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1、1第第 1 1 课时课时 两个计数原理两个计数原理学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题知识点一 分类加法计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有 7 个航班，6 列火车思考 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？共有多少种出行方法？答案 两类，即乘飞机、坐火车共有 7613(种)不同的出行方法梳理 (1)完成一件事有两类不同的方案，在第 1 类方案中有m种不同的方法，在第 2 类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法(2)完成一件事有n类不同的方案，在第
2、1 类方案中有m1种不同的方法，在第 2 类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法知识点二 分步乘法计数原理若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有 7 个航班，从青岛到天津每天有 6 列火车思考 该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？共有多少种出行方法？答案 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津共有 7642(种)不同的出行方法梳理 (1)完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有m种不同的方法，做第 2 步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法(2)完成一件事需要n个步
3、骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法1在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( )2在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事( )3在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( )4在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成( )2类型一 分类加法计数原理例 1 设集合A1,2,3,4，m，nA，则方程1 表示焦点位于x轴上的椭圆的有( )x2 my2 nA6 个 B
4、8 个C12 个 D16 个考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 A解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn.当m4 时，n1,2,3；当m3 时，n1,2；当m2 时，n1，即所求的椭圆共有 3216(个)反思与感悟 (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是互不干扰的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路跟踪训练 1 满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A14 B13 C12 D10考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 B解析 由已知得
5、ab1.若a1 时，b1,0,1,2，有 4 种可能；若a0 时，b1,0,1,2，有 4 种可能；若a1 时，b1,0,1，有 3 种可能；若a2 时，b1,0，有 2 种可能3共有(a，b)的个数为 443213.类型二 分步乘法计数原理例 2 一种号码锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共十个数字，这 4 个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有 10 种拨号方式，所以m110；第二步，有 10 种拨号方式，所以m210；第三步，有 10 种拨号方式，所以
6、m310；第四步，有 10 种拨号方式，所以m410.根据分步乘法计数原理，共可以组成N1010101010 000(个)四位数的号码引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有 10 种拨号方式，即m110；第二步，去掉第一步拨的数字，有 9 种拨号方式，即m29；第三步，去掉前两步拨的数字，有 8 种拨号方式，即m38；第四步，去掉前三步拨的数字，有 7 种拨号方式，即m47.根据分步乘法计数原理，共可以组成N109875 040(个)四位数的号码反思与感悟 (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个
7、步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路分步：将完成这件事的过程分成若干步；计数：求出每一步中的方法数；结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果跟踪训练 2 从1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，可组成不同的二次函数共_个，其中不同的偶函数共_个(用数字作答)考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 18 6解析 一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有 3 种，b的取法有 3 种，c的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数 33218(个)4若二
8、次函数为偶函数，则b0.a的取法有 3 种，c的取法有 2 种，则由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数 326(个)类型三 辨析两个计数原理例 3 现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用解 (1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法根据分类加法计数原理，共有 5
9、2714(种)不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种，2 种，7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有 52770(种)不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5210(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5735(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2714(种)不同的选法所以共有 10351459(种)不同的选法反思与感悟 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法(2)分类时标准要
10、明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律(3)混合问题一般是先分类再分步跟踪训练 3 在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋，现在从 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用解 选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的 3 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法；在只会下围棋的 2 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选互相搭配，可得四类
11、不同的选法从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛有 326(种)选法；5从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛有 326(种)选法；从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象棋比赛有 224(种)选法；2 名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有 2 种选法所以共有 664218(种)选法所以共有 18 种不同的选法1从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如
12、果一天内汽车发 3 次，火车发4 次，轮船发 2 次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )A1113 B3429C34224 D以上都不对考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 B解析 分三类：第一类，乘汽车，从 3 次中选 1 次有 3 种走法；第二类，乘火车，从 4 次中选 1 次有 4 种走法；第三类乘轮船，从 2 次中选 1 次有 2 种走法，所以共有 3429(种)不同的走法2现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A7 B12 C64 D81考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的
13、应用答案 B解析 要完成配套，分两步：第 1 步，选上衣，从 4 件上衣中任选一件，有 4 种不同的选法；第 2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同的选法故共有 4312(种)不同的配法3若x，yN N*，且xy5，则有序自然数对(x，y)的个数为( )A6 B8 C9 D10考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 D解析 当x1 时，y1,2,3,4，共构成 4 个有序自然数对；6当x2 时，y1,2,3，共构成 3 个有序自然数对；当x3 时，y1,2，共构成 2 个有序自然数对；当x4 时，y1，共构成 1 个有序自然数对根据分类加法计数原理，共有N43
14、2110(个)有序自然数对45 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选出 3 名队员参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员的选法有_种(用数字作答)考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 9解析 分为两类：两名老队员、一名新队员时，有 3 种选法；两名新队员、一名老队员时，有 236(种)选法，即共有 9 种不同选法5某校高中三年级一班有优秀团员 8 人，二班有优秀团员 10 人，三班有优秀团员 6 人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地(1)推选 1 人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选 1 人为小组长，有多少种不同的选法？
