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1、习题课概率1.事件的分类 2.概率的性质(1)必然事件的概率为1.(2)不可能事件的概率为0.(3)随机事件A的概率为0P(A)1.3.古典概型的特征(1)有限性:试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果.(2)等可能性:每一个试验结果出现的可能性相同.4.古典概型的计算公式 5.互斥事件在一次随机试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.6.对立事件一般地,在同一次试验中,不能同时发生且必有一个发生的两个事件称为对立事件.7.几何概型的概率计算公式【做一做1】有下列现象:早晨太阳从东方升起;连续抛掷一枚硬币两次,两次都出现正面向上;异性电荷相互吸引.其中随机现象的个数
2、为()A.0B.1C.2D.3答案:B【做一做2】抛掷一枚质地均匀的骰子,落地时向上的点数是5的概率是()答案:D【做一做3】根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为()A.0.65B.0.55 C.0.35D.0.75解析:P=1-(0.45+0.20)=0.35.答案:C【做一做4】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个小球(小球除标号外都相同),现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球,每个小球被取出的可能性相等.(1)求取出的两个小球标号恰好相同的概率;(2)求取出的两个小球的标号至少有一个大于2的概率.解:利用树状图可以
3、列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果:可以看出,试验的所有可能结果有16种,且每种结果都是等可能的.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测随机事件的随机事件的频频率与概率率与概率【例1】对一批U盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中次品的频率;(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少个U盘?分析:根据频率是概率的近似值可求得.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测解:(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出
4、现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2000个正品U盘,则x(1-0.02)2000,因为x是正整数,所以x2041,即至少需进货2041个U盘.反思感悟随机事件的频率和概率需要注意以下两点:(1)理解频率和概率的定义和意义,明确频率与概率的区别与联系.(2)能正确利用频率估计概率,并且要明确只有抽取件数越来越大时,出现次品的概率才可用对应的频率近似估计.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测变式训练变式训练1如表为某健康调查机构调查某地区各中学学生眼睛近视情况所得数据,其中n为调查人数,m为眼睛近视人数,为
5、眼睛近视的频率.则a=,从该地区任选一名学生,该学生眼睛近视的概率约为.解析:a=0.32,该地区学生眼睛近视的频率在0.29附近波动,所以从该地区任选一名学生,该学生眼睛近视的概率约为0.29.答案:0.320.29探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测古典概型古典概型【例2】随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班,每人值班1天.(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法?(2)其中甲在乙之前的安排方法有多少种?(3)甲安排在乙之前的概率是多少?分析:解决本题可先借助树状图分析所有可能的基本事件总数及所求事件包含的基本事件个数,再由古典概型的概率计算公式求出该事件的概率.探究一探究二探
6、究三探究四规范解答当堂检测解:(1)画树状图如下:故不同的安排方法共有6种.(2)由图知,甲在乙之前的排法有3种.(3)由古典概型的概率公式,得甲安排在乙之前的概率为反思感悟1.画树状图是进行列举的一种常用方法.2.从不同的角度去考虑一个实际问题,可以将问题转化为不同的古典概型来解决,而所得到的古典概型的所有可能的结果越少,问题的解决就变得越简单,要注意“一题多解”和“多题一解”.3.解答古典概型的概率问题时,要抓住问题实质,建立合适的概率模型,以简化运算.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测变式训练变式训练2设M=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,任取x,yM,xy,求x+y是3
7、的倍数的概率.解:利用列表法列举,由表可知,基本事件总数n=910=90,而x+y是3的倍数的情况有m=30种,故所求事件的概率为探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测互斥事件及概率加法公式的互斥事件及概率加法公式的应应用用【例3】盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率:(1)取到的2只都是次品.(2)取到的2只中正品、次品各一只.(3)取到的2只中至少有一只正品.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测解析:设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接
8、”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=答案:B探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测几何概型几何概型【例4】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去,求两人能会面的概率.分析:甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻,如果在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约定地点的时间,y轴表示乙到达约定地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中,任一点的坐标(x,y)
9、就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间,而能会面的时间由|x-y|15所对应的图形区域表示.因为每人到达的时间都是随机的,所以正方形内每个点都是等可能被取到的(即基本事件等可能发生),所以两人能会面的概率问题可以转化成与面积有关的几何概型问题.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测几何概型几何概型【例4】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去,求两人能会面的概率.分析:甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻,如果在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约定地点的时间,y轴表示乙到达约定地点的时间,用0分到60分表
