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1、高三数学多面体与球本讲稿第一页，共十九页56立体几何多面体与球 本讲稿第二页，共十九页要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展误 解 分 析多面体与球多面体与球本讲稿第三页，共十九页要点要点疑点疑点考点考点一、多面体一、多面体(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.(2)把把多多面面体体的的任任何何一一面面伸伸展展为为平平面面，如如果果所所有有其其他他各各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫凸多面体面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫凸多面体.(3)每每个个面面都都是是有有相相同同边边数数的的正正多多边边形形，且且以以每每个个顶顶点点为其
2、一端都有相同数目的棱的凸多面为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫正多面体体，叫正多面体.1.1.概念概念本讲稿第四页，共十九页(1)设设简简单单多多面面体体的的顶顶点点数数为为V，面面数数为为F，棱棱数数为为E，则它们的关系为则它们的关系为V+F-E=2 2.2.欧拉公式欧拉公式(2)设正多面体每个面是正设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有边形，每个顶点有m条棱，顶点数为条棱，顶点数为V，面数为，面数为F，则棱数，则棱数或或本讲稿第五页，共十九页二、球二、球(1)半半圆圆以以它它的的直直径径为为旋旋转转轴轴，旋旋转转所所成成的的曲曲面面叫叫球球面面，球面围成的几何体叫球体球面围成的几何体叫
3、球体.(2)球球面面也也可可看看成成是是与与定定点点(球球心心)距距离离等等于于定定长长(半半径径)的所有点的集合的所有点的集合.1.1.概念概念本讲稿第六页，共十九页(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心和截面圆心的连线垂直于截面；2.2.性质性质(2)球心到截面的距离球心到截面的距离d与球的半径与球的半径R及截面半径及截面半径r有如下关系：有如下关系：本讲稿第七页，共十九页3.3.球面距离球面距离4.4.表面积与体积表面积与体积 为为A、B对球心的张角，对球心的张角，R为球半为球半径径.).)返回返回本讲稿第八页，共十九页A1.一一个个四四面面体体的的所所有有棱棱长长都都为为2，四四个
4、个顶顶点点在在同同一一球球面面上，则此球的表面积为上，则此球的表面积为()(A)(B)(C)(D)A2.已已知知一一个个简简单单多多面面体体的的各各个个顶顶点点处处都都有有三三条条棱棱，则则顶顶点点数数V与面数与面数F满足的关系式是满足的关系式是()(A)2F+V=4 (B)2F-V=4 (C)2F+V=2 (D)2F-V=2课前热身课前热身本讲稿第九页，共十九页A3.一一个个凸凸多多面面体体的的顶顶点点数数为为20，棱棱数数为为30.则则它它的的各各面面多多边边形形的内角总和为的内角总和为()(A)2160 (B)5400 (C)6480 (D)7200A4.将将棱棱长长为为3的的正正四四面
5、面体体的的各各棱棱长长三三等等分分，经经过过靠靠近近顶顶点点的的各各分分点点，将将原原正正四四面面体体各各顶顶点点均均截截去去一一个个棱棱长长为为1的的小小正四面体，剩下的多面体的棱数为正四面体，剩下的多面体的棱数为()(A)16 (B)17 (C)18 (D)19本讲稿第十页，共十九页A返回返回5.地球表面上从地球表面上从A地地(北纬北纬45，东经，东经120)到到B地地(北纬北纬45，东经，东经30)的最短距离为的最短距离为(地球半径为地球半径为R)()(A)R (B)(C)(D)本讲稿第十一页，共十九页能力思维方法1.已已知知凸凸多多面面体体每每个个面面都都是是五五边边形形，每每个个顶顶
6、点点都都有有三三条条棱棱，试求该多面体的面数、顶点数和棱数试求该多面体的面数、顶点数和棱数.【解解题题回回顾顾】用用欧欧拉拉公公式式V+F-E=2解解题题时时，要要善善于于发发现棱数现棱数E与面数与面数F、顶点数、顶点数V的关系，一般有的关系，一般有和和本讲稿第十二页，共十九页2.在在北北纬纬60圈圈上上，有有甲甲、乙乙两两地地，它它们们的的纬纬度度圆圆上上的弧长等于的弧长等于 (R为地球半径为地球半径)，求甲、乙两地间的距离，求甲、乙两地间的距离.本讲稿第十三页，共十九页【解解题题回回顾顾】求求球球面面上上两两点点的的距距离离，就就是是求求过过这这两两点点的的大大圆圆的的劣劣弧弧长长，而而不
7、不是是纬纬线线上上的的劣劣弧弧长长，求求解解的的关关键键在在于于求求两两点点的的球球心心角角的的大大小小，利利用用弧弧长长公公式式来来求求出：出：L=R即为所求球面距离即为所求球面距离.本讲稿第十四页，共十九页3.设设一一个个凸凸多多面面体体有有V个个顶顶点点，求求证证它它的的各各面面多多边边形形的内角总和为的内角总和为(V-2)360.【解解题题回回顾顾】此此题题要要大大胆胆设设各各面面为为E1、E2EF边边形形，另外要知道另外要知道E1+E2+EF=2E才行才行.本讲稿第十五页，共十九页4.三三棱棱锥锥A-BCD的的两两条条棱棱AB=CD=6,其其余余各各棱棱长长均均为为5，求求三三棱锥的
8、内切球半径棱锥的内切球半径.【解解题题回回顾顾】正正如如三三角角形形的的内内切切圆圆经经常常与与面面积积发发生生关关系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系.返回返回本讲稿第十六页，共十九页延伸拓展5.过过半半径径为为R的的球球面面上上一一点点作作三三条条两两两两垂垂直直的的弦弦MA、MB、MC.(1)求证：求证：MA2+MB2+MC2为定值；为定值；(2)求三棱锥求三棱锥M-ABC的体积的最大值的体积的最大值.【解解题题回回顾顾】(1)MA、MB、MC两两两两垂垂直直.根根据据球球的的对对称称性性，采采用用补补形形的的方方法法，可可以以把把
9、它它补补成成一一个个球球的的内内接接长长方方体体.长长方方体体 的的 对对 角角 线线 的的 平平 方方 就就 是是 球球 的的 直直 径径 的的 平平 方方，即即MA2+MB2+MC2=4R2.在在做做选选择择题题、填填充充题题时时就就可可直直接接用用这个结论这个结论.(2)在在球球中中的的线线段段计计算算问问题题，常常转转化化为为小小圆圆半半径径，大大圆圆半半径及球心到截面距离来解决径及球心到截面距离来解决.返回返回本讲稿第十七页，共十九页误解分析返回返回1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截面一般在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截面一般过多面体的对角线，且对角线长为球的直径过多面体的对角线，且对角线长为球的直径若过对棱中点若过对棱中点作横截面，将会出错作横截面，将会出错.2.球球面面上上两两点点间间距距离离不不是是直直线线距距离离，也也不不是是纬纬度度圈圈上上的的劣劣弧弧长，而是指过这两点的球大圆上长，而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长，不能错啊的劣弧长，不能错啊!本讲稿第十八页，共十九页本讲稿第十九页，共十九页