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1、第七章第七章数字滤波器的设计数字滤波器的设计滤波器在实际信号处理中起到了非常重要的作滤波器在实际信号处理中起到了非常重要的作用。任何检测的信号都含有噪声，而滤波是去除噪用。任何检测的信号都含有噪声，而滤波是去除噪声的基本手段。本章介绍声的基本手段。本章介绍IIR滤波器和滤波器和FIR滤波器的滤波器的设计。设计。IIR滤波器设计主要内容包括：巴特沃思、滤波器设计主要内容包括：巴特沃思、切比雪夫模拟低通滤波器设计；脉冲响应不变法和切比雪夫模拟低通滤波器设计；脉冲响应不变法和双线性变换法的数字化变换方法；数字高通、带通双线性变换法的数字化变换方法；数字高通、带通和带阻滤波器的设计。而和带阻滤波器的设
2、计。而FIR滤波器是直接采用的滤波器是直接采用的数字式设计方法。针对数字式设计方法。针对FIR滤波器特征，首先介绍滤波器特征，首先介绍了其线性相位的实现条件，然后介绍了窗函数法和了其线性相位的实现条件，然后介绍了窗函数法和频率抽样法的设计方法频率抽样法的设计方法。7.1概述概述7.1.1滤波器的分类滤波器的分类这里主要讨论经典滤波器的设计。这里主要讨论经典滤波器的设计。按功能划分经典滤波器又可分为低通、按功能划分经典滤波器又可分为低通、高通、带通、带阻四种滤波器高通、带通、带阻四种滤波器 图7-1 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性 经典滤波器设计从实现方法上分为经典滤波器设计从实现方法
3、上分为IIR滤波器和滤波器和FIR滤波器。它是一个线性时不变离散时间系统，如滤波器。它是一个线性时不变离散时间系统，如果滤波器用单位脉冲响应序列果滤波器用单位脉冲响应序列表示，其输入表示，其输入与输出与输出之间的关系可以表示为：之间的关系可以表示为：的的Z变换称为系统函数。变换称为系统函数。IIR滤波器和滤波器和FIR滤波滤波器的系统函数分别是：器的系统函数分别是：7.1.2数字滤波器的性能要求数字滤波器的性能要求 一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响应是一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响应是一常数；相位频率相应为零或是频率的线性函数。但一常数；相位频率相应为零或是频率的线性函数。但一个
4、实际的滤波器要是不可能得到上述幅频和相频响一个实际的滤波器要是不可能得到上述幅频和相频响应。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及应。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围阻带三个范围。1：通带衰减通带衰减2：阻带衰减阻带衰减c：通带截止频率通带截止频率st：阻带截止频率阻带截止频率cst：过渡带过渡带 stc图7-2 逼近理想低通滤波器得容限图通带最大衰减通带最大衰减。当幅度下降到当幅度下降到 ，此时，此时 ，称，称 为为3 3dBdB通带截止频率。通带截止频率。阻带最小衰减7.1.3数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述设计设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：
5、数字滤波器一般有以下两种方法：1.模拟滤波器模拟滤波器:首先设计一个合适的模拟滤首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转波器，然后将它转换成满足给定指标的数换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等通、带阻等。2.直接在频域或者时域中进行数字滤波器直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计算设计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。机作辅助设计。7.27.2无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计1.设计的一般方法
