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1、2004年全国数学模型竞赛年全国数学模型竞赛C题题饮酒驾车饮酒驾车问题重述问题重述 1对大李碰到的情况做出解释；2在喝了3瓶或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。模型假设模型假设1人的体液占体重的65至70，其中血液占体重的7%,酒精在血液中的含量（毫克/百毫升）与在体液中的含量大体一样。2人的肠胃看成是一个吸收室，整个体液（
2、包括血液）看成是一个中心室，中心室的容积在过程中保持不变。3酒精由肝脏中的酶进行分解的过程视为酒精从中心室排出。4肠胃将酒精吸收转移到体液以及体液中酒精排出的酒精转移速率系数在过程中保持不变，酒精从一室向另一室转移及排出的速率与该室的酒精浓度成正比。5很短时间喝酒方式视为瞬时酒精以全部进入肠胃，较长时间喝酒方式视为在喝酒这段时间内，吸收室（肠胃）有一定的酒精摄入速率，且此速率为常数（即这段时间内，喝酒是匀速的）。6毎升啤酒约含酒精35克，一瓶啤酒为640毫升。7被器官直接吸收及通过呼气等方式直接排出体外的酒精占摄入重量的10，即进入吸收室的酒精为所喝酒中酒精量的90。8体液的各种组成成分的密度
3、是一样的。9血液体积与人体重成正比。变量及符号说明变量及符号说明据前面假设，建立二室模型示意图如图1。吸收室中心室K01F0(t)K12图1X0(t)表示吸收室酒精量X1(t)表示中心室酒精量C1(t)表示中心室酒精含量V1表示中心室体积F0(t)表示酒精摄入速率K01表示吸收室向中心室的酒精转移速率系数K12表示中心室向外排出酒精的速率系数G为人的体重K1为血液体积与人体重的比例系数h为较长时间喝酒方式所用小时数D0表示所喝酒中酒精量所有酒精量单位都是毫克，所有容积单位都是百毫升，酒精含量单位为毫克/百毫升，体重单位为公斤。模型的分析，建立及求解模型的分析，建立及求解模型分析：模型分析：（针
4、对快速喝酒方式）很短时间内喝完酒的方式可以简化认为t=0时，所摄入酒精的90全在吸收室内，而F0(t)0，此时，吸收室向中心室转移酒精，同时中心室既吸收从吸收室转移过来的酒精，同时又向外排出酒精。模型建立：模型建立：根据前面假设的条件及图1，可以给出两室酒精量X0(t)，X1(t)满足的微分方程。在 t时间内，X0(t)的改变量：，X1(t)的改变量：令 t0可得：（1）初始条件为：模型求解：模型求解：由一阶线性微分方程通解公式，先求解：可得：（3）把（3）代入 进行求解得：（4）因为V1与G成正比，所以，而故（5）把（4）式代入（5）式得:（6）对所给的数据跟(6)式用MATLAB进行非线性
5、回归（略）得到短时间喝酒方式模型为：下面我们对较长时间内喝酒建立模型：1模型分析：设在h小时内匀速将酒喝进，可知此时 是一个常数，而到 时,所以可以 为两种状况的临界点进行建模，后一种状况中吸收室的初始值与前一种状况中 时所得结果有关。2 2模型建立：模型建立：1）当 时，与前面分析的一样，可知：（7）（8）利用一阶线性微分方程的通解公式和初始条件求解（8）式得：（10）同理：2）当 时，类似可求得：问题回答问题回答1根据所建的快速喝酒方式模型计算得，大李在6点检查时血液中酒精含量为18.9225毫克/毎毫升，没有超过标准。凌晨2点时血液中酒精含量为24.163毫克/毎毫升，在饮酒驾车的标准内
