辅助助几几何何设设计计所所需需要要的的局局部部修修改改性性。均均匀匀B样样条条曲曲线线未未考考虑虑曲曲线线数数据据点点的的分分布布对对参参数数化化的的影影响响，当当曲曲线线弦弦长长差差异异较较大大时时，弦弦长长较较长长
39、的的曲曲线线段段比比较较平平坦坦，而而弦弦长较短的曲线段则臌涨，甚至于因过长较短的曲线段则臌涨，甚至于因过“冲冲”而产生而产生“纽结纽结”。本讲稿第三十四页，共四十七页q 均匀均匀均匀均匀B B样条曲面样条曲面样条曲面样条曲面给定16个顶点dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4)构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22参数v在0,1之间取值vk，对应于vk曲线C1、C2、C
40、3和C4上可得到V1k、V2k、V3k和V4k四个点，该四点构成u向的一个特征多边形，定义一条新的曲线P(u,vk)；uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k当参数vk在0,1之间取不同值时，P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由给定特征网格dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)定义的双三次均匀B样条曲面片P(u,v)。本讲稿第三十五页，共四十七页d24uvV1kd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2V2kV3kV4kd41P(u,vK)d22qq 双三次均匀双三次均匀B B样条曲面样条曲面P(u,v)P(u,v)的矩阵表示本
41、讲稿第三十六页，共四十七页考考虑虑曲曲线线弦弦长长的的影影响响，则则曲曲线线的的基基函函数数不不再再具具有有同同样样的的格格式式，必必须须根根据据给给定定数数据据点点进进行行弦弦长长参参数数化化，然然后后根根据据基基函函数数的的定定义义用用如如下下的的曲曲线线方程计算各段曲线上的点：方程计算各段曲线上的点：非非均均匀匀B B样样条条曲曲线线考考虑虑了了弦弦长长的的影影响响，曲曲线线不不会会因因为为节节点点分分布布不不均均匀匀而而产产生生过过冲冲和和纽纽结结。非非均均匀匀B B样样条条曲曲线线比比均均匀匀B B样样条曲线具有更好的光顺性。条曲线具有更好的光顺性。7.5非均匀有理B样条曲线曲面q
42、q 非均匀非均匀B样条曲线曲面样条曲线曲面非均匀B样条均匀B样条本讲稿第三十七页，共四十七页 根据曲线方程，计算曲线上的点需要对应参数区间上的基函数的值和控制根据曲线方程，计算曲线上的点需要对应参数区间上的基函数的值和控制根据曲线方程，计算曲线上的点需要对应参数区间上的基函数的值和控制根据曲线方程，计算曲线上的点需要对应参数区间上的基函数的值和控制多边形的顶点。基函数的值根据给定数据点的参数化进行计算。多边形的顶点。基函数的值根据给定数据点的参数化进行计算。多边形的顶点。基函数的值根据给定数据点的参数化进行计算。多边形的顶点。基函数的值根据给定数据点的参数化进行计算。控制多边形的顶点依据曲线是
43、否通过给定数据点确定，若生成的曲线不控制多边形的顶点依据曲线是否通过给定数据点确定，若生成的曲线不控制多边形的顶点依据曲线是否通过给定数据点确定，若生成的曲线不控制多边形的顶点依据曲线是否通过给定数据点确定，若生成的曲线不通过给定数据点，则给定数据点就是控制多边形顶点。通过给定数据点，则给定数据点就是控制多边形顶点。通过给定数据点，则给定数据点就是控制多边形顶点。通过给定数据点，则给定数据点就是控制多边形顶点。若生成的曲线通过给定数据点，则首先必须根据给定数据点反求控若生成的曲线通过给定数据点，则首先必须根据给定数据点反求控若生成的曲线通过给定数据点，则首先必须根据给定数据点反求控若生成的曲线
44、通过给定数据点，则首先必须根据给定数据点反求控制多边形的顶点，然后再代入曲线。制多边形的顶点，然后再代入曲线。制多边形的顶点，然后再代入曲线。制多边形的顶点，然后再代入曲线。qq 非均匀非均匀B B样条曲线的实现样条曲线的实现本讲稿第三十八页，共四十七页给定数据点di(i=0,1,n-1)就是控制多边形的顶点。对于开口曲线对于开口曲线，n个数据点只画n-3段曲线，需n-2个节点参数。而计算Ui,Ui+1上的一点，要用到除它们之外的前3个和后3个节点参数，所以在首尾各添加3个节点参数，一共需要n+4个节点参数值。为使曲线过给定数据的首末点，令U0=U1=U2=0；Un+1=Un+2=Un+3=1