6、设计的一般方法IIR滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计过程中有两种不同的变换过程中有两种不同的变换,频带变换和模拟频带变换和模拟/数字变数字变换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方法法。图7-3 IIR滤波器的设计流程2.巴特沃思低通滤波器巴特沃思低通滤波器（1）基本性质）基本性质巴特沃思滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的巴特沃思滤波
7、器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。内具有最平坦特性定义的滤波器。(7.2.1).下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征a.对所有的对所有的N，。巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示b.对所有的对所有的N，即c.是是的单调下降函数的单调下降函数。d.随着阶次随着阶次N的增大而更接近于理想低通的增大而更接近于理想低通滤波器。滤波器。如如图图7-4，可以看出，可以看出滤滤波器的幅波器的幅频频特性随着特性随着滤滤波器波器阶阶次次N的增加而的增加而变变得越来越
8、好，在截止得越来越好，在截止频频率率处的函处的函数值始终为数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的频带区的值的情况下，通带内有更多的频带区的值接近于接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。；在阻带内更迅速的趋近于零。图7-4 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数 在以后的设计和分析时，经常用归一化巴特沃思低通滤波器为原型滤波器，一旦归一化低通滤波器的系统函数确定后，其它巴特沃思低通滤波、高通、带通、带阻滤波器的传递函数都可以通过变换法从归一化低通原型的传递函数 得到。归一化原型滤波器是指截止频率 已经归一化成 的低通滤波器。对于截止频率为某个 的低通滤波器，则令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 ，即
9、 对于其他高通、带通、带阻滤波器，可应用后面讨论到的频带变换法，由其变换得出。(2)系统函数和极点分布系统函数和极点分布 设巴特沃斯的系统函数设巴特沃斯的系统函数 ，则频率响应是，则频率响应是令上式分母为零可以得到令上式分母为零可以得到 的的2N个极点个极点Sk 并解得当并解得当N为偶数时则为偶数时则N N为奇数为奇数：的极点均匀分布在的极点均匀分布在s平面的单位圆平面的单位圆上，共有上，共有2N个角度间隔为个角度间隔为/N的极点，极点关的极点，极点关于于j 轴对称，不会落在虚轴上。将左半平面的轴对称，不会落在虚轴上。将左半平面的极点构成极点构成。(3)设计过程设计过程巴特沃思低通巴特沃思低通
10、滤滤波技波技术术指指标标关系式关系式为为 ；为为通通带边带边界界频频率率 ；为为阻阻带边带边界界频频率率代入（代入（7.2.17.2.1）化化简简后得后得 两式相比消去后得两式相比消去后得由此得由此得取取满满足上式的最小整数足上式的最小整数N作作为滤为滤波器的波器的阶阶数。数。将将N N 带带入式（入式（7.2.47.2.4）或式）或式(7.2.5)(7.2.5)可得截止可得截止频频率率 或或 查查表求得表求得归归一化一化传输传输函数函数 ,令令 代替归一化原代替归一化原型滤波器系统函数中的型滤波器系统函数中的 ,即即 代入代入 ，即得到，即得到实际滤实际滤波器波器传输传输函数函数。例例7.1
11、 7.1 设设计计一一巴巴特特沃沃思思低低通通滤滤波波器器，使使其其满满足足以以下下指指标标:通通带带边边频频 ,通通带带的的最最大大衰衰减减为为 ，阻阻带带边频为边频为 ,阻带的最小衰减为阻带的最小衰减为 。解解:滤滤波器技波器技术术指指标为标为 ，,确定确定阶阶次次N N，代入式（代入式（7.2.67.2.6）取取 N N=4=4 查查表得四表得四阶阶巴特沃思多巴特沃思多项项式，得式，得归归一化系一化系统统函数表函数表 达式达式由式（由式（7.2.77.2.7）得）得 用用 替替换换式（式（7.2.87.2.8）中的）中的s s，构成巴特沃思构成巴特沃思滤滤波器波器传输传输函数函数H(s)
