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1、12.32.3 解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例A 基础达标1如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点间的距离为( )A50 m B50 m23C25 m D m225 22解析：选 A.由正弦定理得.又CBA1804510530，AB sin ACBAC sin CBA故AB50 (m)ACsinACB sinCBA50 22 1 222.如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 米，并在C测得塔
2、顶A的仰角为 60，则塔AB的高度为( )A15米 B15米23C15(1)米 D15米36解析：选 D.在BCD中，由正弦定理得BC15(米)在CDsin 30 sin 1352RtABC中，ABBCtan 6015(米)故选 D.63某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东 45方向且距离为 10 海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东 105方向，以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为 21 海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为( )A20 分钟 B40 分钟C60 分钟 D80 分钟解析：选 B.如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD21t，CD9t，ACD120，由余弦定理，得
3、cos 120，解得t (负值舍去)， 小时40 分种，即舰艇与渔船相遇102（9t）2（21t）2 2 10 9t2 32 3的最短时间为 40 分钟24渡轮以 15 km/h 的速度沿与水流方向成 120角的方向行驶，水流速度为 4 km/h，则渡轮实际航行的速度约为(精确到 0.1 km/h)( )A14.5 km/h B15.6 km/hC13.5 km/h D11.3 km/h解析：选 C.由物理学知识，画出示意图，AB15，AD4，BAD120.在ABCD中，D60，在ADC中，由余弦定理得ACAD2CD22ADCDcos D162254 1518113.5.5已知两座灯塔A和B与
4、海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东 40，灯塔B在观察站C的南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的( )A北偏东 40 B北偏西 10C南偏东 10 D南偏西 10解析：选 B.如图所示，ECA40，FCB60，ACB180406080，因为ACBC，所以AABC50，所以ABG18018080 2CBHCBA1801205010.故选 B.6如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB 229mm，则ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得3cosACB.32（2 2）2（ 29）22 3 2 222因为ACB(0，)，所以ACB.3 4答案：3
5、47一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45，沿点A向北偏东 30前进 100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是_ m.解析：设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BC h，根据余弦定理，得(h)2h210022h100cos 60，33即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50，故水柱的高度是 50 m.答案：508一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转 105，爬行 10 cm 捕捉到另一只小虫，这时
6、它向右转 135爬行回它的出发点，那么x_解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x.ABsinABO sinAOB10 sin 45 sin 6010 63答案：10 639如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距 120 海里经过侦察发现，国际海盗船以 100 海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东 30方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东 90的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用 2 小时追上(1)求该军舰艇的速度(2)求 sin 的值4解：(1)依题意知，CAB120，
7、AB1002200，AC120，ACB，在ABC中， 由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB200212022200120cos 12078 400，解得BC280.所以该军舰艇的速度为140 海里/小时BC 2(2)在ABC中，由正弦定理，得，即AB sin BC sin 120sin .ABsin 120 BC200 32 2805 31410.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西 75方向前进 km 到达D处，看到A在他的30北偏东 45方向，B在北偏东 75方向，试求这两座建筑物之间的距离解：依题意得，CD km，ADBBC
8、D3030BDC，DBC120，ADC60，DAC45.在BDC中，由正弦定理得BC(km)DCsin BDC sin DBC30sin 30sin 12010在ADC中，由正弦定理得ACDCsin ADC sin DAC30sin 60sin 453(km)5在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB(3)2()223cos 4525.510510所以AB5(km)，即这两座建筑物之间的距离为 5 km.B 能力提升11如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120，从B处攀登 400 米后到达D处，再看索
9、道AC，发现张5角ADC150，从D处再攀登 800 米方到达C处，则索道AC的长为_米解析：在ABD中，BD400，ABD120，因为ADB180ADC30，所以DAB30，所以ABBD400，AD400.在ADC中，DC800，ADC150，AB2BD22ABBDcos 1203AC2AD2DC22ADDCcosADC(400)280022400800cos 15033400213，所以AC400，故索道AC的长为 400米1313答案：4001312.如图，在山底测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 m 至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_m.解析：如
10、图，SAB453015，又SBD15，所以ABS30.AS1 000，由正弦定理知，所以BS2 000sin 15.BS sin 151 000 sin 30所以BDBSsin 752 000sin 15cos 151 000sin 30500，且DCST1 000sin 30500，从而BCDCDB1 000 m.答案：1 00013.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 sA地测得2 17该仪器在C处时的俯角为 15，A地测得该仪器在最高点H时的
11、仰角为 30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为 340 m/s)解：由题意，设ACx m，则BCx340x40 (m)2 17在ABC中，由余弦定理得BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.6在ACH中，AC420 m，CAH301545，CHA903060.由正弦定理得，CH sinCAHAC sinAHC所以CHAC140(m)sinCAH sinAHC6故该仪器的垂直弹射高度CH为 140 m.614(选做题)如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60的方向以每小时 6 千米的速度步行了
12、 1 分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为 60.(1)求该人沿南偏西 60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)解：(1)依题意知，在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100 (m)，1 60BDC453015，由正弦定理得，CD sinDBCBC sinBDC所以BCCDsinBDC sinDBC100 sin 15 sin 135100 6 242250(1)(m)，50（ 6 2）23在 RtABE中，tan ，因为AB为定长，AB BE所以当BE的长最小时，取最大值 60，这时BECD，当BECD时，在 RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(m)，3323设该人沿南偏西 60的方向走到仰角最大时，走了t分钟，则t60EC 6 00060(分钟)25（3 3）6 0003 34(2)由(1)知当取得最大值 60时，BECD，在 RtBEC中，BEBCsinBCD，所以ABBEtan 60BCsin BCDtan 6050(1) 25(3)(m)，31 2337即所求塔高为 25(3) m.3