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1、神经网络课系列讲座神经网络课系列讲座分分形形(fractal)合肥工业大学合肥工业大学合肥工业大学合肥工业大学 图像信息处理研究室图像信息处理研究室图像信息处理研究室图像信息处理研究室 Tel:2901393Tel:2901393 地址：逸夫楼地址：逸夫楼地址：逸夫楼地址：逸夫楼709709Email:Email:赵赵 莹莹分形展厅（国内外分形作品）（国内外分形作品）见山见水墨韵纹身火凤凰的诞生火凤凰的诞生over主要内容主要内容分形的产生背景？分形的产生背景？谁是分形理论的创始人？谁是分形理论的创始人？什么是分形？特征？什么是分形？特征？分形可以应用于哪些领域？分形可以应用于哪些领域？合肥工
2、业大学合肥工业大学合肥工业大学合肥工业大学 图像信息处理研究室图像信息处理研究室图像信息处理研究室图像信息处理研究室 Tel:2901393Tel:2901393地址：逸夫楼地址：逸夫楼地址：逸夫楼地址：逸夫楼709709Email:Email:分形的产生背景分形的产生背景在经典的欧几里德几何学中，我们可以用在经典的欧几里德几何学中，我们可以用直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的形状去描述诸如道路、建筑物、车轮等等形状去描述诸如道路、建筑物、车轮等等人造物体，这是极自然的事情。人造物体，这是极自然的事情。然而在自然界中，却存在着许许多多极其然而在自然界中，却
3、存在着许许多多极其复杂的形状，如，山不是锥，云不是球，复杂的形状，如，山不是锥，云不是球，闪电不是折线，雪花边缘也不是圆等等，闪电不是折线，雪花边缘也不是圆等等，再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经典集合所能描述的，它们不再具有我们早典集合所能描述的，它们不再具有我们早已熟知的数学分析中的已熟知的数学分析中的连续、光滑连续、光滑（可导）（可导）这一基本性质了。这一基本性质了。这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是“不可名状的不可名状的”或或“病态的病态的”，从而很容，从而很容易被人们忽视了。显然传统的数学已经无易被人们忽视了
4、。显然传统的数学已经无法来描述它们，从而使经典数学陷入了危法来描述它们，从而使经典数学陷入了危机，于是分形几何机，于是分形几何学学（fractalgeometry）便应运而生。便应运而生。分形几何学是一门以分形几何学是一门以非规则几何形态非规则几何形态为研为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学描述大自然的几何学分形几何与传统几何相比有什么特点分形几何与传统几何相比有什么特点从从整体上整体上看，分形几何图形是看，分形几何图形是处处不规处处不规则则的。例如，海岸线和山川形状，
5、从远距的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。离观察，其形状是极不规则的。在在不同尺度不同尺度上，图形的上，图形的规则性又是相同规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。们从整体到局部，都是自相似的。分形人物分形人物Mandelbrot分形理论创始人分形理论创始人美籍法国数学家美籍法国数学家Mandelbrot。Mandelbrot美国美国IBM（国际商业机器）公司沃特森研（国际商业机器）公司沃特森研究中心自然科学部高级研究员究
6、中心自然科学部高级研究员哈佛大学应用数学兼职教授哈佛大学应用数学兼职教授美国国家科学院院士美国国家科学院院士美国艺术与科学研究员成员美国艺术与科学研究员成员欧洲艺术、科学和人文研究院院士。欧洲艺术、科学和人文研究院院士。1967年发表于美国科学杂志上的年发表于美国科学杂志上的“英国的海英国的海岸线有多长岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌的划时代论文，是他的分形思想萌芽的重要标志。芽的重要标志。1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形几何学的整体思想。几何学的整体思想。1977年，他出版了第一本著作分形：形态，偶年，他出版了第一本著作分形：形态
7、，偶然性和维数，标志着分形理论的正式诞生。然性和维数，标志着分形理论的正式诞生。五年后，他出版了著名的专著自然界的分形几五年后，他出版了著名的专著自然界的分形几何学，至此，分形理论初步形成。何学，至此，分形理论初步形成。Fractal（分形）一词的由来（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是一词是1975年年夏天的一个夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子夏天的一个夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。的拉丁文字典时，突然想到的。取拉丁词取拉丁词fractus之头，撷英文之头，撷英文fractional之尾，之尾，就得到了就得到了fra
8、ctal一词。本意是一词。本意是不规则的、破碎的、不规则的、破碎的、分数的分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类里德几何学所不能描述的一大类复杂无规复杂无规的几何的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说
