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1、湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程李连侠水力学与山区河流开发保护国家重点实验室2009年5月湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础内容提要湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的随机性湍流的随机性时间平均法时间平均法体积平均法体积平均法概率平均法概率平均法各态历经假设各态历经假设脉动值及其性质脉动值及其性质湍流的基本方程湍流的基本方程连续性方程连续性方程平均动量方程平均动量方程-雷诺方程雷诺方程湍流的统计平均法湍流的统
2、计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础湍流湍流 湍流流动状态在自然界和工程设备中是最常见的一类流动状态。由雷诺试验我们知道湍流相对于层流而言，是一种复杂的不定常的随机流动。湍流理论到现在为止尚未达到成熟阶段，人们对于湍流的物理本质还不很清楚，以致要给湍流一词以确切的定义都很困难。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础两种研究方法(1)寻求若干最基本的物理定律以建立普遍适用的湍流理论；(2)在某些特定条件下，对观测到的流动现象作出某些假定，从而建立有局限性的半经验理论。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流
3、的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础湍流的统计平均法统计平均方法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的随机性所决定的。湍流的随机性是湍流的主要的特性。我们首先讨论湍流的随机性，然后讨论统计平均方法。一、湍流的随机性一、湍流的随机性人们对于湍流的长期观察，测量，发现随机性是湍流的主要特性。我们将从随机现象的一般概念上对此加以说明。湍流的瞬时流场的速度场 湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础瞬时流场总是不定常的，但是它又不同于通常所说的不定常流场，不是普通的函数，而是随机函数。随机函数具有以下特性：(1)某一次试验
4、中在空间和时间上的变化是极不规则的；即使保持相同条件作重复试验；每次试验所得到的速度场也均不相同。(2)在相同条件下进行很多次试验，任意取出其中足够多次的速度场作算术平均，由此所得到的函数与另外任取足够多次的速度场作算术平均而得到的函数趋予一致，即任意一组的算术平均趋于同一个确定的函数。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础由上述性质可见，就随机现象而言，虽然个别试验的结果没有规律性，但大量试验结果的算术平均值有一定的规律性。所以说，由随机现象的每一次试验得不到“决定性”的结果，而只有大量试验的统计平均才能给出具有“决定性”的结果。正因
5、为湍流具有随机性，因此统计方法在湍流问题的研究中具有重要的意义。在湍流理论中，有三种统计平均方法：时均法，体均法和按概率平均法（或称系综平均法），下面我们将分别予以讨论，然后再进行比较。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础在湍流流场的某固定点上，于不同时刻测量该处的速度。以圆管轴上的某一点的轴向流速为例，测出该点速度随时间的变化图13-1所示，图中实线与虚线表示两次试验结果。由图可见，每次试验的速度变化都极不规则，但是两次试验在相当长的时间内的平均值相同。显然，对于具有这种随机性质的湍流采用按时间平均的方法较为合适。时均法的确切定义是
6、：湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础随机量的平均值符号规定如下：在这个量上加“”表示平均值，在 一横之上再加的符号表示平均的方法。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础 均值表达式中的瞬时值是任一次试验结果，积分限中的下限可以任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。关于这一点，我们可以这样来理解。同一次试验中取不同起始时刻，相当于同条件下重复的不同试验，既然不同次试验的平均值都相等，那末不同起始时刻的平均值也应相等。式中的积分区域，从理论上来说应趋向无限大
7、，但在实用上，只要取足够长的有限时间间隔即可。最后应当指出，时均法只能用来描述对时均值而言的定常湍流流动。总之，应用对均法需满足下列要求：平均值与平均的起始时刻及时间间隔(只要足够长)无关；而且平均值本身不再是时间的函数，因此，时均法只能用于讨论定常的湍流流动。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础三三 体均法体均法湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。若在湍流管流的轴线L段上同时测量各点轴向速度的分布，在不同时刻可以测得不同速度分布，如图13-2所示。实线和虚线是分别在两个时刻测得的结果。由图可见，任一时刻，在轴上