12、H(s)为为 3.切比雪夫切比雪夫I滤波器滤波器切比雪夫切比雪夫I I型滤波器的幅度平方函数为型滤波器的幅度平方函数为（1）基本性质）基本性质 是是N阶阶切比雪夫多切比雪夫多项项式，定式，定义为义为 N=0，C0(x)=1N=1,C1(x)=xN=2,C2(x)=2x2-1=2xC1(x)-C0(x)迭代公式：迭代公式：CN(x)=2xCN-1(x)-CN-2(x)N1N=偶数，偶数，CN(x)为偶函数为偶函数N=奇数，奇数，CN(x)为奇函数为奇函数切比雪夫多项式曲线切比雪夫多项式曲线1-1xCN(x)11)x:0,1设：设：=Ncos-1x,x:0 1N=0,=0C0(x):1N=1,:/
13、2 0,C1(x):0 1N=2,:/2 0,C2(x):-1 0 1N=3,:3/2 0,C2(x):0-1 0 1N=4,:2 0,C2(x):1 0-1 0 12)x:1,)xch(ch-1x)x=0,N=even,|CN(0)|=1,N=odd,CN(0)=0 x=1,CN(1)=1|x|1,CN(x)在在-1,+1之间波动，之间波动，N增加，波动次数增加增加，波动次数增加|x|1,CN(x)单调上升，单调上升，N增加，上升速度增加。增加，上升速度增加。N=3N=41c c1/(1+2)切比雪夫滤波器的幅频响应有如下特点：切比雪夫滤波器的幅频响应有如下特点：1)0 1)0 时，曲线单调
14、下降时，曲线单调下降,越大，越大，N N越大，曲线衰越大，曲线衰减越快。减越快。(2)设计过程 1)根据要求的滤波器指标确定波纹参数 和阶数N。由允许的通带波纹 确定。则 滤波器的阶数N由阻带允许的衰减确定。2)查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 ，即得到实际滤波器传输函数 。1.变换原理 数字数字滤滤波器的波器的单单位脉冲响位脉冲响应应序列序列h(n)h(n)正好等于模正好等于模拟滤拟滤波器的冲激响波器的冲激响应应h ha a(t)(t)的采的采样值样值，即，即 h(n)=h(n)=h ha a(nT(nT),),T T为为采采样样周期周期.如以如以 H Ha a
15、(s)(s)及及 H H（z z）分分别别表示表示 h ha a(t)(t)的的拉氏拉氏变换变换及及 h(n)h(n)的的Z Z变换变换，即，即数字滤波器的系统函数 便是的Z变换 。7.2.2脉冲响应不变法脉冲响应不变法(ImpulseInvariance)下面我们分析从模拟滤波器到数字滤波器下面我们分析从模拟滤波器到数字滤波器S平面和平面和Z平面之间的映射关系。平面之间的映射关系。设设抽样信号抽样信号抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换序列序列h(n)的的z变换变换 j S/2-S/23 S/2ImZReZ(2)抽样信号与原信号关系抽样信号与原信号关系2.混叠失真 利用抽样序列的Z变换与模拟
16、信号的拉普拉斯变换的关系，得 由采样定律可知，如果模拟滤波器的频率响应带限于折叠频率 以内 这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率 以内）但任何一个实际的模拟滤波器，其频率响应都不但任何一个实际的模拟滤波器，其频率响应都不可能是严格带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，可能是严格带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即产生频率响应的混叠失真即产生频率响应的混叠失真。原模原模拟拟信号的信号的频带频带不是限于不是限于之之间间，则则会在会在的奇数倍附近的奇数倍附近产产生生频频率混叠，从而映射到率混叠，从而映射到Z平面上平面上，附近附近产产生生频频率混叠。率混叠。这这种种
17、频频率混叠率混叠现现象会使象会使设设计计出的数字出的数字滤滤波器在波器在附近的附近的频频率特性，程度不率特性，程度不同的偏离模同的偏离模拟滤拟滤波器在波器在附近的附近的频频率特性，率特性，严严重重时时使数字使数字滤滤波器不波器不满满足足给给定的技定的技术术指指标标。解决混叠的方法：解决混叠的方法：1)滤波器指标以模拟域形式给出，此时滤波器指标以模拟域形式给出，此时已确定，采样频率已确定，采样频率T增加，混叠减小。增加，混叠减小。未确定，但未确定，但已定，采样频率增加，为保证已定，采样频率增加，为保证不变，必有不变，必有增加，增加滤波器的阶数增加，增加滤波器的阶数N，混叠，混叠2)滤波器指标以数