9、，这些对象都是分形。直观而粗略地说，这些对象都是分形。什么是分形？实例实例定义定义分形特征分形特征海岸线有多长？海岸线有多长？按照传统的科学方法来考虑，这是一个及其简按照传统的科学方法来考虑，这是一个及其简单的问题，然而曼德勃罗教授在其名为英国海单的问题，然而曼德勃罗教授在其名为英国海岸线有多长？的文章中作出了令人惊诧的答案：岸线有多长？的文章中作出了令人惊诧的答案：“英国海岸线的长度是不确定的英国海岸线的长度是不确定的!其原因在于海其原因在于海岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。”以以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度为单位测量海岸线，得到的近似长度将
10、短于将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。是海岸线的长度。问题似乎解决了，但问题似乎解决了，但Mandelbrot发现：当发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为的。他认为海岸线的长度是不确定海岸线的长度是不确定的，
11、或的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。此时，长度也许已不能正确概括海岸滑。此时，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征线这类不规则图形的特征。几种典型的分形图案几种典型的分形图案KOCH曲线曲线返回返回Sierpinski三角形三角形什么是分形？实例实例定义定义分形特征分形特征分形定义分形定义分形：分形：是一种具有是一种具有自相似特性自相似特性的现象、图的现象、图像或者物理过程。也就是说，在分形中，像或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特
12、征上和整体相似，只每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。仅仅是变小了一些而已。什么是分形？实例实例定义定义分形特征分形特征u分形特征自相似性自相似性selfsimilarity指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的或者某系统或结构的或时间尺度来看都是相似的或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似。局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严它不但包括严格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性。现出的自相似性。分形植物分形植物 Koch 雪花雪花Sier
13、pinski 三角形三角形如果你是个有心人，你一定会发现在自然界如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。所在。标度不变性标度不变性scaleinvariance指在分形上任选一局部
14、区域，对它进行放大，指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这是得到的放大图又会显出原图的形态特性。这是得到的放大图又会显出原图的形态特性。因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化，所以标度不变性又称为伸缩不变性。发生变化，所以标度不变性又称为伸缩不变性。分形植物分形植物Mandelbrot集集 分形维数维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维的直线，二维的平面，三维的普通空间，都是人的直线，二维的平面，三维的普通空间，都是
15、人们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树枝以及烟圈等等复杂自然结构的维数是多少，用枝以及烟圈等等复杂自然结构的维数是多少，用传统的数学是难以回答的，至多是定性的描述。传统的数学是难以回答的，至多是定性的描述。而分形理论则给出定量的分析，即可用分维（分而分形理论则给出定量的分析，即可用分维（分形维数、分数维）加以表征。它不是通常欧氏维形维数、分数维）加以表征。它不是通常欧氏维数的简单扩充，而是赋予了许多崭新的内涵。数的简单扩充，而是赋予了许多崭新的内涵。你是否听说过世界上存在你是否听说过世界上存在2.8126维的物体？维的物体？是的！是的！尽管听起来
16、似乎比较荒诞，但这是事实。尽管听起来似乎比较荒诞，但这是事实。在这个概念的基础上才有分形学的发展。在这个概念的基础上才有分形学的发展。让我们先作一个类比。让我们先作一个类比。牛顿的运动学定律可以使人们预测运动物体的运牛顿的运动学定律可以使人们预测运动物体的运动情况。但是，当运动物体的速度接近光速时，动情况。但是，当运动物体的速度接近光速时，这个定理就变得极不准确。这个定理就变得极不准确。于是，在于是，在1900初，爱因斯坦发明了相对论。这个初，爱因斯坦发明了相对论。这个成果发展了牛顿定律。如果你去检验相对论，你成果发展了牛顿定律。如果你去检验相对论，你会发现，在低速的情况下，相对论的结果等同于