8、的速度分布都是极不规则的，但是若在距离L内求速度的平均值，则任意两次的试验结果有相同的平均值，显然，具有这种随机性质的湍流采用按体积平均的方法较为合适。一维体均法的确切定义是湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础 是在相同条件下任一次试验的速度分布是在相同条件下任一次试验的速度分布 是沿是沿x方向方向L段上的的平均值段上的的平均值 x0是任一起始位置，是任一起始位置，L是足够长的距离。是足够长的距离。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础同理，我们可以定义空间意义上的平均。既体均
9、法 式中 为包含某空间点在内的足够大的体积。体均值要求与积分体积的大小及所处的坐标位置无关。因此严格说来，体均法只适用于描述对体均值而言的均匀的湍流流场。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础四四 概率平均法概率平均法时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者适用于定常湍流，后者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀流，可以采用随机变量的一般平均法，即概率平均法。概率平均法的出发点是将重复多次的试验结果做算术平均，即 为第k次试验的流场分布函数，N为重复试验次数。由于问题的随机性，因此只要N够大，上述平均函数必然趋向某一确定的函数。
10、湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础上式又可写成概率分布的形式。把N次试验中测得的速度Vi 在Vi+Vi之间的次数记为 N，若N足够大，则根据概率的定义有 从物理概念和数学定义上来看，我们都可以相信于是概率可写成 称作概率密度。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础这样式（13-5）可写成 由此知，在N次试验中出现速度Vi到Vi+Vi之间的次数为 于是因而按概率的定义，平均值可以写成湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础
11、令Vi0则上式可写成 注意到 因而得到概率密度的附加条件 可见，概率平均值取决于概率密度若能对某种湍流找到相应的概率密度，则湍流问题就可认为已经解决。但是由于湍流的基本单元的复杂性，目前还未找到湍流概率密度的基本方程。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础五、三种平均法之间的关系及各态遍历假说五、三种平均法之间的关系及各态遍历假说 前面我们已经介绍了三种平均方法，但时均法和体均法只能用于各自特定的条件，概率平均法虽然普遍适用，但按照这种定义的平均值，很难直接测量（至少在目前还不可能)，因此用这种方法建立的理论不能直接与实验结果相比较，而
12、时均值或体均值可以实测。若能弄清楚在什么物理条件下，普遍适用的概率平均值和时均值或体均值等价，那么时均法和体均法的应用范围就可扩大。而用这两种方法建立的湍流平均值可以用实验来直接验证。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础时均值和体均值都是任用一次试验结果(对时间或对空间)的平均值以代替大量试验的平均值。弱此严格说来，时均法只适用于定常湍流，体均法只适用于均匀不定常湍流。然而，不论是对于时均法还是对于体均法而言，为什么任一次试验结果的平均值会等于大量试验的平均值?这个问题需要各态遍历假说来解释。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本
13、方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础各态遍历假说各态遍历假说的思想是：一个随机变量在重复许多次的试验中出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长的时间或相当大的空间范围内以相同的概率出现。可以用公式表示这个思想。正是由于这个假说，为以一次试验结果的平均值代替大量试验的平均值提供了理论依据，从而使时均法和体均法具有更为普遍的意义。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础例如，对于非均匀的不定常湍流流场，严格说来，时均法和体均法都不能应用。但是，若不均匀性的空间尺度Lk较之湍流各态分布尺度(在此尺度内存在湍流各种状态)大得多
14、，那么在比Lk小的尺度 L中平均特性的变化可以忽略不计，而在尺度L中包含了湍流的几乎所有状态，即在尺度中湍流是各态遍历的。于是在尺度L中应用体均法所得到的平均值十分近似于随机变量的概率平均值。这种体均值在空间可以是变化的。可见，在各态遍历假说成立的前提下，可以用体均法研究非均匀湍流流场。类似地，若不定常湍流的时间尺度Tk比湍流本身的时间尺度大得多则在比Tk小的T的尺度内平均特性的变化可以忽略不计。而在T中包含了湍流的几乎所有状态，即在T尺度中是各态遍历的。于是在尺度T中应用时均法所得到的平均值十分近似于随机变量的概率平均值。这种时均值在时间上可以是变化的.所以，在各态遍历假说成立的前提下，可以
15、用时均法研究不定常流动。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础总之，各态遍历假说的结论是：对于一个满足各态遍历的系统，三种平均值相等在本章各节中，凡未加说明者，都认为各态遍历假说成立。这样就可以在建立湍流理论时用概率平均值，而在和实验测量比较时，把这平均值看成是时均值或体均值。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础六、脉动值及其性质六、脉动值及其性质 我们已经知道，湍流的瞬时速度是随机变量而他的平均值 是非随机变量，根据各态遍历假说，上述三种平均值相等。因此，在下面的叙述中平均值