18、字域形式给出，此时滤波器指标以数字域形式给出，此时减小。减小。设设模模拟滤拟滤波器的系波器的系统统函数若只有函数若只有单阶单阶极点，且分极点，且分母的母的阶阶数高于分子数高于分子阶阶数数 N NM M，则则可表达可表达为为部分分式部分分式形式形式 其拉氏反其拉氏反变换为变换为 是是单单位位阶阶跃跃函函数数，对对ha(t)采采样样得得到到数数字字滤滤波波器器的的单单位脉冲响位脉冲响应应序列序列3.数字化设计数字化设计再再对对h h(n n)取取Z Z 变换变换，得到数字，得到数字滤滤波器的波器的传递传递函数函数 第二个求和第二个求和为为等比等比级级数之和，要收数之和，要收敛敛的的话话 必有必有所
19、以所以 例例7.2IIR低通滤波器的设计指标如下：低通滤波器的设计指标如下：1）通带截止频率）通带截止频率P0.1rad，阻带起始频率阻带起始频率s0.25rad2）通带最大衰减通带最大衰减p=3dB，阻带最小衰减阻带最小衰减s=15dB4.设计举例设计举例解：解：1)根据根据DF指标指标,将将DF指标转换为归一化指标转换为归一化LPF指标指标2)根据归一化根据归一化LPF指标指标,查表求查表求Ha(S)3)将将Ha(S)化成部分分式之和化成部分分式之和4)求求H(z)7.2.3双线性变换法双线性变换法（BilinearTransform)1.变换原理变换原理 s s平面到平面到z z平面的映
20、射关系平面的映射关系二次映射法二次映射法 为为了将了将S S平面的平面的jj轴压缩轴压缩到到S S1 1平面平面jj1 1轴轴上的上的 到到 一段上，可通一段上，可通过过以下的正切以下的正切变换实现变换实现：（7.2.7.2.1111）这里这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定定C。当当 由由 时时,由由 经过经过变变化到化到 ，即即S S平面的整个平面的整个 轴轴被被压缩压缩到到S S1 1平面的平面的 一段一段.式（式（7.2.117.2.11）又可以写成）又可以写成将将这这一关系解析一关系解析扩扩展至整个展至整个S S平面，平面，则则得到得到S
21、S平面到平面到S S1 1平面的映射关系：平面的映射关系：再将再将 S S1 1 平面通平面通过标过标准准变换变换关系映射到关系映射到Z Z平面，即令平面，即令从而得到从而得到s s平面与平面与z z平面的单值映射关系平面的单值映射关系 (7.2.12)2.2.变换常数的选择变换常数的选择 式（7.2.11）中常数的选择可以使模拟滤波器的频响特性和数字滤波器的频响特性在不同的频率范围有对应的关系，起到调节二者频带间关系的作用。选择的方法有两种。1)使模拟滤波器和数字滤波器的频响特性在低频部分有较确切的对应关系，即当 较小时，有由此得 2)使数字滤波器的某一特定频率(例如截止频率 与模拟原型滤波
22、器的特定频率 严格对应，即由于在待定的模拟频率和待定的数字频率处频率响应应严格相等，因而可以较准确的控制截止频率位置。j 1j 1 S/2-S/2ImZReZ 3.模拟角频率模拟角频率和数字角频率和数字角频率的映射关系的映射关系 Ha(j)2 总结计算总结计算H(Z)步骤如下：步骤如下：设给设给定数字低通定数字低通滤滤波器的通波器的通带带截止截止频频率率 、阻、阻带带截截止止频频率率 、通、通带带波波动动 和阻和阻带带波波动动 。(1)(1)利用公式利用公式 对对通通带带和阻和阻带带截止截止频频率率 和和 进进行行预预畸畸变变，求出模，求出模拟拟低通低通滤滤波器的通波器的通带带和阻和阻带带截止
23、截止频频率率 和和 。预预畸畸变变函数式函数式为为(2)(2)求求满满足指足指标标 、和和 要求的模要求的模拟拟低通低通滤滤波器的波器的传输传输函数函数 。(3)(3)利用双利用双线线性性变换变换公式公式 将将 映射成映射成4.4.数字化设计数字化设计 例例7.3设计设计IIR滤波器代替如下性能的模拟滤波器代替如下性能的模拟LPF:1)fp=50Hzfs=125Hz2)p3dB,s15dB3)采样频率采样频率f=1kHz解解:1)用脉冲响应不变法用脉冲响应不变法;2)双线性变换法双线性变换法(3)数字带通的设计数字带通的设计a.思路思路:归一化归一化LPF模拟模拟BPF数字数字BPF将将代入上