45、；全部节点参数为：用HartleyJudd方法，即所画曲线段对应的控制多边形的长度与总控制多边形的长度之比确定节点参数。U0=U1=U2=0；U UK K，U UK K1 1，U Un n；Un+1=Un+2=Un+3=1；qq 不过点三次非均匀不过点三次非均匀不过点三次非均匀不过点三次非均匀B B B B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线本讲稿第三十九页，共四十七页对对对对于于于于闭闭闭闭合合合合曲曲曲曲线线线线，n个个数数据据点点画画n段段曲曲线线，需需n1个个节节点点参参数数曲曲线线；首首尾尾各各添添加加3个个节节点点参参数数，共共n7个个节节点点参参数数。由由于于不不过过点点闭闭合合曲曲
46、线线，不不通通过过控控制多边形的首末点，全部节点参数为：制多边形的首末点，全部节点参数为：U00U1U2UKUK1Un3Un+4Un+5Un+6=1 各节点的参数值采用各节点的参数值采用HartleyJudd方法。计算出节点参数后，就可以计方法。计算出节点参数后，就可以计算基函数算基函数Ni,K(u)的值，然后用曲线方程计算各段曲线上的点的值，然后用曲线方程计算各段曲线上的点本讲稿第四十页，共四十七页对于过点曲线，给定的数据点对于过点曲线，给定的数据点Pi(i=0,1,n-1)是曲线上的点。由曲是曲线上的点。由曲线方程知，必须先计算出节点参数，再计算基函数线方程知，必须先计算出节点参数，再计算
47、基函数Ni,K(u)的值，代入的值，代入曲线方程，才能反算出控制多边形的顶点：曲线方程，才能反算出控制多边形的顶点：n个个数数据据点点，反反求求出出n+2个个控控制制顶顶点点，画画n-1段段曲曲线线，需需n个个节节点点参参数数；首首尾尾各各添添加加3个个节节点点参参数数，一一共共需需要要n+6个个节节点点参参数数值值；在在曲曲线线首首端端重重3段段曲曲线线首首段段的的长长度度，在在曲曲线线的的末末端端重重3段段曲曲线线末末段的长度。所有节点参数为：段的长度。所有节点参数为：U00U1U2UKUK1Un2Un+3Un+4Un+5=1 i=1,2,i=1,2,n+5,L,n+5,L为包含附加段在内
48、的总长。为包含附加段在内的总长。qq 过点三次非均匀过点三次非均匀B B样条曲线样条曲线本讲稿第四十一页，共四十七页根据节点矢量计算基函数根据节点矢量计算基函数Ni,K(u)的值，代入曲线方程可以计算的值，代入曲线方程可以计算n个个已知的曲线上的点，得如下方程：已知的曲线上的点，得如下方程：写成矩阵形式如下：对于开口曲线对于开口曲线对于开口曲线对于开口曲线，d0=P0,dn+1=Pn-1，上述方程组是，上述方程组是“追赶法追赶法”能够求解的能够求解的三对角方程。求出三对角方程。求出d0,d1,dn,dn+1共共n+2个控制顶点，即可以画出个控制顶点，即可以画出n-1曲线。曲线。（闭合曲线省略闭
49、合曲线省略闭合曲线省略闭合曲线省略）本讲稿第四十二页，共四十七页wi，i=0，1，n称为权因子；Ni,K(u)是B样条的基函数q 有理有理有理有理B B样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线非均匀B样条考虑节点分布不匀称的影响，但与所有已介绍的计算曲线一样，非均匀B样条不能精确表达二次曲线曲面，采用有理B样条，可以统一表达自由曲线曲面和二次曲线曲面。有理B样条曲线的表达式为：当Ni,K(u)是均匀基函数时，p(u)为均匀有理B样条曲线；当Ni,K(u)是非均匀基函数时，p(u)为非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline，简称NURBS)曲线；通通过过合合理理的的定定义
50、义权权系系数数，NURBS曲线能够精确地描述二次圆锥曲线。目前已纳入到产品形状定义的工业标准之中。本讲稿第四十三页，共四十七页曲线设计方法的关键在于曲线设计方法的关键在于基函数的选择基函数的选择基函数的选择基函数的选择，选择合适的基函数能够使系数，选择合适的基函数能够使系数矢量具有更明确的矢量具有更明确的几何意义几何意义几何意义几何意义，绘图操作简单直观。，绘图操作简单直观。基函数和参数化方法的选择对曲线的精度、光顺性、局部修改基函数和参数化方法的选择对曲线的精度、光顺性、局部修改性具有决定性的影响。性具有决定性的影响。整个曲线设计方法的改进方向是在提高精度、保证光顺性的同时追求整个曲线设计方