10、示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中,任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间,而能会面的时间由|x-y|15所对应的图形区域表示.因为每人到达的时间都是随机的,所以正方形内每个点都是等可能被取到的(即基本事件等可能发生),所以两人能会面的概率问题可以转化成与面积有关的几何概型问题.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测解:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|15.如图,在平面直角坐标系中,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表
11、示,由几何概型的概率公式,得探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标轴表示,构成平面内的点(x,y),从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面积型几何概型问题,这种方法是解决这类问题的常用手法,但解决问题的关键是要正确地作出图示.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测变式训练变式训练4如图,在圆心角为90的扇形中,以圆心O为起点作射线OC,使得AOC和BOC都不小于30的概率为.解析:作AOE=BOD=30,如图所示,随机试验中,射线OC可能落在扇形AOB内任意一条射线上,而要使AOC和BOC都不小于30,则OC落在扇
12、形DOE内,所以概率P=.答案:探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测概率与统计的综合应用【典例】某地外出务工人员有1000人,其中高中及以上学历有800人,高中以下学历有200人,现用分层抽样的方法从该地外出务工人员中抽查100人,调查他们的月收入情况.从高中及以上学历人群中抽查结果和从高中以下学历人群中抽查结果分别如表和表.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测(1)先确定x,y的值,再补齐图,图的频率分布直方图,并根据频率分布直方图分别估计样本数据的中位数所在的区间;探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测(2)估计高中及以上学历外出务工人员月收入的平均值与高中以下外出务工人员月收入
13、的平均值哪个更高;在抽查的100人中从高中以下学历月收入在20003000元之间的人员中,抽查两人了解其工作环境,求抽查的两人中至少有1人月收入不少于2500元的概率.思路点拨:(1)先要明确抽样比,以便求出x和y,再根据中位数与频率分布直方图的关系求解;(2)用频率分布直方图中的数据近似求平均数有如下关系:其中xn是第n个小长方形区间的中点值,fn是其对应的频率.此问属于古典概型,关键是对抽查的人进行标记,列举出所有的基本事件.然后根据公式求解.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测解:(1)高中及以上学历务工人员和高中以下学历务工人员分别抽查80人和20人,8+16+x+24=80,x=
14、32,4+8+3+y+2=20,y=3.频率分布直方图如下:图中前2个矩形面积和为0.1+0.2=0.3,第三个矩形面积为中位数在区间2500,3000)内.图中前2个矩形面积为0.2+0.4=0.6,中位数在区间1500,2000)内.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测高中以下学历务工人员月收入20003000元之间人员共6人.其中20002500元之间有3人,设为A1,A2,A3,在25003000元之间有3人,设为B1,B2,B3,从6人抽查2人,共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A
15、1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)15个基本事件.事件A:抽查的两人至少有一人月收入不小于2500元,共包含(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)12个基本事件.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测归纳总结1.本题属于典型的概率与统计知识相互交融的题目,近几年高考中已成为命题的主方向.2.对
16、于本题,要注意中位数、平均数与频率分布直方图的隐含关系,并且在平时训练中要加强对频率分布直方图的识图能力.3.要善于挖掘题目中的隐含信息,初步体会化归、估算等思想方法.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测1.下列事件属于古典概型的是()A.任意抛掷两枚不均匀的骰子,所得点数之和为基本事件B.篮球运动员投篮,观察其是否投中C.测得某天12时的教室温度D.一先一后掷两枚硬币,观察正、反面出现情况解析:根据古典概型的特征可知,A中不是等可能事件;B中不知道投篮次数,且该事件是随机事件,只能计算他本次投篮命中的频率;C中温度值是一连续值,其可能的结果有无限个.因此A,B,C均不是古典概型,故选D.
17、答案:D探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测2.如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为()A.0.18B.0.36C.0.018 D.0.036答案:A3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65 C.0.35D.0.3解析:事件A=抽到一等品,且P(A)=0.65,事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案:C探究一探究二探究
18、三探究四规范解答当堂检测4.欧阳修卖油翁中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3cm的圆面,中间有边长为1cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油正好落入孔中的概率为.(油滴的大小忽略不计)探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测5.有朋自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.试问:(1)他乘火车或乘飞机来的概率;(2)他不乘轮船来的概率;(3)如果他来的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具来的.解:记“他乘火车来”为事件A1,“他乘轮船来”为事件A2,“他乘汽车来”为事件A3,“他乘飞机来”为事件A4,这四个事件中任两个不可能同时发生,故它们彼此互斥.(1)P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7,即他乘火车或乘飞机来的概率为0.7.即他不乘轮船来的概率为0.8.(3)因为0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,所以他有可能是乘火车或轮船来的;也有可能是乘汽车或飞机来的.