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1、1同步精选测试同步精选测试 距离和高度问题距离和高度问题(建议用时：45 分钟)基础测试一、选择题1.为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图 126，测得下面四组数据，较合理的是( )图 126A.c与B.c与bC.b，c与D.b，与【解析】 因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，与.【答案】 D2.轮船A和轮船B在中午 12 时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则 14 时两船之间的距离是( ) 【导学号：18082063】A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mile
2、D.110 n mile【解析】 到 14 时，轮船A和轮船B分别走了 50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l70 (n mile).5023022 50 30 cos 120【答案】 B3.如图 127 所示，长为 3.5 m 的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处 1.4 m 的地面上，另一端B在离堤足C处 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值 tan 等于( )图 1272A.B.23155 16C.D.2311611 5【解析】 由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由AB2AC2BC22A
3、CBCcosACB，得3.521.422.8221.42.8cos()，解得 cos ，所以 sin ，5 1623116所以 tan .sin cos 2315【答案】 A4.如图 128，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )图 128A.8 km/hB.6 km/h2C.2 km/hD.10 km/h34【解析】 设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余
4、弦定理得0.6 13 54 52212221 ，解得v6.(1 10v)(1 10 2)1 104 52【答案】 B5.如图 129，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度BC等于( )图 129A.240(1)mB.180(1)m32C.120(1)mD.30(1)m333【解析】 tan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan 15120(1)(m)，故选tan 60tan 45 1tan 60tan 4533C.【答案】 C二、填空题6.有一个长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 75，现要将其倾斜角改为 3
5、0，则坡底要伸长_千米.【解析】 如图，BAO75，C30，AB1，ABCBAOBCA753045.在ABC中，AB sin CAC sin ABCAC(千米).ABsin ABC sin C1 22 1 22【答案】 27.如图 1210，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度是_m.图 1210【解析】 tan 30，tan 75，CD ADCD DB又ADDB120，ADtan 30(120AD)tan 75，AD60，故CD60.3【答案】 608.一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由点A开始做匀速直线运
6、动，到达点B时，发现足球在点D处正以 2 倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图 1211 所示，已知AB4 dm，AD17 dm，BAC45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人2最快可在距A点_dm 的C处截住足球. 4【导学号：18082064】图 1211【解析】 设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BCx dm，由题意知CD2x dm，ACADCD(172x)dm.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A，即x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，解得x15，x2.2237 3AC172x7(dm)，或AC(dm)(舍去).
7、23 3该机器人最快可在线段AD上距A点 7 dm 的点C处截住足球.【答案】 7三、解答题9.A，B，C，D四个景点，如图 1212，CDB45，BCD75，ADC15.A，D相距 2 km，C，D相距(3)km，求A，B两景点的距离. 26【导学号：18082065】图 1212【解】 在BCD中，CBD180BCDCDB60，由正弦定理得，BD sin BCDCD sin CBD即BD2.CDsin 75 sin 60在ABD中，ADB451560，BDAD，ABD为等边三角形，AB2.即A，B两景点的距离为 2 km.10.如图 1213 所示，在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座
8、电视塔CD，今在距离B点 60 m 的地面上取一点A，若测得CAD45，求此电视塔的高度.5图 1213【解】 设CDx m，BAC，则ABC中，tan .又DAB4530 601 2，tanDABtan(45).BD ABx30 60又 tan(45)3，tan 45tan 1tan 45tan 3，解得x150 m，x30 60所以电视塔的高度为 150 m.能力提升1.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为( )A.d1d2B.d1d2C.d1d2
9、D.不能确定大小【解析】 如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知.在PBC中，d1 sin PB sinPCB在PCD中，d2 sin PD sinPCDsin sin ，sinPCBsinPCD，.d1 d2PB PDPBPD，d1d2.【答案】 C2.如图 1214 所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点6的仰角分别是，()，则A点离地面的高AB等于( )图 1214A.asin sin sinB.asin sin cosC.asin cos sinD.acos cos cos【解析】 设ABh，则AD.h sin 因为CAD，所以，CD
10、sinAD sin 所以，a sinh sin sin 所以h.asin sin sin【答案】 A3.如图 1215 所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角ABC120；从B处攀登 200 米到达D处，回头看索道AC，此时视角ADC150；从D处再攀登 300 米到达C处.则石竹山这条索道AC长为_米.图 1215【解析】 在ABD中，BD200 米，ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得，BD sinDABAD sinABD所以.200 sin 30AD sin 1207所以AD200(米).200
11、 sin 120 sin 303在ADC中，DC300 米，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200)230022200300cos 33150390 000，所以AC100(米).故石竹山这条索道AC长为 100米.3939【答案】 100394.2015 年 10 月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机.为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图 1216)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标
12、出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.图 1216【解】 方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d.第一步：计算AM.由正弦定理AM；dsin 2 sin12第二步：计算AN.由正弦定理AN；dsin 2 sin21第三步：计算MN.由余弦定理MN.AM2AN22AMANcos11方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B间的距离d.第一步：计算BM.由正弦定理BM；dsin 1 sin128第二步：计算BN.由正弦定理BN；dsin 1 sin21第三步：计算MN.由余弦定理MN.BM2BN22BMBNcos22