6、。2若酒在很短的时间内喝的，根据计算则至少需要11.7105个小时后，驾车才不违反标准。若酒是在较长的一段时间（比如2小时）内喝的，则根据模型进行计算得出结论为至少需要6.47个小时后，驾车才不会违反标准。3如图分析可得1.2小时血液中的酒精含量值最高。快速喝完两瓶酒曲线A慢慢的喝完三瓶酒（两个小时）曲线B根据图曲线A在1.2小时左右的时候酒精含量最高，曲线B是个分段函数经过叠加后其达到最大酒精含量时的时间为1.2小时。经推广 快速或慢速喝n瓶酒其酒精含量达到最高值的时间大致相同。4根据我们所建立的模型，在一定的条件下，司机天天喝酒仍可以开车。一个普通人一般工作时间为9：00到17：00。假设
7、给司机下班后回家吃饭时快速喝了两瓶酒（时间为19：00）根据我们所建立的模型他在16：00左右血液内的酒精含量正好达到标准说明他下班回家开车以符合要求，当天晚上他又喝了两瓶酒到第二天凌晨4：00体内酒精含量正好达到标准，此时昨天所喝酒的酒精含量还残留0.164毫克/百毫升（可忽略不计），早上9：00上班体内的酒精含量还是符合标准，所以他天天喝酒都可开车。5根据新的车辆驾驶人员血液，呼气酒精含量阀值与检验规定，人体内血液酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升时被认定为饮酒驾车。如果血液中的酒精含量大于80毫克/百毫升则为醉酒驾车。我们结合我们所建立的数学模型给喜欢喝酒的司机提一
8、点建议：如果你快速喝下一瓶啤酒，你至少在6小时后才能驾车出行，快速喝下两瓶，你必须在10小时后才能出行。如果你慢速（2个小时）喝下三瓶的话，你必须6.5小时后才能驾车出行，慢慢的喝下两瓶的话，那最好在5小时后驾车。根据我们的计算，司机最好不要一下喝两瓶以上的酒，因为这样你在24小时以内是很难将血液中的酒精含量降到20毫克/百毫升，如果你遵守以上的建议，那么你不会违反新的检验条例，更不会因喝酒而发生事故。模型评价模型评价 这个模型的特色在于误差较小，用此模型算出的数据较接近实际值，在一定的程度上能真实的反映实际情况，并且加以推测。通过建立二室模型，并利用中心室以及吸收室的思想，通过微分方程的形式
9、，得到此模型。它能对短时间喝N瓶酒以及长时间喝N瓶酒进行一个近似模拟，当然，此模型也有它的不足之处点，那就是它具有一定的特殊性，那就是长时间喝酒与短时间喝酒之间的时间分界线H，还没有被确定，待以后深入研究以及计算后加以改进。参考文献参考文献1）胡良剑等 数学试验使用MATLAB 上海科学技术出版社 2001年2月。2）美斯蒂芬沃尔夫雷姆 MATHEMATICA全书 西安交通大学出版社 2002年12月。摘摘 要要 我们在充分分析问题的基础上，根据问题得条件和要求建立了一个二室房室模型，回答了题目中所有的问题，且对所建的模型进行了评估。我们把整个酒精的吸收和排出过程规划在两个室内进行，即中心室（
10、体液包括血液）和吸收室（肠胃）。判断是否饮酒或醉酒驾车的标准是中心室中的酒精浓度，即中心室吸收与排出酒精量之差。利用我们所建的模型，通过解微分方程和matlab和 mathematica 软件，我们对所提问题进行了解答并且得到如下答案：（1）大李在中午十二点喝下一瓶酒后到晚上六点，血液中的酒精浓度为18.9225 毫克毎百毫升，紧接着他又喝下一瓶酒后到第二天凌晨二点，血液中的浓度为24.163毫克毎毫升，其结果符合题目中的第一次通过检查，第二次没有通过检查。其原因见下文。（(2)很短时间内喝下三瓶啤酒后，要过11.7个小时后才不会违反标准，而慢慢喝下（两个小时）则需要6.47小时。（本题的主要模型得出的结果）（3）根据我们所建模型得到，估计1.2小时左右酒精浓度达到最高。（通过观察函数图像得出结果）（4）根据所建的快速喝酒模型做合理假设，计算第二天喝酒时前一天残留在他体内的酒精含量为0.164毫克/百毫升（可忽略不计），所以他天天喝酒也可开车。（5）根据所建模型计算出某人以不同的方式（快速饮酒或慢速饮酒）喝不同量的酒，根据车辆驾驶人员血液，呼气酒精含量阀值与检验规定得出一个排出酒精所需的时间，以这个时间量来建议司机何时可以开车。