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1、1第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系章末检测时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )A相交 B平行C异面 D平行或异面解析：直线a和b没有公共点，则a和b平行或异面答案：D2下列推理错误的是( )AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADAl，lA解析：当l，lA时，A，故 C 错答案：C3对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得( )Aa，b Ba，bCa，b Da，b解析：已
2、知两条不相交的空间直线a和b，可以在直线a上任取一点A，使得Ab.过A作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b.答案：B4已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )A有且只有一个 B至多有一个C有一个或无数多个 D不存在解析：当异面直线互相垂直时满足条件的平面有 1 个，当异面直线互相不垂直时满足条件的平面有 0 个故选 B.答案：B5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBCBB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为( )5A30 B452C60 D90解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面
3、直线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选 C.5答案：C6如图所示，点S在平面ABC外，SBAC，SBAC2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是( )A1 B2C. D221 2解析：取SA的中点H，连接EH、FH(图略)因为SBAC，则EHFH，在EFH中，应用勾股定理得EF.2答案：B7.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )AA， M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A，C，C1，
4、A1四点共面，所以A1C面ACC1A1.因为MA1C，所以M面ACC1A1，又M面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在面ACC1A1与面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，故选 A.答案：A8已知直线l平面，直线m平面，有以下四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个命题是( )A BC D解析：若，l，则l，又m，所以lm，故正确；若3，l，m，则l与m可能异面，所以不正确；若lm，l，则m，又m，则，所以正确；若l，lm，m，则与可能相交，故不正确综上可知，选 D.答案：D9在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE
5、垂直于( )AAC BBDCA1D DA1D1解析：直线CE在平面ACC1A1内，寻找与平面ACC1A1垂直的直线，在正方体中，BD、B1D1都与此平面垂直，故选 B.答案：B10.长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，M是AD中点，O是C1D与CD1的交点，P是BB1上任意一点，则CM与OP的位置关系是( )A平行 B相交C垂直 D不能确定解析：取CD中点E，连接BE，则CMBE.又CMBB1，CM平面BEB1.而OP平面BEB1，CMOP.答案：C11在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，设AD与平面AA1C1C所成的角为，则 sin (
6、 )A. B. C. D.322210464解析：如图，分别取AC，A1C1的中点E，E，连接EE，BE，B1E，在平面BEEB1中作DFEE，垂足为F，连接AF.易知平面BEEB1平面ACC1A1，所以DF平面ACC1A1.所以DAF是AD与平面AA1C1C所成的角.由DFBE，AD.所以 sin .322DF AD32264答案：D12.如图，等边三角形ABC的边长为 4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为 30，4则四棱锥AMNCB的体积为( )A. B3 232C. D33解析：如图，作出二面角AMNB的平面角AED，AO为AE
7、D底边ED上的高，也是四棱锥AMNCB的高由题意，得AO.32V 3 .1 33233 2答案：A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上)13.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上(1)如果EHFGP，那么点P在直线_上；(2)如果EFGHQ，那么点Q在直线_上解析：(1)若EHFGP，那么点P平面ABD，P平面BCD，而平面ABD平面BCDBD，PBD.(2)若EFGHQ，则Q平面ABC，Q平面ACD，而平面ABC平面ACDAC，QAC.答案：(1)BD (2)AC14将边长为a的正方形沿对角线
8、BC折叠成三棱锥ABCD，折后ADa，则二面角ABCD的大小为_解析：取BC的中点O，连接OA，OD，则OABC，ODBC，则AOD为二面角ABCD的平面角由题设可知OAODa，22OA2OD2AD2，AOD90.答案：9015已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有m；当满足条件_时，有m.解析：利用线面平行和垂直的判定定理选择即可答案： 16在正三棱锥SABC中，侧棱SC垂直侧面SAB，且SC2，则此三棱锥的外接球的表35面积为_解析：由题意，可知三条侧棱SA，SB，SC两两垂直又三条侧棱相等，故可以三条侧棱为相邻三边作出一个正方体，其棱长均为 2，其外接球的直径就是
9、此正方体的体对角线，3所以 2R2，即球的半径R3，所以球的表面积S4R236.33答案：36三、解答题(本大题共有 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点求证：EF平面BB1D1D.证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OEDC，OEDC.DCD1C1，DCD1C1，F为D1C1的中点，1 2OED1F，OED1F，四边形D1FEO为平行四边形EFD1O.又EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，EF平面BB1D1D.18(本小题满分 12 分)如图，在正四棱柱A
10、BCDA1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN平面BB1D1D?解析：如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以MEAA1FG，且MEAA1FG.所以四边形MEFG是平行四边形因为MEBB1，BB1平面BB1D1D，ME平面BB1D1D，所以ME平面BB1D1D.在A1B1D1中，因为EFB1D1，B1D1平面BB1D1D，EF平面BB1D1D，所以EF平面BB1D1D.6又因为MEEFE，且ME平面MEFG，EF平面MEFG，所以平面ME
11、FG平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点所以MN平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN平面BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN平面BB1D1D.19(本小题满分 12 分)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三边长AC3，BC4，AB5，ACBC.又C1CAC.AC平面B
12、CC1B1.BC1平面BCC1B1，ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，四边形BCC1B1为正方形，E是BC1的中点，又D是AB的中点，DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.20(本小题满分 12 分)如图所示，边长为 2 的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点2(1)求证：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小解析：(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA.PCD为正三角形，PECD，PEPDsinPDE2sin 60.3平面PCD平面ABCD，PE平面ABCD，而A M平面ABCD，P
13、EAM.7四边形ABCD是矩形，ADE，ECM，ABM均为直角三角形由勾股定理可求得EM，AM，AE3，36EM2AM2AE2.AMEM.又PEEME，AM平面PEM，AMPM.(2)由(1)可知EMAM，PMAM，PME是二面角PAMD的平面角tanPME1，PE EM33PME45.二面角PAMD的大小为 45.21(本小题满分 13 分)在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，D是BC中点，侧面BB1C1C平面ABC.(1)求证：ADCC1.(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C.(3)若截面MBC1平
14、面BB1C1C，求证：AMMA1.证明：(1)ABAC，D是BC的中点，ADBC.底面ABC侧面BB1C1C，AD侧面BB1C1C，ADCC1.(2)延长B1A1与BM的延长线交于N，连接C1N.AMMA1，NA1A1B1.A1B1A1C1，A1C1A1NA1B1.C1NC1B1，底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C.截面C1NB侧面BB1C1C，截面MBC1侧面BB1C1C.(3)过M作MEBC1于E，连接DE.截面MBC1侧面BB1C1C，ME侧面BB1C1C.又AD侧面BB1C1C，MEAD，M、E、D、A四点共面AM侧面BB1C1C，8AMDE，CC1AM，DECC1
15、.D是BC的中点，E是BC1的中点AMDECC1AA1，1 21 2AMMA1.22(本小题满分 13 分)在直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，ABBC，能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若找不到，说明理由解析：设E点存在，如图所示，作EMA1C于点M.因为截面A1EC侧面AA1C1C，所以EM侧面AA1C1C.取AC的中点N，因为ABBC，所以BNAC.又因为平面ABC侧面AA1C1C，所以BN侧面AA1C1C.所以BNEM.因为平面BEMN侧面AA1C1CMN，BE侧面AA1C1C，所以BEMNA1A.因为ANNC，所以A1MMC.因为四边形BEMN为矩形，所以BEMNA1ABB1.1 21 2所以当E为BB1的中点时，平面 A1EC侧面 AA1C1C.