17、会发现，在低速的情况下，相对论的结果等同于牛顿定律。牛顿定律。那么，这和分维有什么联系呢？那么，这和分维有什么联系呢？像相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维像相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展。它并不和你所了解的分维数概念的进一步发展。它并不和你所了解的分维知识相冲突，而是一种发展！知识相冲突，而是一种发展！一般情况下，分维是一个分数。它反映了一个一般情况下，分维是一个分数。它反映了一个分形体的不规则程度，分形维数越大，则分形体分形体的不规则程度，分形维数越大，则分形体越不规则。越不规则。这里我们介绍比较常用的三种分形维数：这里我们介绍比较常用的三种分形维数：相似维
18、数相似维数 hausdorffhausdorff 维数维数 盒子维数盒子维数相似维数（相似维数（SimilarityDimension）：）：如果某图形是由把全体缩小为如果某图形是由把全体缩小为1 1a a的的b b个相似图形构成的，个相似图形构成的，那么相似维数那么相似维数DsDs可以由下式给出可以由下式给出：例如，对于例如，对于例如，对于例如，对于kochkochkochkoch曲线，可以分成四个部分，每个部分都为原曲线，可以分成四个部分，每个部分都为原曲线，可以分成四个部分，每个部分都为原曲线，可以分成四个部分，每个部分都为原来的来的来的来的1/31/31/31/3大小，而每一部分又可以
19、同样的细分，则它的相似大小，而每一部分又可以同样的细分，则它的相似大小，而每一部分又可以同样的细分，则它的相似大小，而每一部分又可以同样的细分，则它的相似维数维数维数维数Koch曲线曲线Hausdorff维数维数设有一条长度为设有一条长度为L的线段，若用一长的线段，若用一长r 的的“尺尺”作为单位去量它，量作为单位去量它，量度的结果是度的结果是N，我们就说这条线段有，我们就说这条线段有N尺。显然尺。显然N的数值与所用尺的大的数值与所用尺的大小有关，它们之间具有下列关系：小有关，它们之间具有下列关系：同理，若测量的是一块面积为同理，若测量的是一块面积为同理，若测量的是一块面积为同理，若测量的是一
20、块面积为A A的平面，这时用边长为的平面，这时用边长为的平面，这时用边长为的平面，这时用边长为 r 的单位小正的单位小正的单位小正的单位小正方形去测量它，有下式成立方形去测量它，有下式成立方形去测量它，有下式成立方形去测量它，有下式成立：同样，可以用半径为同样，可以用半径为r的小球来填满一块体积的小球来填满一块体积V球体球体，所需小球的数目，所需小球的数目比例于：比例于：对于任何严格有确定维数的集合体，若用与它具有相对于任何严格有确定维数的集合体，若用与它具有相同维数的同维数的“尺尺”去量度，则可以得到一确定的数值去量度，则可以得到一确定的数值N，若，若用低于它维数的用低于它维数的“尺尺”去量
21、它，结果为无穷大；若用高于去量它，结果为无穷大；若用高于它维数的它维数的“尺尺”去量它，结果为零。其数学表达式为去量它，结果为零。其数学表达式为对上式两边取自然对数，可得：对上式两边取自然对数，可得：式中的式中的DH就称为就称为Hausdorff维数，它可以是整数，也可以维数，它可以是整数，也可以是分数。它是最古老的也是最重要的一种维数，它对任何是分数。它是最古老的也是最重要的一种维数，它对任何集都有意义。然而，计算集都有意义。然而，计算Hausdorff维数是相当困难的。维数是相当困难的。盒子维数盒子维数 定义：设定义：设，在欧氏距离下，用边长为，在欧氏距离下，用边长为的小盒子紧邻地去包含的
22、小盒子紧邻地去包含A，设，设为表示包含为表示包含A所需所需的最小盒子数，则：的最小盒子数，则：即为集合即为集合A的盒子维。的盒子维。计计算算：逐逐渐渐增增大大n，分分别别计计算算出出相相应应的的值值，这这样样就就得得到到一一组组的的数数据据对对，再再利利用用线线性性回回归归等等方方法法求求出出相相对对于于的的斜斜率率，即即为为所所要要求的盒子维。求的盒子维。分形应用领域图像处理方面图像处理方面图像分割图像分割目标识别目标识别图像压缩图像压缩图像边缘检测图像边缘检测图像分析、合成图像分析、合成图像分割图像分割 灰灰值值图图像像，尤尤其其是是基基于于自自然然景景观观的的灰灰值值图图像像，可可能能是
23、是由由多多类类具具有有不不同同分分形形性性质质的的物物质质组组成成的的。所所以以我我们们在在对对图图像像提提取取分分数数维维时时一一般般是是按按图图像像分分块块进进行行的的，即即设设定定一一个个窗窗口口，尺尺寸寸大大小小一一般般选选成成88或或1616等等，提提取取的的是是窗窗口口区区域域的的分分数数维维，窗窗口口的的移移动动是是从从左左向向右右，从从上上向向下下移移动动。由由分分形形理理论论我我们们可可以以知知道道：同同一一分分形形物物质质在在不不同同区区域域一一般般具具有有相相同同的的维维数数。所所以以当当我我们们在在同同一一图图像像的的不不同同区区域域求求得得分分数数维维以以后后，就就可
24、可以以基基于此进行分类、分割。于此进行分类、分割。目标识别目标识别 人人们们把把分分数数维维与与传传统统方方法法结结合合起起来来来来处处理理自自然然背背景景下下的的人人造造物物体体的的识识别别，例例如如隐隐藏藏在在树树林林山山峦峦间间的的坦坦克克、炮炮车车等等等等。传传统统的的匹匹配配检检测测方方法法包包括括相相似似度度量量，匹匹配配点点搜搜索索等等步步骤骤，这这在在计计算算上上有有很很大大的的时时间间复复杂杂度度。现现在在使使用用分分数数维维的的方方法法，一一般般选选择择窗窗口口的的大大小小同同被被检检测测物物体体的的尺尺寸寸大大致致相相等等，这这一一般般是是可可预预知知的的，一一旦旦某某些