15、(3)从他们中选出 2 个人管理生活，要求这 2 个人不同班，有多少种不同的选法？考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用解 (1)分三类，第一类是从一班的 8 名优秀团员中产生，有 8 种不同的选法；第二类是从二班的 10 名优秀团员中产生，有 10 种不同的选法；第三类是从三班的 6 名优秀团员中产生，有 6 种不同的选法由分类加法计数原理可得，共有N810624(种)不同的选法(2)分三步，第一步从一班的 8 名优秀团员中选 1 名小组长，有 8 种不同的选法，第二步从二班的 10 名优秀团员中选 1 名小组长，有 10 种不同的选法第三步是从三班的 6 名优秀团员中选
16、 1 名小组长，有 6 种不同的选法由分步乘法计数原理可得，共有N8106480(种)不同的选法(3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选 1 人，有 810 种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选 1 人，有 106 种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选 1 人，有 86 种不同的选法因此，共有N81010686188(种)不同的选法1使用两个原理解题的本质分类将问题分成互相排斥的几类，逐类解决分类加法计数原理分步把问题分化为几个互相关联的步骤，逐步解决分步乘法计数原理2利用两个计数原理解决实际问题的常用方法7列举法种数较少将各种情况一一列举
17、间接法正面复杂用总数减去不满足条件的种数一、选择题1图书馆的书架有 3 层，第 1 层有 3 本不同的数学书，第 2 层有 5 本不同的语文书，第 3层有 8 本不同的英语书，现从中任取 1 本书，不同的取法共有( )A120 种 B16 种 C64 种 D39 种考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 B解析 由于书架上有 35816(本)书，则从中任取 1 本书，共有 16 种不同的取法2已知a3,4,6，b1,2，r1,4,9,16，则方程(xa)2(yb)2r2可表示的不同圆的个数是( )A6 B9 C16 D24考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案
18、D解析 确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定a，有 3 种选法；第二步，确定b，有 2 种选法；第三步，确定r，有 4 种选法由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为32424.3从集合1,2,3，8中任意选出 3 个不同的数，使这 3 个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A3 B4 C6 D8考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 B解析 以 1 为首项的等比数列为 1,2,4；以 2 为首项的等比数列为 2,4,8.把这两个数列的顺序颠倒，又得到 2 个数列，所求数列为 4 个4现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座
19、，不同选法的种数是( )A56 B658C. D654325 6 5 4 3 2 2考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 A解析 每位同学都有 5 种选择，共有 55555556(种)5如果x，yN N，且 1x3，xy7，则满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A5 B12 C15 D4考点 分类加法计数原理题点 分类加法计数原理的应用答案 C解析 当x1 时，y的取值范围可能为 0,1,2,3,4,5，有 6 种情况；当x2 时，y的取值可能为 0,1,2,3,4，有 5 种情况；当x3 时，y的取值范围可能为 0,1,2,3，有 4 种情况；根据分类加法计
20、数原理可得，满足条件的(x，y)的个数为 65415.6定义集合A与B的运算A*B如下：A*B(x，y)|xA，yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，则集合A*B的元素个数为( )A34 B43C12 D以下都不对考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 C解析 由分步乘法计数原理可知，A*B中共有 3412(个)元素7从甲地到乙地有 2 种走法，从乙地到丙地有 4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有 3 种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数为( )A243 B243C234 D243考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 B解析 分两类，一是从甲地经乙地
21、到丙地，有 24 种，二是直接从甲地到丙地，有 3 种，所以从甲地到丙地的不同走法种数共有 243.8已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐9标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )A18 B17 C16 D14考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 D解析 分两类第一类：M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有326(个)；第二类：N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有428(个)由分类加法计数原理可知，共有 6814(个)点在第一、二象限二、填空题9
22、一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法_种考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 16解析 由分步乘法计数原理得 4416.10若在如图 1 的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有_种不同的方法；在如图 2 的电路中，合上两个开关可以接通电路，有_种不同的方法考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 5 6解析 对于图 1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有 235(种)不同的方法对于图 2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有 236(种
23、)不同的方法11直线方程AxBy0，若从 0,1,3,5,7,8 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示_条不同的直线10考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 22解析 若A或B中有一个为零时，有 2 条；当AB0 时有 5420(条)，故共有20222(条)不同的直线12某运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_种考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案 2 880解析 分两步安排这 8 名运动员第一步，安排甲
24、、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排，所以共有 43224(种)方法；第二步，安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，共有54321120(种)所以安排这 8 人的方式共有 241202 880(种)三、解答题13现有高一四个班的学生 34 人，其中一、二、三、四班分别有 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一个为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用解 (1)
25、分四类：第一类，从一班学生中选 1 人，有 7 种选法；第二类，从二班学生中选 1人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选 1 人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选 1人，有 10 种选法，所以共有不同的选法N7891034(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以共有不同的选法N789105 040(种)(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选 1 人，有 78 种不同的选法；从一、三班学生中各选 1 人，有 79 种不同的选法；从一、四班学生中各选 1 人，有 710 种不同的选法，从二、三班学生中各选 1 人，有 89 种不同的选法
26、；从二、四班学生中各选 1 人，有 810 种不同的选法；从三、四班学生中各选 1 人，有 910 种不同的选法11所以，共有不同的选法N787971089810910431(种)四、探究与拓展14如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” 在一个长方体中，求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用解 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6636(个)，另外含 4 个顶点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6212(个)，所以共有 361248(个)15集合A1,2，3，B1，2,3,4，从A，B中各取 1 个元素，作为点P(x，y)的坐标(1)可以得到多少个不同的点？(2)这些点中，位于第一象限的有几个？考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用解 (1)可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到344324(个)不同的点(2)第一象限内的点，即 x，y 均为正数，所以只能取 A，B 中的正数，共有22228(个)不同的点