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1、1第七讲第七讲 二次函数二次函数【学习目标学习目标】 1、经历二次函数图象、性质、解析式三者有机转换过程，加深到二次函数性质的理解。 2、体验二次函数在解决实际问题中的应用。 3、探索用数形结合的思想解决函数，几何综合型问题。 【知识框图知识框图】图案 判别函数增减性y=ax +bx+c(a0) 应用 求最值性质 【典型例题典型例题】 例 1：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线 x=2，图象与 x 轴的两个交点间的 距离等于 2，且图象经过点（4，3） 。 （1）求这个函数的解析式； （2）说出该函数图象的开口方向，顶点坐标及和坐标轴的交点坐标； （3）画出二次函数的草图
2、，说出 x 为何值时，y0 ? y0?； （4）求绕顶点旋转 1800后新抛物线解析式； （5）设有直线 y1=x-1,当 x 为何值时 y1y？ 解：（1）解法一：由条件得： 解得 y= x-4x+3 解法二：设 y=a(x-2)+k=ax-4ax+4a+4 由条件得 解得y=(x-2) -1=x-4x+3 解法三：抛物线对称轴是直线 x=2，与 x 轴两交点的距离等于 2 抛物线与 x 轴的两交点坐标为：（1，0） ， （3，0） 设 y=a(x-1)(x-3)把(4,3)代入得 a=1 y=(x-1)(x-3)=x-4x+3 y 评注：求二次函数解析式可考虑三种方案：设一般式，顶点 式与
3、交线，但应选择最简单的方案，如上解法三更为简捷。 （2）开口方向向上，顶点坐标是（2，-1） (0,3) (4.3) 令 y=0，则 x1=3,x2=1 所以与 x 轴交点坐标 为（1，0） ， （3，0） ， 令 x=0,则 y=3, 所以与 y 轴交点坐标为 （0，3） (1,0) (3,0) （3）草图如图 1 O x 当 x1 或 x3 时，y0 -1 图 1 (2,-1) 当 1x3 时，y0 2（4）新抛物线的解析式为：y= - (x-2)-1 评注：在抛物线的平移、对称变换中，由于开口大小不变，所以|a|保持不变；解这类题关 键是抓住顶点如何变化及抛物线开口方向。 （5）如图，直
4、线 y1=x-1 图象，与抛物线交于（1，0） ， （4，3） ，当 1x4 时，y1y 例 2：例 1 中，抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B（A 在 B 的左边） ，与 y 轴的交点为 C，O 为原点。 （1）在抛物线上是否存在一点 M，使 3SMAB=3ABC？若存在，求 M 坐标，若不存在，说明 理由； （2）在 y 轴上是否存在点 P，使 MAB 与 AOC 相似？若存在，求出过 P，B 两点的直线 解析式，若不存在，说明理由。 解（1）设 M 点的纵坐标为 h, 由 3MAB=3ABC 得：3 AB|h|= AB3h=+1 当 h=1 时，x-4x+3=1, 解得 x=2+ 当
5、h= -1 时，x-4x+3= -1，解得 x=2 存在 M 点，M 的坐标为（2+ ，1） ， （2- ，1） ， （2，-1） （2）RtOAC 中，OA：OC=1：3 y 假设 P 点存在，则考虑两种情况： C= 或 = OP= OB 或 OP=3OB O A B x OP=1 或 OP=9 图 2 P 的坐标有 P（0，1） ，P（0，-1） ，P（0，9） ，P（0，-9） 评注：存在性问题一般是先假设结论成立，然后求解；同时应用分类思想考虑各种情 况，做到不遗漏。 例 3：某商场以每件 45 元的价钱购进一种服装，根据试销情况得知，这种服装每天的销售 量 T（件）与每件的销售价 x
6、（元/件）可看成是一次函数关系 T= -3x+207(45x69) （1）写出商场卖这种服装每天的利润 y 与每件的销售价 x 之间的函数关系式； （2）问商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最合适，最大的利润是 多少？ 解：（1）y=(-3x+207)x- 45(-3x+207)= -3(x-114+3105) (45x69) （2）y=-3(x-57) +432 (45x69) 当 x=57 时，y最大=432 每件的销售价定为 57 元最合适，此时，每天的最大利润是 432 元。 评注：用二次函数的性质求实际问题的最值时，首先应选取适当的变量，建立目标函数， 然后在变量的
7、取值范围内求出目标函数的最值。 【选讲例题选讲例题】 例 4：已知抛物线 y=x- ax-2(a-3),求证：当抛物线的顶点位置最高时，它与 x 轴两个交 点间的距离最小。 证明：抛物线顶点坐标为（ , ）3当顶点位置最高时，即顶点纵坐标最大 而 = ,当 a=4 时，纵坐标最大抛物线与 x 轴两面个交点间距离 为 = ,同时 a=4 时，取得 最小值。 【课堂小结课堂小结】 本节内容主要复习二次函数的图象性质及其应用。求抛物线解析式的关键是：灵活运 用题目所给条件，合理“设” ，正确“列” ；理解二次函数性质的关键是：充分利用图象的 直观性，并注意方程思想、数形结合思想以及待定系数法、配方法
8、在本节中的应用。 【基础练习基础练习】 1、已知二次函数 y=2x-4x-1 图象上两点 A(x,y),B(x,y),若 xx1,则 y, y 中较大的是_. 2、抛物线 y=x-2x-4 关于 y 轴对称抛物线的解析式是_；关于 x 轴对称的抛物 线的解析式为_. 3、已知抛物线 y=x-(m+2)x+1,根据下列条件求 m 的值。 （1）对称轴是直线 x=4；（2）有最小值-3；（3）顶点在 x 轴上；（4）顶点在直线 y=x-1 上。4、把抛物线 y=2x平移，使它通过一次函数 y= x-2 的图象与坐标轴的两个交点，求这个 二次函数的解析式及其最大值或最小值。 5、设 x，x是抛物线
9、y=kx-2(k-1)x+1 与 x 轴两个交点的横坐标，且 + =14. 求 k 的值。 【巩固练习巩固练习】 1、选择题 （1）抛物线 y=(a-1)x +a+2a-3 经过原点，则 a 的值为（ ） A、1 B、-3 C、1 或 3 D、无法确定 （2）若抛物线 y=ax+bx+c(a0)的顶点在第一象限，且经过（0，1） ， （-1，0） ，则 S=a+b+c 的变化范围是（ ） A、0S2 B、S1 C、1S2 D、-1S1 2、填空题 （1）若抛物线 y=ax+bx+c 如图所示， y 则直线 y=abx+c 不经过第_象限。 0 x （2）直线 y=ax-9 通过抛物线 y=-
10、(x-a) 的顶点， 则 a=_. 3、已知 a、b、c 是一个三角形三边长，求证 二次函数 y=ax+(a+b-c)x+b的图象与 x 轴没有交点。 4、如图，已知抛物线 y=x+px+q 与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴负半轴于 C，ACB=Rt, 且 - = ,求 ABC 外接圆的面积。 y4A O B xC5、已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一 个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于 ，设梯形的面积 为 S，梯形中较短的底的长为 x，试写出 S 关于 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围。 【课后反思课后反思】