24、式代入上式归一化归一化LPF指标为：指标为：前面我前面我们们学学习习了模了模拟拟低通低通滤滤波器，数字低通波器，数字低通滤滤波波器的器的设计设计，对对于数字高通和于数字高通和带带阻的阻的设计设计，可以借助于，可以借助于模模拟滤拟滤波器的波器的频频率率变换设计变换设计一个所需一个所需类类型的模型的模拟滤拟滤波波器，再通器，再通过过双双线线性性变换变换将其将其换换算成所需算成所需类类型的数字型的数字滤滤波器。波器。1.1.高通滤波器高通滤波器 和和 分分别别是是低低通通的的归归一一化化通通带带截截止止频频率率和和归归一一化化阻阻带带截截止止频频率率，和和 分分别别是是高高通通的的归归一一化化通通带
25、带下限频率和归一化阻带上限频率。下限频率和归一化阻带上限频率。7.2.4数字高通、带通和带阻滤波器设计低通的低通的 从从 经过经过 和和 到到0时，高通的时，高通的 则从则从0经过经过 和和 到到 ，因此，因此 和和 之间关系为之间关系为 ，即是低，即是低通到高通的频率变换公式。通到高通的频率变换公式。总结步骤为：总结步骤为：(1)确定数字高通滤波器的技术指标确定数字高通滤波器的技术指标 、。(2)将数字高通滤波器的技术指标转换成高通模拟滤将数字高通滤波器的技术指标转换成高通模拟滤波器的技术指标波器的技术指标 、，转换公式为，转换公式为 。(3)利用频率变换利用频率变换 将模拟高通滤波器技术指
26、标转将模拟高通滤波器技术指标转换成归一化模拟低通滤波器换成归一化模拟低通滤波器 的技术指标。的技术指标。(4)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 。(5)将模拟低通滤波器将模拟低通滤波器 通过频率转换转换成模拟高通过频率转换转换成模拟高通滤波器通滤波器 ，并去归一化后得，并去归一化后得 。(6)(6)采采用用双双线线性性变变换换，将将所所需需类类型型的的模模拟拟滤滤波波器器转转换换成成所需类型的数字滤波器所需类型的数字滤波器.2.带通滤波器带通滤波器 、分分别别是是模模拟拟带带通通滤滤波波器器通通带带的的下下限限和和上上限限频频率率，是是下下阻阻带带的的上上限限频频率率，是是上上阻阻带带的的
27、下下限限频频率率，令令 为通带带宽，用为通带带宽，用B B做为归一化参考频率，做为归一化参考频率，令令 为通带的中心频率，归一化为通带的中心频率，归一化可以找到可以找到 和和 的转换关系。的转换关系。,，所以有所以有由由此此可可以以得得到到低低通通滤滤波波器器的的技技术术指指标标 、，可可以以设计低通滤波器的转移函数设计低通滤波器的转移函数 。，将，将 代入得到代入得到去归一化，将去归一化，将 代入上式得：代入上式得：可得模拟带通滤波器的传递函数是可得模拟带通滤波器的传递函数是数字带通滤波器的传递函数数字带通滤波器的传递函数3.带阻滤波器 、分分别别是是模模拟拟带带阻阻滤滤波波器器通通带带的的
28、截截止止频频率率，是是下下限限频频率率，是是上上限限频频率率，与与带带通通模模拟拟滤滤波波器器一一样样，令令 为为通通带带带带宽宽，用用B B做做为为归归一一化化参参考考频频率，率，和和 的转换关系：的转换关系：,，所以有，所以有由带通滤波器的推导过程易知由带通滤波器的推导过程易知可得模拟带阻滤波器的传递函数是可得模拟带阻滤波器的传递函数是数字带阻滤波器的传递函数数字带阻滤波器的传递函数 例例7.7.6 6 设设计计一一个个数数字字高高通通滤滤波波器器，要要求求通通带带截截止止频频率率p p=0.8rad=0.8rad，通通带带衰衰减减不不大大于于3 3dBdB，阻阻带带截截止止频频率率s s
29、=0.5rad,=0.5rad,阻阻带带衰衰减减不不小小于于1818dBdB。采采用用巴巴特特沃沃斯型斯型滤滤波器。波器。解：解：(1)(1)数字高通的技数字高通的技术术指指标为标为 p p=0.8rad,=0.8rad,p p=3dB;=3dB;s s=0.5rad,=0.5rad,s s=18dB=18dB(2)(2)模模拟拟高通的技高通的技术术指指标计标计算如下：算如下：令令T T=2=2，则则有有(3)(3)设计归设计归一化模一化模拟拟低通低通滤滤波器波器G G(p p)。模模拟拟低通低通滤滤波波器的器的阶阶数数N N计计算如下。算如下。取N2(4)(4)查查表得到表得到归归一化模一化模拟拟低通低通传输传输函数函数G G(p p)为为为为去去归归一化，将一化，将p p=s s/c c代入上式得到：代入上式得到：(5)(5)将模将模拟拟低通低通转换转换成模成模拟拟高通。将上式中高通。将上式中G G(s s)的的变变量量换换成成1/1/s s，得到模得到模拟拟高通高通H Ha a(s s)：(6)(6)用用双双线线性性变变换换法法将将模模拟拟高高通通H(s)转转换换成成数数字字高高通通H(z)：