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1、1第第 3 3 章章 不等式不等式章末分层突破章末分层突破,自我校对作商法(a0，b0)ab 2ab一元二次不等式及其解法均值不等式的实际应用简单线性规划的应用不等式的恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：1.变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元.22.分离参数法若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)max.3.数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.若不等式x2ax3a0 对于满足2x2 的一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围.【精彩点拨】 因为(x1)的符号不确定，所以参变量 a
2、不能分离，只好研究二次函数 yx2ax3a.【规范解答】 设 f(x)x2ax3a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足2x2 的一切实数 x 恒有f(x)0，只需满足：(1)a24(3a)0 对于满足2x2 的一切实数x恒成立.再练一题1.在 R R 上定义运算：Error!adbc.若不等式1 对任意实数 x 恒成立，x1a1 a2x则实数a的最大值为( )A. B. C. D.1 23 21 33 2【解析】 原不等式等价于x(x1)(a2)(a1)1，即x2x1(a1)(a2)对任意x恒成立，x2x12 ，所以 a2a2，(x1 2)5 45 45 4 a .故选 D.1 23
3、 2【答案】 D利用均值不等式求最值均值不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛.(1)均值不等式通常用来求最值，一般用ab2(a0，b0)解“定积求和，和最ab小”问题，用ab2解“定和求积，积最大”问题.(ab 2)(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)x (k0)，一定要注意适用的范围和条件：k x3“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.设函数 f(x)x，x.a x10，)(1)当a2 时，求函数 f (x) 的最小值；(2)当 00，0，2 x1x12，
4、当且仅当x1，2 x122 x1即x1 时， f (x) 取最小值，此时f (x) min221.2(2)当 00，0，x2，x1x2，x10，得x2.对于方程 2x2(2k5)x5k0 有两个实数解x1 ，x2k.5 2(1)当 k，即k 时，不等式的解集为5 25 2Error!，显然2.(k，5 2)(2) 当k 时，不等式 2x2(2k5)x5k1(a1).ax1 x2【解】 原不等式可化为10，ax1 x2即(a1)(x2)0(*)，(xa2 a1)(1)当a1 时，(*)式即为(x2)0，而22 或x2，此时 20 且a1，b1，若 logab1，则( )A.(a1)(b1)0C.
5、(b1)(ba)0【解析】 a，b0 且a1，b1，当a1，即a10 时，不等式 logab1 可化为alogaba1，即ba1，(a1)(ab)0，(b1)(ba)0.当 01 可化为alogab0，(b1)(ba)0.综上可知，选 D.【答案】 D2.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域Error!中的点在直线xy20 上的投影构成的线段记为AB，则|AB|( )A.2B.42C.3D.62【解析】 作出可行域，如图所示.由Error!得A(2，2).由Error!得B(1,1).由于直线xy0 与直线xy20 平行，所以可行域中的点在直线xy20 上的
6、投影AB的长度|AB|AB|3.32322【答案】 C3.若 log4(3a4b)log2，则ab的最小值是( )abA.62B.7233C.64D.74339【解析】 由题意得Error!所以Error!又 log4(3a4b)log2，ab所以 log4(3a4b)log4ab，所以 3a4bab，故 1.4 a3 b所以ab(ab)77274，当且仅当时取(4 a3 b)3a b4b a3a b4ba33a b4b a等号.故选 D.【答案】 D4.函数y的定义域是_.32xx2【解析】 要使函数有意义，需 32xx20，即x22x30，得(x1)(x3)0，即3x1，故所求函数的定义域
7、为3,1.【答案】 3,15.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510现有A种原料 200 吨，B种原料 360 吨，C种原料 300 吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元.分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.【解】 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为Error!该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分.10(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx ，它的图象是斜率为 ，随z变化的一族平2 3z 32 3行直线， 为直线在y轴上的截距，当 取最大值时，z的值最大.根据x，y满足的约束条z 3z 3件，由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距 最大，即z最大.z 3解方程组Error!得点M的坐标为(20,24)，所以zmax220324112.答：生产甲种肥料 20 车皮，乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元.