16、一律用 表示。随机值与平均值之差称为脉动值，并用“”注明脉动值是随机变量，平均值是统计的决定性变量，全部湍流理论就是研究脉动值和平均值之间的互相关系。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础(1)平均值的平均仍为原平均值平均值的平均仍为原平均值 是多次试验的统计平均值，而对任意一次来说，平均值都相同，因此 即湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础(2)脉动值的平均值等于零脉动值的平均值等于零若对脉动值 取平均值可得湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体
17、动力学基础粘性流体动力学基础(3)脉动值乘以常数的平均值等于零脉动值乘以常数的平均值等于零(4)脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零(5)湍流值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数湍流值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数(6)脉动值各阶导数的平均值等于零脉动值各阶导数的平均值等于零湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础湍流的基本方程 本书只限于讨论不可压流体的湍流。一、湍流的连续性方程一、湍流的连续性方程式中每一项都是随机变量。对此式求平均值，则有 湍流的随机速度、平均湍流的随机速度、平均速度和
18、脉动速度的散度速度和脉动速度的散度都等于零。都等于零。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础二、湍流的平均动量方程二、湍流的平均动量方程雷诺方程雷诺方程雷诺认为湍流的瞬时速度场满足纳维一斯托克斯方程。按这个观点，他首先建立了湍流平均动量方程。雷诺本人所采用的是时均法，而时均法在各态遍历的意义上来说是统计平均方法的特殊形式。本节推导公式时将采用统计平均方法而不附加时均条件，这样就可得到不定常非均匀的湍流平均动量方程。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础关于湍流瞬时流场是否满足纳维
19、一斯托克斯方程的问题，从雷诺建立湍流时均方程时起就是有争论的问题。肯定这个观点的学者们认为，纳维一斯托克斯方程可以从分子运动的统计理论出发得到，因此不能认为湍流的瞬时流场不服从分子运动的统计规律；而且以纳维一斯托克斯方程为基础建立起来的湍流理论在许多情况下与实验良好符合。怀疑这种理论的学者认为，以纳维一斯托克斯方程为基础推导出的湍流方程组本身不封闭，而且在某些情况下按此理论所得出的结果与实验不符。从方程组的不封闭性角度来看，至少仅以纳维_斯托克斯方程组作为湍流理论的基础是不充分的。在下节我们将会看到湍流方程封闭，必须附加其它方程。另一些学者企图直接从湍流统计规律出发建立湍流理论，但由于湍流的复
20、杂性，目前这种理论的实用性尚不及雷诺理论有效。本书将回避这个争论，在尚未出观完整的经过实验证明的一般湍流理论时，我们只能默认纳维一斯托克斯方程是湍流理论的基础。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础下面我们来推导湍流的动量方程。考虑到连续方程式，不可压流体的湍流瞬时流场的纳维一斯托克斯方程可以写成或可写成对此方程求平均值有湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础算出方程中各项的平均值，就可得到湍流的平均动量方程。下面逐项计算之湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本
21、方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础利用式（13-17），可将上式右侧各项上的平均值符号移入微分号内，从而可得利用式（13-13）及式（13-16）可知于是表达式（13-27）可写成将关系式（13-26）,（13-28）代入动量方程式（13-25）得湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础或写成湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础方程式（13-29）或（13-30）就是著名的雷诺方程。雷诺方程中的各项的物理意义如下。单位质量流体的平均流动量的局部变化率单位质量流体的平均流动量
22、的迁移变化率 单位质量流体上的平均流压力的合力 单位质量流体上的平均流粘性应力的合力 上述各项与层流状态中的各项对应。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础雷诺方程中的右侧最后一项中的 是一个二阶张量，通常称 为雷诺应力或雷诺视应力，并用 表示，即 从物理上来说，是由于湍流脉动引起的单位面积上的动量输送率。湍流的统计平均法湍流的统计平均法湍流的基本方程湍流的基本方程粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础由上式可见，雷诺方程与常规的纳维一斯托克斯方程的差别在于前者增加了雷诺应力的合力这一项。雷诺应力是一个未知量，这正如粘性应力是一个未知量一样。在粘性应力中，我们利用广义牛顿粘性公式把粘性应力与变形速率张率联系了起来；对于雷诺应力也必需补充关于它的物理方程，才能使湍流方程组封闭。湍流理论的中心问题是建立雷诺应力的物理方程。