25、些窗窗口口出出现现了了异异常常的的分分数数维维，比比如如低低于于一一定定的的拓拓扑扑维维数数或或不不同同于于大大多多数数区区域域的的分分数数维维等等等等，它它们们才才被被送送入入下下一一步步进进行行精精搜搜索索。这这里里分分数数维维主主要要起起着着可可疑疑区区域域判判定定的的作作用。用。图像压缩图像压缩1988年年Barnsley采用迭代函数系统采用迭代函数系统IFS和递归迭代函数和递归迭代函数系统系统RIFS方法，对几幅图像进行压缩编码获得了高达方法，对几幅图像进行压缩编码获得了高达10000:1的压缩比。的压缩比。1992年的圣诞节，美国微软公司发布了一张令人瞩目年的圣诞节，美国微软公司发
26、布了一张令人瞩目的光盘，名叫的光盘，名叫“MicrosoftEncarta”。在这张仅能容纳。在这张仅能容纳600M字节的光盘中，收集了一部美国地图册、一本字典、字节的光盘中，收集了一部美国地图册、一本字典、一段七小时的音响、一段七小时的音响、100个动画节目、个动画节目、800张可以缩放的彩张可以缩放的彩色地图册，还有色地图册，还有7000多张高质量的照片多张高质量的照片鲜花、植物、鲜花、植物、人物、云、名胜，应有尽有。因而人们形象地称其为人物、云、名胜，应有尽有。因而人们形象地称其为“多多媒体百科全书媒体百科全书”。Encarta上的所有信息都是通过分形压缩上的所有信息都是通过分形压缩技术
27、存储的。在海湾战争中，美军使用了分形技术，用于技术存储的。在海湾战争中，美军使用了分形技术，用于军事地图的缩放、攻击目标的匹配追踪等。军事地图的缩放、攻击目标的匹配追踪等。其他应用其他应用用分形方法在计算机上可实现模拟自然景物、用分形方法在计算机上可实现模拟自然景物、动画制作、建筑物配景等，在影视制作中动画制作、建筑物配景等，在影视制作中能生成奇峰异谷、独特场景，产生新奇美能生成奇峰异谷、独特场景，产生新奇美丽的景色。丽的景色。此外用分形方法还可以进行时此外用分形方法还可以进行时装设计、装设计、IC卡设计、房间装饰等等。卡设计、房间装饰等等。时时装装设设计计一一时时装装设设计计二二ICIC卡设
28、计卡设计贺卡设计贺卡设计书祯设计书祯设计分形天线分形天线分形芯片分形芯片房房间间装装饰饰一一房房间间装装饰饰二二房房间间装装饰饰三三房房间间装装饰饰四四自然景物模拟自然景物模拟分形艺术分形艺术分形音乐分形音乐是由一个算法的多重迭代产生的，自相分形音乐是由一个算法的多重迭代产生的，自相似是分形几何的本质，有人利用这一原理来建构似是分形几何的本质，有人利用这一原理来建构一些带有自相似小段的合成音乐，主题在带有小一些带有自相似小段的合成音乐，主题在带有小调的三翻五次的返复循环中重复，在节奏方面可调的三翻五次的返复循环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化，它所创造的效果，无论在以加上一些随机变化，它
29、所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐，宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正的音乐，尽管它听起来不那么宏伟，但至少听起来很有趣。尽管它听起来不那么宏伟，但至少听起来很有趣。有人甚至将著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为有人甚至将著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为倾听曼德勃罗集（倾听曼德勃罗集（HearingtheMandelbrotSet），），他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数据转换成钢他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数据转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式表现出曼德勃罗琴键盘上的音调，从而用音乐的方式表现出曼德勃罗集的结构，极具音乐表现力。实际上，分形音乐已成
30、集的结构，极具音乐表现力。实际上，分形音乐已成为新音乐研究的最令人兴奋的领域了。为新音乐研究的最令人兴奋的领域了。分形音乐分形音乐1分形音乐分形音乐2为什么要研究分形？为什么要研究分形？首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取
31、得显著进展。入而取得显著进展。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。开展应用探索。80年代初国外开始的年代初国外开始的“分形热分形热”经久不息。经久不息。今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人科学上的文化人。美国著名物理学家惠勒美国著名物理学家惠勒 合肥工业大学合肥工业大学合肥工业大学合肥工业大学 图像信息处理研究室图像信息处理研究室图像信息处理研究室图像信息处理研究室 Tel:2901393Tel:2901393地址：逸夫楼地址：逸夫楼地址：逸夫楼地址：逸夫楼709709 Email:Email: