中考数学专题复习——二次函数与一次函数的综合.docx

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1、中考数学专题二次函数与一次函数的综合一、综合题1如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3).（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求 ACE的最大面积及E点的坐标. 2如图，抛物线 交x轴于 、 两点，与y轴交于点C，顶点为D （1）求出该抛物线的解析式及顶点D的坐标（2）若直线 的解析式 ，请直接写出不等式 的解集 3如图，抛物线yax24ax与x轴交于O，A两点，点P（0，6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，

2、C（点C在点B右侧），点C关于y轴的对称点为D.（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标.（2）若BC2BD，求抛物线的解析式.4如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（1）求顶点D的坐标（2）求的面积5如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）. （1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.6抛物线y

3、ax2bx2与x轴交于点A和B（1，0），与y轴交于点C，直线yxm过A，C两点，点P是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P在直线AC的上方，当SPAC3时，求点P的坐标；（3）点M为抛物线上的一点，tanACM时，求点M的坐标7如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 在抛物线上，且与点 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上的点 及点 （1）求二次函数和点 的坐标； （2）根据图象，写出满足 的 的取值范围 8如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2.（1）求抛物线的函数关系式；（2）把

4、抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.9如图，直线y=x+b和抛物线y=axx+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y=axx+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）（1）求直线和抛物线的函数表达式；（2）求四边形ABCD的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由10如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点.（1）求此抛物线的表达式；（2）连接，求面积的

5、最大值及此时点的坐标.11在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx4经过A（4，0），C（2，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值12如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）（1）求抛物线的函数关系式；（2）求ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BMDM最短？若存在，求出M的坐标若不存在，请说明理由13已知抛物线yx2+2x+m抛物线过点A（3，0），与x轴的另一个交点为C与y轴交于点B直线AB与

6、这条抛物线的对称轴交于点P（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D，且SABD SABC，求点D的坐标 14如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点（1）求此抛物线的函数解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使SPAB =2SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由15已知二次函数y=ax2ax4（a是常数，a0），在y轴的负半轴上有一点C(0，2)，过点C作x轴的平行线，交二次函数的图象于A，B两点（点A在点B的左侧），且

7、AB=3，（1）求a的值；（2）当1xm时，y的最大值与最小值的差为 ，求m的取值范围；16如图，抛物线yax2 经过ABC的三个顶点，点A坐标为（1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上 （1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）点F为线段AC上一动点，过F作FEx轴，FGy轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标17如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B，连接，（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D，E，求线段的长18如图，抛物线y =a(x+1)(x-2)与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点 C(0，2

8、)，连结BC交抛物线的对称轴于点E，连结OE（1）求a的值和点A，B的坐标（2）求OBE的面积19如图，平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线 经过点A，B （1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，写出不等式 的解集 20如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；（3）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标答案解析部分1【答案

9、】（1）解：把A(1，0)，C(4，3)代入y=ax2+bx+3得： 解得： 抛物线的解析式为： 设过A (1，0)，C (4，3)的直线为： 解得： 直线 为： （2）解：如图，过 作 轴交 于 当 ，则 解得： 而 设 则 所以当 时， 的面积最大，最大面积为： 此时： 所以： 【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3求出a、b，据此可得抛物线的解析式；利用待定系数法可求出直线AC的解析式；（2）过E作DEx轴交AC于D，易得B（3，0），设E（x，x2-4x+3），则D（x，x-1），表示出DE，SACE，根据二次函数的性质可得ACD面积的最大值以及对应的x的

10、值，将x的值代入抛物线解析式中求出y，进而可得点E的坐标.2【答案】（1）解：由题意，将点 代入 得： ， 解得 ，则抛物线的解析式为 ，将抛物线的解析式 化成顶点式为 ，则顶点 的坐标为 ；（2）不等式 表示的是二次函数 的图象位于一次函数 的图象的上方， 结合点 ，由函数图象得： ，即不等式 的解集为 【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 抛物线的解析式为 ， 最后求顶点坐标即可；（2）根据函数图象求解即可。3【答案】（1）解：yax24ax， 抛物线的对称轴为：直线 ，令y=0 ，代入yax24ax，可得：0ax24ax，解得：x1=0，x2=4，点A的坐标（4，0）；（2）解：点P

11、（0，6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，C，点C关于y轴的对称点为D， PD=PC，BD=PD-PB，BC=PC+PB，BC2BD，PC+PB=2（PD-PB），即：PC+PB=2（PC-PB），3PB=PC，令y=-6，代入yax24ax，-6ax24ax，即： ax24ax+6=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），x2=-3 x1，x1+ x2= ，x1=-2，x2=6，x1x2= ，解得：a= ，y x2+2x，【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴直线公式可得对称轴，令y=0，可得x=0或4，据此可得点A的坐标；（2）由题意可得PD=PC，则PC+PB=2(

12、PC-PB)，推出3PB=PC，令y=-6，可得ax2-4ax+6=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），根据根与系数的关系可得x2=-3 x1，x1+ x2=4，据此可得x1、x2，然后根据x1x2=可得a的值，进而可得函数解析式.4【答案】（1）解：，顶点D的坐标的坐标为（2）解：令，即，解得：，点，令，即，点，【解析】【分析】（1）将二次函数的一般式转为顶点式，再直接求出顶点坐标即可；（2）先求出点A、B、C的坐标，再求出AB和OC的长，最后利用三角形的面积公式求出的面积即可。5【答案】（1）解： ， 在抛物线 上，则 ，解得 ， 抛物线解析式为 （2）解：当 时，即 ，解得 或 ，

13、 ， ，设直线 解析式为 ，由题意可得 ，解得 ， 直线 解析式为 ， 点 是线段 上的一个动点， 可设 ，则 ， ， 当 时， 有最大值，最大值为2，此时 ， ，即 为 的中点，综上所述，当 运动到 的中点时， ，此时 点坐标为 .（3）解：存在，理由： ， 抛物线对称轴为直线 ， ， ，且 ， ， 点 在 轴上， 可设 ， ， ，当 时，则有点 和点 关于 轴对称，此时 点坐标为 ， ；当 时，则有 ， 或 此时 点坐标为 ， 或（4，0）；综上可知存在满足条件的点 ，其坐标为 ， ；（4，0）； ， ；【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入可得b、c的值，进而可得抛物线的解析式；（2

14、）令抛物线解析式中的y=0，求出x，可得点A、B的坐标，求出直线BC的解析式，设E（m，m+2），则F（m，m2+m+2），表示出EF，根据二次函数的性质可得EF的最大值以及对应的m的值，进而得到点E的坐标，据此解答；（3）由抛物线的解析式可得对称轴，进而得到点C、D的坐标，求出CD的值，设P（a，0），表示出PD，然后分PC=CD、PD=CD，求出a的值，进而可得点P的坐标.6【答案】（1）解：令，则，C（0，），直线过C点，把点C（0，）代入，则，直线与x轴交于点A，令，得，A（，），将点A（，）和B（，）代入yax2bx2，得ab2=016a4b2=0，a=12b=52，；（2）解：如图

15、过过P点做PHx轴交AC与点H，设点P的坐标为（，），点H的坐标为（，），PH PAC的面积解得：，P点的坐标为（1，0）或（3，1）；（3）解：当点M在直线AC上方时，如图，设直线CM交x轴于点F，过点F作FEAC于点E，在RtAOC中，OC2，OA4，由勾股定理可得AC2，在RtAOC中tanCAO，tanMCA，设：EF2x，则AE4x，CE5x，ACAEEC9x2，解得：x，在RtAEF中，有勾股定理可得，AF，则点F（，0），则直线CF（M）的表达式为：，直线CF与抛物线交于点M，解得：，（舍去）M（，）；当点M在直线AC下方时，如图延长FE到，使得EF，连接并延长交抛物线与点，FE

16、AC，CEF，ECFtan，过点E作ENy轴交y轴与点N，EGx轴交x轴与点G，AEGACO，EG，同理可得EN，E（，），E为的中点，）直线C）的解析式为直线C与抛物线交于点，解得：，（舍去）M（，），综上所述M的坐标为（，）或（，）【解析】【分析】（1）由抛物线yax2bx2求出C（0，-2），将其代入中求出m=-2，即得 ，据此求出A（-4，0）， 将点A（，）和B（，）代入yax2bx2中求出a、b值即得结论； （2）过点P作PHx轴角AC于点H，设点P的坐标为（，），点H的坐标为（，） ，可得PH=， 可得PAC的面积，求出x值，即得点P坐标； （3） 分两种情况：当点M在直线AC上

17、方时， 当点M在直线AC下方时 ，据此分别解答即可.7【答案】（1）解：抛物线 经过点 ， ， ，抛物线解析式为 ，点 坐标 ，对称轴 ， 、 关于对称轴对称，点 坐标 ，（2）解：由图象可知，满足 的 的取值范围为 或 【解析】【分析】（1）将点A代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与C关于y轴对称求出点B的坐标； （2）根据图象交点坐标求解即可。8【答案】（1）解： 点为直线 与 轴的交点， ，又 点横坐标为2，代入 可求得 ， ， 抛物线顶点在 轴上， 可设抛物线解析式为 ，把 、 两点坐标代入可得 ，解得 ， 抛物线解析式为 ；（2）解：当抛物线 平移后顶点坐标为 时，其解析式为

18、，即 ， 联立 ，可得 ，消去 整理可得 ， 平移后的抛物线总有不动点， 方程 有实数根， ，即 ，解得 ，即当 时，平移后的抛物线总有两个不动点.【解析】【分析】（1）易得A（-1，0）、B（2，3），根据抛物线的顶点在y轴上可设抛物线的解析式为y=ax2+c，将A、B代入求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；（2）平移后的抛物线的解析式为y=x2-2mx+m2+2m，联立y=x，结合判别式0可得m的范围.9【答案】（1）解：抛物线y=axx+2经过A（0，n），将代入，解得A（0，2），A（0，2）在直线y=x+b上，将代入，解得直线解析式为：B（m，4）在直线上，B（6，4）将点B（6

19、，4）代入y=axx+2，即解得抛物线的解析式为（2）解：由抛物线的解析式为，令，即解得如图，过点B作于点E，则，四边形的面积S=S梯形（3）解：如图，分别过点A、B作，过点B作于点E，连接设，则，在和中，解得或或4或2【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入抛物线求出n的值，再求出点B的坐标，最后将点A、B的坐标代入直线解析式求出直线的解析式即可；（2）过点B作于点E，再利用割补法求解四边形的面积S=S梯形即可；（3）分别过点A、B作，过点B作于点E，连接， 设 再利用勾股定理可得，再将数据代入计算即可。10【答案】（1）解：在抛物线中， 令，则，点C的坐标为（0，），OC=2，点A为（，0

20、），点B为（，0），则把点A、B代入解析式，得，解得：，；（2）解：设直线AC的解析式为，则 把点A、C代入，得，解得：，直线AC的解析式为；过点P作PDy轴，交AC于点D，如图：设点P 为（，），则点D为（，），OA=4，当时，取最大值8；，点P的坐标为（，）.点P在第三象限的抛物线上，点P的坐标为（，）满足条件.【解析】【分析】（1）易得C（0，-2），则OC=2，根据OA=2OC=8OB可得OA、OB的值，进而得到点A、B的坐标，然后代入y=ax2+bx-2中求出a、b，据此可得抛物线的解析式；（2）求出直线AC的解析式，过点P作PDy轴，交AC于点D，设P（x，x2+x-2），则D（x

21、，x-2），表示出PD，结合三角形的面积公式可得SAPC，结合二次函数的性质可得面积的最大值以及对应的x的值，将x的值代入抛物线解析式中求出y，进而可得点P的坐标.11【答案】（1）解：将A（4，0），C（2，0）代入yax2+bx4，得：16a4b4=04a+2b4=0 ，解得：a=12b=1 ，抛物线解析式为：（2）解：如图，过点M作MNAC于点N，抛物线与y轴交于点B，当 时， ， ，即OB=4，点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m， ， ， ， ，当 时，S有最大值，最大值为 ，S关于m的函数关系式为 ， S的最大值为4【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）根

22、据面积法得出S关于m的关系式，再利用根据面积法得出函数的性质得出最大值即可。12【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为（2，9），设抛物线的解析式为ya（x2）29，抛物线经过点D（3，8），（32）2a98，解得a1，抛物线的函数解析式为y（x2）29；（2）解：令y（x2）29=0，解得x1=5，x2=-1，A（-1，0），B（5，0），令x=0，则y=（02）29=5C（0，5）SABC=15；（3）解：存在，求解过程如下：二次函数y（x2）29的对称轴为直线x2，A（1，0），B（5，0），点D（3，8）关于对称轴x2对称的点的坐标为D（1，8），由对称性得：DMDM，则BMDMBMDM

23、，如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D，M在一条直线上时，BMDM最短，设直线BD的函数解析式为ykxb，把（5，0），（1，8）代入ykxb，得：，解得，y2x10，取x2，则22106，M（2，6）【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为ya(x2)29，将D（3，8）代入求出a的值，进而可得抛物线的解析式；（2） 令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，令x=0，求出y的值，可得点C的坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算；（3）易得A（1，0），B（5，0），D（1，8），由对称性得DMDM，则BMDMBMDM，故当点B，D，M在一条直线上时，BMDM最短，利用待定系数法

24、求出直线BD的函数解析式，令x=2，求出y的值，进而可得点M的坐标.13【答案】（1）解：抛物线yx2+2x+m过点A（3，0）， 9+6+m0，解得m3，抛物线为yx2+2x+3，令x0，则y3，B（0，3），对称轴为直线x 1，点A（3，0）关于对称轴的对称点为（1，0），C（1，0）；（2）解：设直线AB的解析式为ykx+b， 把A（3，0），B（0，3）代入得 ，解得 ，直线AB的解析式为yx+3，把x1代入yx+3得，y2，P的坐标为（1，2）；（3）解：抛物线有一点D（xy）， D（x，x2+2x+3），过D点作DEx轴，交直线AB与E，E（x，x+3），A（3，0），B（0，3）

25、，C（1，0），SABC （3+1）36，SABD SABC3，SABDSADE+SBDE， （x2+2x+3+x3）33，解得：x11，x22，D（1，4）或（2，3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出 抛物线为yx2+2x+3， 再计算求解即可；（2）先求出 直线AB的解析式为yx+3， 再计算求解即可；（3）先求出 SABD SABC3， 再求出 x11，x22， 最后求点的坐标即可。14【答案】（1）解：直线y=-x+3经过B，C两点， 当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，B点坐标为(3，0)，C点坐标为(0，3)又：抛物线y= -x2+bx +c经过B、C两点，把B，C两点

26、坐标代入抛物线解析式，得 0=9+36+c，3=c解得b=2，c=3，该抛物线解析式为y= -x2+2x+3；（2）解：当y=0时，0=-x2+2x+3， x1=-1，x2=3，A点坐标为(-1，0)B点坐标为(3，0)，AB=4C点坐标为(0，3)，SCAB= ABOC=6设P点坐标为(m，n)，SPAB=2SCAB，则 4|n|=26， |n|=6，即n=6或-6，当n=6时，6=-x2+2x +3，此时方程无解，此时P点不存在，当x=-6时，-6=-x2+2x+3，解得：x1= +1，x2= - +1，此时P点坐标为( +1，-6)，(- +1，-6)，综上所述，存在这样的P点，且坐标为

27、( +1，-6)，(- +1，-6)【解析】【分析】(1)先求出直线y=-x+3与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式即可； (2)先求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求出ABC的面积，设P点坐标为(m，n)，根据SPAB =2SCAB列出关于n的绝对值方程求解，然后把n的可能值分别代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程求解，即可求出P点坐标.15【答案】（1）解：根据题意，得对称轴为直线 ， AB=3，易得AC=1，BC=2C(0，2)，B(2，2)把(2，2)代入y=ax2ax4，得2=22a2a4，解得a=1（2）解：由（1），得 ， 顶点坐标为( ， )，当 时，y的最小

28、值为 当x=1时，y=2， ，当1xm时，y的最大值为2，【解析】【分析】（1）利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性结合已知可求出点C，B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式，可求出a的值.（2）先将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，利用二次函数的性质可得到y的最小值；将x=-1代入函数解析式可求出y的值；当1xm时，y的最大值为2，由此可求出m的取值范围.16【答案】（1）解：抛物线y=ax2 经过ABC的三个顶点，点A坐标为（1，2）， 2=a ，a ，抛物线的函数关系表达式为y ；（2）解：当点F在第一象限时，如图1， 令y=0得， 0，解得： ，点C的坐

29、标为（3，0）设直线AC的解析式为y=mx+n，则有 ，解得 ，直线AC的解析式为y ，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），点F（p，p）在直线y 上， p，解得p=1，点F的坐标为（1，1）当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去综上所述：点F的坐标为（1，1）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）分类讨论，结合函数图象计算求解即可。17【答案】（1）解：将代入得：，解得：，则抛物线的表达式为：，将点A的坐标代入上式得，解得：，故抛物线的表达式为：（2）解：平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D、E，解得或，【解析】【分

30、析】（1）将点A、C的坐标代入，求出a、b的值即可；（2）将代入可得，求出x的值，即可得到点D、E的坐标，最后求出DE的长即可。18【答案】（1）解：把C（0，2）代入y =a(x+1)(x-2)得， 解得， 令y=0，则有 解得， （2）解：对称轴方程为直线 设直线BC的解析式为 把 代入解析式 ，得解得， 直线BC的解析式为 把 代入得， 的OB边上的高为 又OB=2【解析】【分析】（1）将C（0，2）代入y =a(x+1)(x-2)中可得a的值，据此可得函数解析式，令y=0，求出x的值，进而可得点A、B的坐标；（2）根据二次函数解析式可得对称轴，利用待定系数法求出直线BC的解析式，将x=

31、代入求出y的值，可得OBE的边OB上的高，然后利用三角形的面积公式进行计算.19【答案】（1）解：直线 与坐标轴交于A，B两点 点A的坐标是 ， ，点B的坐标是 ， . 把 ， ， ， 代入 得： 解得 抛物线的解析式是 . （2）解：点A的坐标是 ， ，点B的坐标是 ， . 根据图像可得：不等式 的解集是： ；【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据函数图象求解集即可。20【答案】（1）解：，又对称轴为，将A，B代入解析式得：，解得，；（2）解：，直线BC的解析式为：，设，作轴交BC于点F，则，当时，有最大值为；（3）解：设，由（1）知，若BC为矩形的对角线，由中点坐

32、标公式得：，解得：，又，即：，解得或，或，或，若BP为矩形得对角线，由中点坐标公式得，解得，又，即：，解得，若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又，即：，解得，综上，点Q的坐标为或或或【解析】【分析】（1）由OA=1求出A（-1，0），由对称轴为可得B（5，0），再将A、B坐标代入抛物线解析式中求出a、b值即可得解； （2）先求出直线BC的解析式为，设，作轴交BC于点F，则，可得，即 ，利用二次函数的性质即可求解； （3）设，由（1）知， 分三种情况若BC为矩形的对角线， 若BP为矩形得对角线， 若BQ为矩形的对角线， 根据平行四边形的性质，中点坐标公式及勾股定理分别求解即可. 38 / 38学科网（北京）股份有限公司