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1、24平面向量的数量积平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义第二章第二章 平面向量平面向量学习导航学习导航新知初探思维启动新知初探思维启动1平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义已已知知两两非非零零向向量量a与与b，它它们们的的夹夹角角为为，则则把把数数量量_叫叫做做a与与b的的_(或或_)，记作记作ab，即，即_ 规定零向量与任一向量的数量积均为规定零向量与任一向量的数量积均为_.数量积数量积内积内积0|a|b|cos ab|a|b|cos.想一想想一想1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？向量的数量积与向量的数乘相同吗？提示：提示：不相同向量
2、的数量积不相同向量的数量积ab是一个实数；数乘向量是一个实数；数乘向量a是一个向量是一个向量做一做做一做1.若若|m|4，|n|6，m与与n的夹角为的夹角为135，则，则mn_.2向量的数量积的几何意义向量的数量积的几何意义(1)投影：投影：|a|cos(|b|cos)叫做向量叫做向量a在在b方向上方向上(b在在a方向上方向上)的的_(2)几几 何何 意意 义义：数数 量量 积积 ab等等 于于 a的的 长长 度度|a|与与 b在在 a的的 方方 向向 上上 的的 投投 影影_的乘积的乘积想一想想一想2.投影是向量吗？投影是向量吗？提提示示：投投影影是是数数量量而而不不是是向向量量，它它可可正
3、正可可负负可可为为零零，它它的的符符号号由由的的取取值值决决定定投影投影|b|cos ab0|a|b|a|b|做一做做一做答案：答案：304向量数量积的运算律向量数量积的运算律(1)ab_(交换律交换律)(2)(a)b_(结合律结合律)(3)(ab)c_(分配律分配律)ba(ab)a(b)acbc想一想想一想3.对于向量对于向量abc，等式，等式(ab)ca(bc)一定成立吗？一定成立吗？提提示示：不不一一定定成成立立，若若(ab)c0，其其方方向向与与c相相同同或或相相反反，而而a(bc)0时时其其方方向向与与a相相同同或或相相反反，而而a与与c方方向向不不一一定定相相同同，故故该该等等式式
4、不不一一定定成成立立典题例证技法归纳典题例证技法归纳题型一向量数量积的运算题型一向量数量积的运算题型探究题型探究例例1【名师点评名师点评】求两向量数量积的步骤是：求两向量数量积的步骤是：(1)求求a与与b的夹角；的夹角；(2)分别求分别求|a|，|b|；(3)求求数数量量积积，即即ab|a|b|cos.应应注注意意书书写写时时a与与b之之间间用用“”连连接接，而而不能用不能用“”连接，也不能省去连接，也不能省去跟踪训练跟踪训练1已已知知|a|3，|b|6，当当ab，ab，a与与b的的夹夹角角是是60时，分别求时，分别求ab.解：解：当当ab时，若时，若a与与b同向，则它们的夹角同向，则它们的夹
5、角0，ab|a|b|cos 036118；若若a与与b反向，则它们的夹角反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos 18036(1)18；例例2题型二向量的模长问题题型二向量的模长问题跟踪训练跟踪训练题型三两个向量的夹角和垂直题型三两个向量的夹角和垂直例例3 (1)已知已知a21，b22，(ab)a0，求，求a与与b的夹角的夹角(2)已已知知平平面面上上三三个个向向量量a，b，c的的模模均均为为1，它它们们相相互互之之间间的的夹夹角角为为120.求求证：证：(ab)c.(2)证明：由题意可得证明：由题意可得(ab)cacbc|a|c|cos 120|b|c|cos 1200，所以所以(ab
6、)c.跟踪训练跟踪训练3已知单位向量已知单位向量e1，e2的夹角为的夹角为60，求向量，求向量ae1e2，be22e1的夹角的夹角1向向量量数数量量积积的的几几何何意意义义，是是一一个个向向量量的的长长度度乘乘以以另另一一向向量量在在其其上上的的投投影影值值这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数2数数量量积积的的运运算算律律只只适适合合交交换换律律，加加乘乘分分配配律律及及数数乘乘结结合合律律，但但不不适适合合乘乘法法结结合合律律，即即(ab)ca(bc)，这这里里是是因因为为ab，bc都都是是实实数数，(ab)c与
7、与向向量量c方方向向相相同同或或相相反反a(bc)与与向向量量a方方向向相相同同或或相相反反，而而a与与c不不一一定定共共线线，就就是是a与与c共线，共线，(ab)c与与a(bc)也不一定相等也不一定相等方法感悟方法感悟3向量数量积的性质及作用向量数量积的性质及作用设设a和和b是非零向量，是非零向量，a与与b的夹角为的夹角为.(1)abab0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系(2)当当a与与b同同向向时时，ab|a|b|，当当a与与b反反向向时时，ab|a|b|，即即当当a与与b共共线线时时，|ab|a|b|，此性质可用来证明向
8、量共线，此性质可用来证明向量共线精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示例例4规范解答规范解答应用向量的模及夹角求解应用向量的模及夹角求解 (本题满分本题满分12分分)已知已知|a|4，|b|8，a与与b的夹角是的夹角是120.(1)计算计算|4a2b|；(2)当当k为何值时，为何值时，(a2b)(kab)?12(2)若若(a2b)(kab)，则则(a2b)(kab)0 .8分分ka2(2k1)ab2b20，10分分即即16k16(2k1)2640，k7.12分分3抓关键促规范抓关键促规范若若cos 120值算错，则后续计算结果全错，是本题的关键点值算错，则后续计算结果全错，是本题的关键点解答时，应先求出解答时，应先求出 ，从而可求，从而可求|4a2b|，是本题突破点，是本题突破点 解答过程中，若未能根据解答过程中，若未能根据(a2b)(kab)推出推出 ，则无法求出，则无法求出k的值，这是在的值，这是在实际考试过程中失分很可惜的情况实际考试过程中失分很可惜的情况12233跟踪训练跟踪训练